Studijų kryptis Informatika

2 semestro kurso klausimai,

2000 m. pavasario semestras

1. Charakteristinis polinomas, tikrinės reikšmės. Ermito ( simetrinių) matricų tikrinių reikšmių realumas. Matricos C ( kompleksinės, realiosios), tokios, kad C* C = E papildymas iki unitariosios ( ortogonaliosios) matricos.
2. Tokios unitariosios matricos C egzistavimas Ermito matricai, kad C* A C – įstrižaininė realioji matrica.
3. Kvadratinės formos ir tiesinis kintamųjų keitinys. Kanoninis kvadratinės formos pavidalas.
4. Kvadratinių formų inercijos dėsnis.
5. Teigiamai apibrėžtų kvadratinių formų kriterijai. Jakobio teorema.
6. Keitimo vienos bazės kita baze matrica ir jos savybės.
7. Tiesiniai atvaizdžiai. Branduolys ir vaizdas. Tiesinio atvaizdžio matrica ir jos kitimas keičiantis bazei.
8. Vektorinės erdvės poerdvių tiesioginė suma. Sumos tapimo tiesiogine suma būtinos ir pakankamos sąlygos. Teorema apie tiesioginės sumos bazę.
9. Bazė poerdvio atžvilgiu. Faktorerdvė ( apibrėžimas ir bazė).
10. Izomorfizmų teoremos vektorinėms erdvėms. Veiksmai su tiesiniais atvaizdžiais. Kanoninė tiesinio atvaizdžio matricos forma.
11. Operatoriaus matrica vektorinėje erdvėje su invariantiniu poerdviu arba vektorinėje erdvėje, kuri yra tiesioginė invariantinių poerdvių suma. Charakteristinis tokio operatoriaus polinomas.
12. Operatoriaus cikliniame poerdvyje matrica ( Frobeniuso matrica) ir charakteristinis polinomas. Minimalusis vektoriaus anuliatorius.
13. Minimalusis operatoriaus polinomas. Vektorinės erdvės su operatoriumi skaidinys tiesiogine primariųjų poerdvių suma.
14. Primariosios erdvės skaidinys tiesiogine ciklinių primariųjų poerdvių suma.
15. Charakteristiniai ir minimalūs operatorių primariuose poerdviuose ir cikliniuose primariuose poerdviuose polinomai. Ciklinio primariojo poerdvio skaidinio tiesiogine suma invariantiniais poerdviais negalimumas.
16. Kanoninės operatoriaus matricų formos: Frobeniuso-Žordano ir Žordano formos.
17. Tikrinės operatoriaus reikšmės ir vektoriai. Savybės
18. Šakniniai vektoriai, šakniniai poerdviai. Kompleksinės vektorinės ervės tiesioginis skaidinys šakninių poerdvių suma.
19. Matricos konstravimas Žordano bazėje. Idempotentinis operatorius ir jo matricos Žordano forma.
20. Realiosios vektorinės erdvės komleksifikacija. Operatoriaus plėtinys. Charakteristiniai polinomai. Erdvės ir jos kopleksifikacijos skaidinių poerdvių tiesiogine suma santykis.
21. Operatoriaus realioje vektorinėje erdvėje kanoninė bazė ir matrica.
22. Euklido ir unitariosios erdvių apibrėžimai. Košy nelygybė. Pavyzdžiai. Euklido erdvės įdėjimas į unitariąją erdvę.
23. Ortogonaliosios sistemos tiesinis nepriklausomumas. Gramo-Šmidto ortogonalizacijos procesas. Ortonormuotos baės egzistavimas. Ortogonalusis papildinys ir jo savybės.
24. Tiesinio funkcionalo reiškimas skaliarine sandauga. Jungtinis atvaizdis, jo egzistavimas ir vienatinumas.
25. Jungtinio operatoriaus matrica. Vienos ortonormuotos bazės keitimo kita ortonormuota baze matrica.
26. Veiksmai su atvaizdžiais ir * . Operatorių A ir A* invariantinių poerdvių santykiai. Šuro teorema.
27. Normalusis, savijungis, unitarusis, teigiamai apibrėžtas operatoriai.
28. Polinis operatoriaus skaidinys.
29. Atvaizdžio unitarioje erdvėje kanoninė forma.
30. Gramo matricos geometrinė prasmė.