1. Ortogonaliosios(unitariosios) matricos.

Simetrinės(Ermito) matricos.

1. Normuokite duota̧ji̧ stulpeli̧ ir gauta̧ normuota̧ stulpeli̧ papildykite iki ortogonaliosios matricos.

1) ( \begin{matrix}2 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ) ; 2) ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) ; 3) ( \begin{matrix}−3 \\ 2 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ) ; 4) ( \begin{matrix}4 \\ −1 \\ 0 \\ −2 \end{matrix} ) .

2. Duota simetrinė matrica A :

i) Raskite matricos A charakteristini̧ polinoma̧ χ_{A} (t) .

ii) Raskite matricos A tikrines reikšmes λ_{1}, ..., λ_{n}.

iii) Parašykite matricos A kanonini̧ diagonalini̧ pavidala̧.

iv) Raskite matricos A tikrinius vektorius ir ju̧ pagalba sudarykite tokia̧ ortogonalia̧ja̧ matrica̧ C , kad

C^{−1}AC = ( \begin{matrix}λ_{1} & ⋯ & 0 \\ . & . & . \\ 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) .

1) A = \frac{1}{9} ( \begin{matrix}1 & 6 & −2 \\ 16 & −5 & −14 \\ −2 & −14 & −14 \end{matrix} ); 2) A = ( \begin{matrix}\frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & −\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & −\frac{2}{3} & 2 \end{matrix} );

3) A = \frac{1}{9} ( \begin{matrix}14 & 2 & 14 \\ 2 & −1 & −16 \\ 14 & −16 & 5 \end{matrix} ); 4) A = \frac{1}{9} ( \begin{matrix}4 & 10 & −8 \\ 10 & 7 & −2 \\ −8 & −2 & −2 \end{matrix} );

5) A = \frac{1}{9} ( \begin{matrix}16 & −2 & 10 \\ −2 & 7 & −8 \\ 10 & −8 & 13 \end{matrix} ); 6) A = \frac{1}{9} ( \begin{matrix}10 & −2 & 16 \\ −2 & −5 & −14 \\ 16 & −14 & 4 \end{matrix} ) .

3. Žinoma, kad matrica su sveikaisiais koeficientais yra ortogonali tada ir tik tada, kada kiekvienoje eilutėje ir kiekviename stulpelyje yra tik po viena̧ nenulini̧ elementa̧, lygu̧ ±1. I̧rodykite, kad egzistuoja lygiai 2^{n}n! ortogonaliu̧ n-osios eilės matricu̧ su sveikaisiais koeficientais.