1. Matricos.

1. Duotos elementariosios matricos:

P_{ij} = \begin{matrix}i \\ j \end{matrix} ( \begin{matrix}1 & & & & 0 & & 0 & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 0 & ⋯ & 1 & ⋯ & 0 \\ . & . & . \\ 0 & & & & 1 & ⋯ & 0 & & 0 \\ . & . & . \\ 0 & & & & 0 & & 0 & & 1 \end{matrix} ), D_{i} = i ( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & α \\ & & & & & & 1 \\ & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} )

L_{ij} = \begin{matrix}i \\ j \end{matrix} ( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 & ⋯ & α \\ & & & & & ... & ⋮ \\ & & & & & & 1 \\ & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} )

1) Kaip keisis matrica A padauginus ja̧ iš kairės ( iš dešinės) iš elementariosios matricos?

2) Raskite elementariu̧ju̧ matricu̧ atvirkštines matricas.

2. Keitiniu̧ matrica vadinama matrica, kurios kiekviename stulpelyje ir kiekvie-

noje eilutėje yra po viena̧ 1. Visi kiti elementai yra lygūs 0.Keitini̧ σ =

(13) (25) ∈ S_{5} atitinka matrica P_{σ} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , f : σ → P_{σ} .

1) I̧rodykite, kad f (σ ∘ τ) = f (τ) · f (σ) = P_{τ} · P_{σ} .

2) I̧rodykite,kad keitinio σ matrica P_{σ} yra elementariu̧ju̧ matricu̧ P_{ij} sandauga.

4. Raskite A^{−1}, kai

1) A =( \begin{matrix}2 & 1 & −3 \\ −2 & −2 & 4 \\ 4 & 2 & −5 \end{matrix} ) .

2) A=( \begin{matrix}2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

5. Išsprȩskite : X( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 & 9 & 8 \\ 0 & 1 & 6 \end{matrix} ) .

6. Raskite visas matricas komutuojančias su matrica ( \begin{matrix}3 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) .

7. Raskite ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{n} .

8. Raskite ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )^{n} .

9. Kvadratinė matrica A = ( \begin{matrix}0 & a & ⋯ & b \\ 0 & 0 & ⋯ & c \\ ⋮ & & ... & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix} ) ∈ M (n, K) . I̧rodykite, kad

A^{n} = 0.

10. Matrica A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −3 & −6 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix} ) . Raskite A^{n}.

11. Kokios matricu̧ aibės sudaro kūna̧ i̧prastu̧ operaciju̧ matricoms atžvilgiu:

a) \{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ) : x, y ∈ Q, n − fiksuotas sveikas skaičius\} ;

b) \{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ) : x, y ∈ R, n − fiksuotas sveikas skaičius\} ;

c) \{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ) : x, y ∈ Z_{p}, n − fiksuotas sveikas skaičius\} p = 2, 3, 5, 7 .