1. Kompleksinės vieneto šaknys.

Tegu U (n) - n-ojo laipsnio vieneto šaknu̧ grupė. Ši grupė yra ciklinė, generuojama kuria nors primityvia̧ja šaknimi.

1. I̧rodykite, kad bet kuris U (n) pogrupis yra ciklinis.

2. Tegu ε_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} - vieneto šaknis. I̧rodykite, kad ε_{k} eilė yra lygi

\frac{n}{BDD (k, n)} .

3. I̧rodykite, kad bet kuriam n dalikliui d egzistuoja pogrupis, kurio eilė yra d .

4. I̧rodykite, kad šaknu̧, kuriu̧ eilė lygi d yra φ (d) (φ − EULERIO funkcija) .

5. I̧rodykite, kad primityviu̧ju̧ šaknu̧ yra φ (n) .

6. I̧rodykite, kad U (m) ⊂ U (n) , kai m|n .

7. I̧rodykite, kad U (m) ∩ U (n) = ε_{0} , kai BDD(m, n) = 1.

8. Faktorizuokite polinomus x^{n} − 1 ir x^{n} + 1 virš R, kai n = 3, ..., 25.

9. I̧rodykite, kad 1 + β + β^{2} + ⋯ + β^{n−1} = 0 , kai β ≠ 1 - vieneto šaknis.

10. Išreikšti funkcija cos 5x, cos 8x, sin 6x, sin 7x funkcijomis cos x ir sin x.

11. Išreikšti tg6φ funkcija tgφ.

12. Išreikšti funkcijas cos nx, sin nx funkcijomis sin x, cos x.

13. Išreikšti funkcijas sin^{3} x, sin^{4} x, cos^{5} x, cos^{6} x, sin^{3} x cos^{5} x funkcijomis sin nx, cos mx.