1. Vektoriu̧ sistemos.

1. Aritmetinėje erdvėje R_{4} raskite dvi skirtingas bazes, turinčias vektorius

v_{1} = (1, 1, 0, 0) ir v_{2} = (0, 0, 1, 1) .

2. Polinomu̧ sistema̧ t^{5} + t^{4}, t^{5} − 3t^{3}, t^{5} + 2t^{2}, t^{5} − t papildykite iki bazės ervėje M_{5}.

3. Poerdviui L = ⟨(1, 3, 0, −1) , (2, 5, 1, 2) , (1, 2, 2, 3)⟩ raskite du skirtingus papildinius L^{c}.

4.Erdvėje M_{n} raskite poerdvio {f (x) | f (1) = 0} papildini̧. Uždaviniuose 5-6. nagrinėjama realiu̧ju̧ funkciju̧ su vienu kintamuoju vektorinė

erdvė F (R) .

5. I̧rodykite, kad funkcijos f_{1}, f_{2}, ..., f_{n} ∈ F (R) yra tiesiškai nepriklausoma sistema tada ir tik tada, kai egzistuoja tokie skaičiai a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} , kad det (f_{i} (a_{j})) ≠ 0.

6. Vektorinėje erdvėje F (R) i̧rodykite funkciju̧ sistemos tiesinȩ nepriklausomybȩ.

1) sin x, cos x;

2) 1, sin x, cos x;

3) sin x, sin 2x, ..., sin nx;

4) 1, cos x, cos 2x, ..., cos nx;

5) 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx, čia n ≥ 2;

6) 1, sin x, sin^{2} x, ..., sin^{n} x, čia n ≥ 2;

7) 1, cos x, cos^{2} x, ..., cos^{n} x, čia n ≥ 2;

8) e^{a_{1}x}, e^{a_{2}x}, ..., e^{a_{n}x}, čia a_{i} ≠ a_{j} , kai i ≠ j ir n ≥ 2;

9) x^{a_{1}}, x^{a_{2}}, ..., x^{a_{n}}, čia a_{i} ≠ a_{j} , kai i ≠ j ir n ≥ 2;

7. Papildykite sistema̧ iki bazės.

1) (0, 0, 1, 1, 1) , (1, 2, 1, 2, 0) aritmetinėje erdvėje virš GF (3);

2) (3, 1, −1, 1) , (−1, 2, 3, −4) , (7, 7, 3, −5) aritmetinėje erdvėje virš R.;

3) (2, 1, 1) , (3, −2, 2) aritmetinėje erdvėje virš R.;

4) (3, 1, 0, 2) , (2, 1, 1, 3) aritmetinėje erdvėje virš GF (5).

8. I̧rodykite, kad aritmetinės erdvės R^{4} vektoriu̧ sistema u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} yra tiesiškai nepriklausoma ir apskaičiuokite šiu̧ vektoriu̧ tiesinȩ kombinacija̧ u;

u_{1} = (2, 1, 0, 1) ; u_{2} = (1, −2, 1, 3) ; u_{3} = (3, 4, −1, 2) u = 2u_{1} − 3u_{2} + 4u_{3} .

9. Patikrinkite, ar aritmertinės erdvės R^{n} vektoriu̧ sistema u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} yra tiesiškai priklausoma :

u_{1} = (3, 4, −2) ; u_{2} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ; u_{3} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) .

10. Apskaičiuokite aritmertinės erdvės R^{3} vektoriu̧ sistemos u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} ranga̧, pasinaudojȩ tik apibrėžimu:

u_{1} = (1, 1, 1) ; u_{2} = (1, 2, 3) ; u_{3} = (−1, 1, −2) .

11. Apskaičiuokite polinomu̧, kuriu̧ laipsniai ne didesni už 5, erdvės R_{5}[x] vektoriu̧ sistemos ranga̧, pasinaudojȩ tik jo apibrėžimu:

2; 2 + x; 3 + 2x + x^{2}.

