Algebros egzaminas. Informatika. 2001 06 15. Rimantas Grigutis Atsakymai ir sprendimai

1.I̧rodykite, kad su visais natūraliaisiais n, tarpusavyje pirminiais skaičiui 10, teisinga: (n + 20)^{n+20} ≡ n^{n} (mod 10) . Pasinaudokite Oilerio teorema.

Sprendimas. (n + 20)^{n+20} ≡ n^{n+20} = n^{n} · n^{20} (mod 10) . Pagal Oilerio teorema̧ n^{φ(10)} = n^{4} ≡ 1 (mod 10) , todėl ir n^{20} ≡ 1 (mod 10) .

2. Suformuluokite Oilerio teorema̧ ir iliustruokite ja̧ ne mažiau kaip 4 pavyzdžiais. Sprendimas. Oilerio teorema: Su visais a ∈ N, ir (a, m) = 1 teisinga

a^{φ(m)} ≡ 1 (mod m) .

3. Kurie iš polinomu̧ yra neredukuojami virš Q : a)x^{2} + 3; b)x^{2} − 169; c)x^{3} + x^{2} + x + 1; d)x^{3} + 2x^{2} + 3x + 4. Atsakymus pagri̧skite. Teiginiais, kuriais remiatės, i̧rodykite.

Sprendimas. a) ir d)− taip; b) ir c)− ne.

4. Parašykite kubines šaknis iš −i (minus i) trigonometrine ir poline forma. Sprendimas. ^{3} \sqrt{−i} = \{[1, \frac{π}{2} ] , [1, \frac{7π}{6} ] , [1, \frac{11π}{6} ]\} = \{i; −\frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{1}{2}i; \frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{1}{2}i\} .

5. Išsprȩskite lygti̧ ((1 − i) z)^{3} + i = 0 ir atsakyma̧ parašykite algebrine forma.

Sprendimas. z = \frac{\sqrt[3]{−i}}{1 − i} = \frac{\sqrt[3]{−1}}{[\sqrt{2}, \frac{7π}{4} ]} = \{[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3π}{4} ] , [\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{17π}{12} ] , [\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{π}{12}]\}

= \{−\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i; ^{\frac{− \frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{1}{2} i}{1−i}} = \frac{1}{4} − \frac{1}{4} \sqrt{3} − (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{3}) i; ^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{1}{2} i}{1−i}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{3} − (\frac{1}{4} − \frac{1}{4} \sqrt{3}) i\}

6. Parašykite teigiamai apibrėžta̧ kvadratinȩ forma̧ f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) , kurioje a) būtu̧ visu̧ kintamu̧ju̧ kvadratai ir ne visi a_{i,j} = 0, i ≠ j; b) būtu̧ tik dvieju̧ kintamu̧ju̧ kvadratai; c) būtu̧ tik vienas kintamu̧ju̧ kvadratas; d) nėra kintamu̧ju̧ kvadratu̧. Atsakymus pagri̧skite.

Sprendimas. Kvadratinės formos matricos visi pagrindiniai minorai turi būti teigiami.

7. Nustatykite, kurios vektorinės erdvės V poaibiai U yra poerdviai: a) V = R^{3}, U = {(x, y, z) : z = 3x + 2}; b) V = R^{2}, U = {(x, y) : xy ≥ 0}; c)V = M_{3×3} (R) , A− fiksuota matrica iš V, U = {X ∈ M_{3×3} (R) : XA = AX} .

Sprendimas. a) ir b)− ne; c)− taip. Tikrinti sa̧lyga̧: jei u_{1}, u_{2} ∈ U, tai ir a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} ∈ U su visais a_{1}, a_{2} ∈ R.

8. Polinomu̧ skaliarinė sandauga apibrėžta lygybe (p (x) , q (x)) = ∫_{0}^{1} p (x) q (x) dx.

raskite polinomo f (x) = x^{2} projekcija̧ poerdvyje, generuotame polinomu g (x) = x.

