1. Plokštumos vektorinėse erdvėse.

Tegu L yra vektorinės erdvės V poerdvis, o x_{0} ∈ V. Vektoriu̧ aibė P = x_{0} + L vadinama plokštuma vektorinėje erdvėje V .Jeigu dim L = dim V − 1 , tai ši plokštuma vadinama hiperplokštuma. Jeigu dim L = 1 , tai plokštuma vadinama tiese. Dvi plokštumos P_{1} = x_{1} + L_{1} ir P_{2} = x_{2} + L_{2} vadinamos lygiagrečiomis, jeigu arba L_{1} ⊆ L_{2} , arba L_{1} ⊆ L_{2} .

Teiginys 1. Jeigu L = [u_{1}, u_{2}, ..., u_{k}] , tai x ∈ x_{0} + L ⟺ x = x_{0} + t_{1}u_{1} + t_{2}u_{2} + ⋯ + t_{k}u_{k} . Teiginys 2. Plokštumos x_{1} + U_{1} ir x_{2} + U_{2} sutampa tada ir tik tada, kada

U_{1} = U_{2} ir x_{1} − x_{2} ∈ U_{1}.

Teiginys 3. Jeigu V = U ⊕W, tai plokštumu̧ x_{0} +U ir y_{0} +W sankirtoje vienas vektorius x_{0} + u = y_{0} + w, čia x_{0} − y_{0} = u + w, u ∈ U, w ∈ W.

Teiginys 4. Plokštumos x_{0} + U ir y_{0} + W turi netuščia̧ sankirta̧ tada ir tik tada, kai x_{0} − y_{0} ∈ U + W.

Teiginys 5. Mažiausios plokštumos, turinčios dvi iš anksto duotas tieses, dimensija yra nedidesnė už 3.

Teiginys 6. Mažiausia plokštuma, turinti plokštumas P_{1} = x_{0} + U ir P_{2} = y_{0} + W , tai plokštuma P = x_{0} + U + W + L, čia L = [y_{0} − x_{0}] − tiesė.

dim P = dim (U + W) , jeigu P_{1} ∩ P_{2} ≠ ⊘ ir dim P = dim (U + W) + 1, jeigu P_{1} ∩ P_{2} = ⊘.

Teiginys 7. Dvieju̧ tiesiu̧ T_{1} = x_{0} + U ir T_{2} = y_{0} + W klasifikacija trimatėje erdvėje . Tegu P − mažiausia plokštuma, kurioje yra tiesės T_{1} ir T_{2}.

dim (U + W) T_{1} ∩ T_{2} dim P  prasmė
1  ≠ ⊘  1  tiesės sutampa
1  = ⊘  2  tiesės lygiagrečios
2  ≠ ⊘  2  tiesės kertasi taške
2  = ⊘  3  tiesės prasilenkiančios

1. Tegu V = R_{5} - aritmetinė erdvė, o P = x_{0} + t_{1}u_{1} + t_{2}u_{2} - plokštuma. x_{0} = (2, 3, −1, 1, 1) , u_{1} = (3, −1, 1, −1, 1) , u_{2} = (−1, 1, 1, 1 − 1) . Ar vektoriai v_{1} = (1, 6, 4, 4, −2) ir v_{2} = (1, 6, 5, 4, −2) priklauso P ?

2. Kokia plokštumos P = x_{0} + L ir tiesės x = x_{1} + tq_{1} padėtis? x_{0} = (1, 0, 0, 1) , L = [(5, 2, −3, 1) , (4, 1, −1, 0) , (−1, 2, −5, 3)] .

a) x_{1} = (3, 1, −4, 1) , q_{1} = (−1, 1, 2, 1) .

b) x_{1} = (3, 0, −4, 1) , q_{1} = (−1, 1, 2, 1) .

c) x_{1} = (−2, 0, −1, 2) , q_{1} = (1, 1, −2, 1) .

3. I̧rodykite, kad tiesės x = x_{1} + tq_{1}, x = x_{2} + tq_{2} kertasi. x_{1} = (9, 3, 6, 15, −3) , q_{1} = (7, −4, 11, 13, −5) ; x_{2} = (−7, 2, −6, −5, 3), q_{2} = (2, 9, −10, −6, 4) . Raskite sankirta̧. Raskite dvimatȩ plokštuma̧, kurioje yra šios tiesės.

4. Kokia plokštumu̧ P = x_{0} + t_{1}u_{1} + t_{2}u_{2} , P = y_{0} + t_{1}v_{1} + t_{2}v_{2} padėtis?

\begin{matrix}x_{0} = & (3, 1, 2, 0, 1) & (7, −4, 0, 3, 2) & (2, −3, 1, 5, 0) & (−3, −2, 1, −1, 2) \\ y_{0} = & (1, 0, 1, 1, 0) & (6, −5, −1, 2, 3) & (0, −1, 0, 4, 1) & (−1, 0, 3, 3, 8) \\ u_{1} = & (2, −6, 3, 1, −6) & (−1, 1, 1, 1, 1,) & (3, −2, 1, 0, 1) & (1, −1, 1, 1, 3) \\ u_{2} = & (−1, 1, −1, 0, 1) & (1, 1, −1, 1, 1,) & (1, 2, 4, 0, −2) & (1, 1, −3, −3, 1) \\ v_{1} = & (0, 5, −2, −1, 6) & (1, −1, 1, 1, 1,) & (−1, 5, −2, 0, 3) & (−1, 2, 1, 2, −2) \\ v_{2} = & (−1, 3, −1, −1, 2) & (1, 1, 1, −1, 1) & (6, 3, 4, 0, 3) & (0, 1, 2, 3, 1). \end{matrix}

5. Atlikite tiesiu̧ x_{1} + P ir x_{2} + Q klasifikacija̧ erdvėje R^{3}.

6. Atlikite plokštumu̧ x_{1} + P ir x_{2} + Q klasifikacija̧ erdvėje R^{5}.