1. Matricos charakteristinis polinomas ir tikrinės reikšmės.

1. Raskite, jeigu i̧manoma, e^{A} ir ln A , kai A - polinomo f (x) lydinčioji matrica.

1) f (x) = x^{2} − 2x − \frac{5}{4} . 2) f (x) = x^{2} + \frac{11}{12}x + \frac{1}{6} .

3) f (x) = x^{2} − \frac{21}{10}x + \frac{9}{10} .

Sprendimas. (i) Raskite polinomof(x) = x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0} lydinčia̧ja̧ matrica̧ A:

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −a_{0} \\ 1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −a_{1} \\ 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 & −a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & & ⋯ \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −a_{n−2} \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 & −a_{n−1} \end{matrix} ) .

(ii) Raskite charakteringojo polinomo šaknis: det(A − tE) = χ_{A} (t) = 0.Tai matricos A tikrinės reikšmės.

(iii) Jeigu matricos A tikrinės reikšmės poromis skirtingos : λ_{i} ≠ λ_{j}, i ≠ j , tai egzistuoja tokia neišsigimusi matrica C, kad

CAC^{−1} = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & λ_{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) , CA = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & λ_{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) C,

A = C^{−1} ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & λ_{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) C.

(iv) Turime A^{m} = C^{−1} ( \begin{matrix}λ_{1}^{m} \\ & λ_{2}^{m} \\ & & . & . & . \\ & & & & & λ_{n}^{m} \end{matrix} ) C ir

e^{A} = ∑_{p=0}^{∞} \frac{A^{p}}{p!} , ln A = ∑_{p=1}^{∞} \frac{(−1)^{p−1}}{p} (A − E)^{p} .