1. Kvadratinės formos Antrosios eilės paviršiai.

1. Apskaičiuokite kvadratinės formos f ranga̧: f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} − x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} − 4x_{1}x_{3} − 2x_{2}x_{3}.

2. Raskite kvadretiniu̧ formu̧ kanonines išraiškas ir užrašykite tiesinius kintamu̧ju̧ keitinius, kuriuos atlikus, gautos tos išraiškos:

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} − 4x_{1}x_{2} − 2x_{1}x_{3} + 10x_{2}x_{3}.

3. Raskite kvadretiniu̧ formu̧ normalia̧sias išraiškas ir užrašykite tiesinius kintamu̧ju̧ keitinius, kuriuos atlikus, gautos tos išraiškos:

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{3}^{2} − 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3} − 2x_{2}x_{3}.

4. Ar kongruenčios šios kvadratinės formos: f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} − 2x_{2}^{2} − 2x_{1}x_{2} − 2x_{1}x_{3} − 2x_{2}x_{3}, g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = y_{1}^{2} + 5y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + 4y_{1}y_{2} − 4y_{1}y_{3} − 10y_{2}y_{3}.

5. Užrašykite tiesini̧ kintanu̧ju̧ keitini̧, kuri̧ atlikus, iš kvadratinės formos f gaunama kvadratinė forma g .

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + 14x_{3}^{2} − 2x_{1}x_{2} − 4x_{1}x_{3} + 8x_{2}x_{3}, g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = 4y_{1}^{2} + 5y_{2}^{2} + 19y_{3}^{2} + 4y_{1}y_{2} + 12y_{1}y_{3} − 6y_{2}y_{3}.

6. Su kuriomis parametro λ reikšmėmis šios kvadratinės formos yra teigiamai apibrėžtos:

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + λx_{3}^{2} − 2x_{1}x_{2} − 2x_{1}x_{3} + 6x_{2}x_{3}.

7. Raskite kvadratinės formos f (x_{1}, ..., x_{n}) diagonalini̧ pavidala̧.

1) x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3}, n = 3 ;

2) x_{1}x_{2}, n = 2 ; 3) x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4}, n = 4; 4) x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4} + ⋯ + x_{2n−1}x_{2n};

3) x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{1}x_{4} + x_{2}x_{3} + x_{2}x_{4} + x_{3}x_{4}.

8. Raskite 2-osios eilės paviršiaus kanonini̧ pavidala̧.

1) f (x, y) = x^{2} + y^{2} + 3xy + x + 4y = 0;

2) f (x, y) = 9y^{2} − 6xy + y^{2} − x − 2y − 14 = 0;

3) f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 4x_{1}x_{2} − 4x_{2}x_{3} + 12x_{1} − 8x_{2} + x_{3} + 6 = 0;

4) f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3} + 10x_{2} + 1 = 0.