1. Determinantai.

1. Suskaičiuokite determinantus.

1) | \begin{matrix}5 & 1 & −2 \\ 7 & 3 & 1 \\ −1 & 2 & −3 \end{matrix} | , | \begin{matrix}4 & −1 & 10 \\ 2 & 5 & −3 \\ 1 & 6 & 2 \end{matrix} | , | \begin{matrix}1 & 2 & 3 & −5 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 7 & 3 & −2 & 1 \\ −3 & −5 & 1 & 2 \end{matrix} | .

2) | \begin{matrix}a & a & a & a \\ a & b & b & b \\ a & b & c & c \\ a & b & b & d \end{matrix} | , | \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & −1 & −i \\ 1 & −1 & 1 & −i \\ 1 & −i & −1 & i \end{matrix} | , | \begin{matrix}α & 1 & 1 & 1 \\ 1 & α & 1 & 1 \\ 1 & 1 & α & 1 \\ 1 & 1 & 1 & α \end{matrix} | .

3) A_{n} = | \begin{matrix}1 & a & a & a & ⋯ & ⋯ & a \\ 0 & 2 & a & a & ⋯ & ⋯ & a \\ 0 & 0 & 3 & a & ⋯ & ⋯ & a \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & n − 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n \end{matrix} | , B_{n} = | \begin{matrix}1 + x & 1 & ⋯ & 1 \\ 1 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 1 \\ 1 & ⋯ & 1 & 1 + x \end{matrix} | ,

C_{n} = | \begin{matrix}1 & α_{1} & α_{1}^{2} & ⋯ & α_{1}^{n−1} \\ 1 & α_{2} & α_{2}^{2} & ⋯ & α_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & α_{n} & α_{n}^{2} & ⋯ & α_{n}^{n−1} \end{matrix} | , D_{n} = | \begin{matrix}1 & 2 & 3 & ⋯ & n − 1 & n \\ 1 & 2 & 3 & ⋯ & n − 1 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 2 & 3 & 0 & ⋯ & 0 \\ 1 & 2 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \end{matrix} | ,

E_{n} = | \begin{matrix}1 & 1 & 1 & ⋯ & ⋯ & 1 \\ −1 & x & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & −1 & x \end{matrix} | , F_{n} = | \begin{matrix}1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & ⋯ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & ⋯ & 1 & 1 \\ ⋮ & ⋮ & & ... & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & ⋯ & n & 1 \\ 1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 & n + 1 \end{matrix} | .

F F_{n} = | \begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ 1 & a_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 1 \\ 1 & ⋯ & 1 & a_{n} \end{matrix} | , G_{n} = | \begin{matrix}0 & 1 & ⋯ & 1 \\ 1 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 1 \\ 1 & ⋯ & 1 & 0 \end{matrix} | ,

H_{n} = | \begin{matrix}1 & 2 & 3 & ⋯ & ⋯ & n \\ n & 1 & 2 & ⋯ & ⋯ & n − 1 \\ n − 1 & n & 1 & ... & & n − 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 3 & 4 & 5 & ⋯ & ⋯ & 2 \\ 2 & 3 & 4 & ⋯ & ⋯ & 1 \end{matrix} | .

2. I̧rodykite, kad jeigu A^{T} = −A , tai det A = (−1)^{n} det A .

3. Išsprȩskite lygtis.

1) | \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 − t^{2} & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 5 − t^{2} & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix} | = 0.

2) | \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ t + 1 & 2 & t + 3 & 4 \\ 1 & 3 + t & 4 + t & 5 + t \\ 1 & −3 & −4 & −5 \end{matrix} | = 0.

3) | \begin{matrix}x & 2 & 3 & 4 \\ 2 & x & 4 & 3 \\ 3 & 4 & x & 2 \\ 4 & 3 & 2 & x \end{matrix} | = 0. 4) | \begin{matrix}1 & x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \end{matrix} | = 0.

4.1. Palyginkite kvadratiniu̧ matricu̧ A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} ir B = (b_{ij})_{i,j=1}^{n} determinantus, jei b_{ij} = 2^{i−j}a_{ij} .

4.2. Palyginkite kvadratiniu̧ matricu̧ A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} ir B = (b_{ij})_{i,j=1}^{n} determinantus, jei b_{ij} = a_{n+1−i,j} .

4.3. Palyginkite kvadratiniu̧ matricu̧ A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} ir B = (b_{ij})_{i,j=1}^{n} determinantus, jei b_{ij} = a_{n+1−i,n+1−j}.

5. Tiesiogiai neskaičiuodami determinantu̧ i̧rodykite, kad

1) | \begin{matrix}2 & 0 & 6 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & 2 & 2 & 7 \\ 2 & 5 & 7 & 5 & 5 \\ 2 & 0 & 9 & 2 & 7 \\ 7 & 8 & 4 & 2 & 1 \end{matrix} | dalijasi iš 17.

2) | \begin{matrix}1 & 7 & 9 & 8 \\ 2 & 1 & 3 & 9 \\ 3 & 2 & 5 & 5 \\ 4 & 8 & 6 & 7 \end{matrix} | dalijasi iš 31.

6. I̧rodykite, kad n -osios eilės determinantas

F_{n} = | \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 1 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & 1 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ... & ⋯ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & −1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & −1 & 1 \end{matrix} | apibrėžia Fibonaccio skaičius.