Sprendimas. Projekcija yra \frac{(f,g)}{(g,g)} · g (x) = \frac{3}{4}x, nes (f, g) = ∫_{0}^{1} x^{3}dx = \frac{1}{4} ir

(g, g) = ∫_{0}^{1} x^{2}dx = \frac{1}{3}.

9. Tegu W yra R^{n} poerdvis, o W^{⊥}− ortogonalusis W papildinys. Turime, kad su visais a ∈ W teisinga a = a_{W} + a_{W^{⊥}}, čia a_{W} yra a projekcija poerdvyje W, o a_{W^{⊥}}− a projekcija poerdvyje W^{⊥}. I̧rodykite, kad ∥a∥ = \sqrt{∥a_{W} ∥^{2} + ∥a_{W^{⊥}}∥^{2}}.

Sprendimas. ∥a∥ = \sqrt{(a, a)} = \sqrt{(a_{W} + a_{W^{⊥}}, a_{W} + a_{W^{⊥}})} = \sqrt{∥a_{W} ∥^{2} + ∥a_{W^{⊥}}∥^{2}}, nes (a_{W} , a_{W^{⊥}}) = 0.

10. Tegu u, v, w ∈ R_{3} (stulpeliai) ir A yra 3 × 3 matrica. I̧rodykite, kad vektoriu̧ sistema u, v, w yra R_{3} bazė tada, kada vektoriu̧ sistema Au, Av, Aw yra R_{3} bazė.

Sprendimas. a · u + b · v + c · w = 0 ⟺ A · (a · u + bv · +cw·) = A · 0 = 0 ⟺ a·(A · u)+b·(A · v)+c·(A · w) = 0. Jeigu sistema Au, Av, Aw yra tiesiškai nepriklausoma, tai a = b = c = 0 ir todėl vektoriu̧ sistema u, v, w yra tiesiškai neprikausoma.

11. Tegu v_{1} ir v_{2} yra tiesinio operatoriaus T : V → V tikriniai vektoriai, atitinkantys skirtingas tikrines reikšmes λ_{1} ir λ_{2} . I̧rodykite, kad vektoriai v_{1} ir v_{2} yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas. Tegu T v_{1} = λ_{1}v_{1} ir T v_{2} = λ_{2}v_{2}. Tegu c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} = 0. Tada T (c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2}) = c_{1}λ_{1}v_{1} + c_{2}λ_{2}v_{2} = 0 ir λ_{2} (c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2}) = λ_{2}c_{1}v_{1} + λ_{2}c_{2}v_{2} = 0. Atėmȩ šias lygybes turėsime: (λ_{1} − λ_{2}) c_{1}v_{1} = 0 ⇒ c_{1} = 0. Analogiškai parodome, kad c_{2} = 0.

Duota matrica A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} ) .

12. Raskite matricos A charakteristini̧ polinoma̧. Sprendimas. (t − 1) (t − 4)^{2} .

13. Raskite matricos A minimalu̧ji̧ polinoma̧. Sprendimas. (t − 1) (t − 4)^{2} .

14. Raskite matricos A Žordano forma̧.

Sprendimas. ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} ) .

Matricos C chatakteristinis polinomas yra (x − 2)^{4} (x − 3) .

15. Kurie iš polinomu̧ gali būti matricos C minimalieji polinomai:

a) (x − 2)^{3} (x − 3)^{2} ; b) (x − 1)^{2} (x − 2)^{2} ; c) (x − 2)^{2} (x − 3) ; d) (x − 3)^{2} . Atsakyma̧ pagri̧sti.

Sprendimas. c). Minimalusis polinomas yra charakteristinio polinomo daliklis.

16. Parašykite visas i̧manomas skirtingas matricos C, kurios minimalusis polinomas iš 15., Žordano formas.

Sprendimas.( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) .