12. Apskaičiuokite matricos A ranga̧ elementariu̧ju̧ pertvarkiu̧ būdu:

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 & −1 \\ 3 & −1 & 4 & −1 \\ 2 & 1 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & −5 & 4 \end{matrix} ) .

13. Kuri iš nurodytu̧ju̧ vektoriu̧ sistemu̧ sudaro aritmetinė erdvės R^{4} bazȩ: u_{1} = (1, −1, 2, 1) ; u_{2} = (2, 3, 1, 4) ; u_{3} = (5, −1, −1, 2) , u_{4} = (3, 2, 2, 1) .

14. Kuri iš nurodytu̧ju̧ vektoriu̧ sistemu̧ sudaro antros eilės matricu̧ su realiaisiais koeficientais erdvės R_{2×2} bazȩ:

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 0 \end{matrix} ); A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} ); A_{3} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ); A_{4} = ( \begin{matrix}1 & 5 \\ 0 & 3 \end{matrix} ) .

15. I̧rodykite, kad aritmertinės erdvės R^{4} vektoriu̧ sistema u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} sudaro bazȩ ir raskite vektoriaus u koordinates toje bazėje:

u_{1} = (3, 5, 1, 2) ; u_{2} = (−1, 2, 2, 3) ; u_{3} = (2, 1, 3, 4) ; u_{4} = (−2, −3, 1, −5) , u = (−2, 3, 1, −4) .

16. Ne aukštesnio kaip 5-ojo laipsnio polinomu̧ erdvėje R_{5}[t] raskite polinomo f (t) = t^{5} − 2t^{4} + t^{3} + 2t^{2} − t + 1 koordinates bazėse

1) 1, t, t^{2}, t^{3}, t^{4}, t^{5};

2) 1 + t, t + t^{2}, t^{2}, t^{2} + t^{3}, t^{4} + t^{2}, t^{5} + t^{2}.

17. Raskite aritmertinės erdvės R^{4} vektoriu̧ sistemos u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} ranga̧: u_{1} = (2, 1, 1, −1) ; u_{2} = (2, 2, 3, 4) ; u_{3} = (−1, −2, −1, −3) ; u_{4} = (−1, −1, 1, 2) .

18. Raskite antros eilės matricu̧ su realiaisiais koeficientais erdvės R_{2×2} vektoriu̧ sistemos ranga̧:

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ); A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} ); A_{3} = ( \begin{matrix}−1 & −2 \\ −2 & −1 \end{matrix} ); A_{4} = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} ) .

12. Raskite vektoriu̧ u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} tiesinio apvalkalo ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{m}⟩ bazȩ ir dimensija̧, kai

u_{1} = (1, 4, −7, 3) ; u_{2} = (−3, 10, −9, −7) ; u_{3} = (2, −3, 1, 5) ; u_{4} = (0, 11, −15, 1) .

19. Ar ^{4} \sqrt{3} ∈ [1, \sqrt{3}]_{Q} ?

20. Vektorinėje erdvėje R_{4} raskite dvi bazes, turinčias vektorius (1, 1, 0, 0) ir (0, 0, 1, 1) .

21. Sistema̧ t^{5} + t^{4}, t^{5} − 3t^{3}, t^{5} + 2t^{2}, t^{5} − t papildyti iki bazės erdvėje R_{5} [t] .

22. Ar begalinės sekos x = (a_{1}, a_{2}, …) sudaro vektorinȩ erdvȩ S ? Jeigu taip, kokia šios erdvės dimensija?

23. F⊂S , a_{k} = a_{k−1} + a_{k−2}, k = 3, 4, ... . Raskite dim F .Raskite F bazȩ .

24. V⊂ R_{n} : (a_{1}, ..., a_{n}) ∈ V ⟺ a_{1} + ⋯ + a_{n} = 0. Raskite dim V ir V bazȩ.