Algebros egzaminas. 2 semestras. Informatika. 2001 06 15. Rimantas Grigutis

1.I̧rodykite, kad su visais natūraliaisiais n, tarpusavyje pirminiais skaičiui 10, teisinga: (n + 20)^{n+20} ≡ n^{n} (mod 10) . Pasinaudokite Oilerio teorema.

2. Suformuluokite Oilerio teorema̧ ir iliustruokite ja̧ ne mažiau kaip 4 pavyzdžiais.

3. Kurie iš polinomu̧ yra neredukuojami virš Q : a)x^{2} + 3; b)x^{2} − 169; c)x^{3} + x^{2} + x + 1; d)x^{3} + 2x^{2} + 3x + 4. Atsakymus pagri̧skite. Teiginiais, kuriais remiatės, i̧rodykite.

4. Parašykite kubines šaknis iš −i (minus i) trigonometrine ir poline forma.

5. Išsprȩskite lygti̧ ((1 − i) z)^{3} + i = 0 ir atsakyma̧ parašykite algebrine forma.

6. Parašykite teigiamai apibrėžta̧ kvadratinȩ forma̧ f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) , kurioje a) būtu̧ visu̧ kintamu̧ju̧ kvadratai ir ne visi a_{i,j} = 0, i ≠ j; b) būtu̧ tik dvieju̧ kintamu̧ju̧ kvadratai; c) būtu̧ tik vienas kintamu̧ju̧ kvadratas; d) nėra kintamu̧ju̧ kvadratu̧. Atsakymus pagri̧skite.

7. Nustatykite, kurios vektorinės erdvės V poaibiai U yra poerdviai: a) V = R^{3}, U = {(x, y, z) : z = 3x + 2}; b) V = R^{2}, U = {(x, y) : xy ≥ 0}; c)V = M_{3×3} (R) , A− fiksuota matrica iš V, U = {X ∈ M_{3×3} (R) : XA = AX} .

8. Polinomu̧ skaliarinė sandauga apibrėžta lygybe (f (x) , g (x)) = ∫_{0}^{1} f (x) g (x) dx.

raskite polinomo f (x) = x^{2} projekcija̧ poerdvyje, generuotame polinomu g (x) = x.

9. Tegu W yra R^{n} poerdvis, o W^{⊥}− ortogonalusis W papildinys. Turime, kad su visais a ∈ W teisinga a = a_{W} + a_{W^{⊥}}, čia a_{W} yra a projekcija poerdvyje W, o a_{W^{⊥}}− a projekcija poerdvyje W^{⊥}. I̧rodykite, kad ∥a∥ = \sqrt{∥a_{W} ∥^{2} + ∥a_{W^{⊥}}∥^{2}}.

10. Tegu u, v, w ∈ R_{3} (stulpeliai) ir A yra 3×3 matrica. I̧rodykite, kad vektoriu̧ sistema u, v, w yra R_{3} bazė tada ir tik tada, kada vektoriu̧ sistema Au, Av, Aw yra R_{3} bazė.

11. Tegu v_{1} ir v_{2} yra tiesinio operatoriaus T : V → V tikriniai vektoriai, atitinkantys skirtingas tikrines reikšmes λ_{1} ir λ_{2} . I̧rodykite, kad vektoriai v_{1} ir v_{2} yra tiesiškai nepriklausomi.

Duota matrica A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} ) .

12. Raskite matricos A charakteristini̧ polinoma̧.

13. Raskite matricos A minimalu̧ji̧ polinoma̧.

14. Raskite matricos A Žordano forma̧. Matricos C chatakteristinis polinomas yra (x − 2)^{4} (x − 3) .

15. Kurie iš polinomu̧ gali būti matricos C minimalieji polinomai:

a) (x − 2)^{3} (x − 3)^{2} ; b) (x − 1)^{2} (x − 2)^{2} ; c) (x − 2)^{2} (x − 3) ; d) (x − 3)^{2} . Atsakyma̧ pagri̧sti.

16. Parašykite visas i̧manomas skirtingas matricos C, kurios minimalusis polinomas iš 15., Žordano formas.