Algebros egzaminas informatikams. 2001 05 31. Rimantas Grigutis.

1.1. Raskite mažiausio laipsnio polinoma̧ f (x) , kuris dalijasi iš x^{2} + 1, o polinomas f (x) − 1 dalijasi iš x^{3} + 1.

1.2. Tegu g (x) ir h (x) yra duoti polinomai. ar visada egzistuoja toks polinomas f (x) , kuris dalijasi iš g (x) , o polinomas f (x)−1 dalijasi iš h (x) ? Atsakyma̧ pagri̧skite.

2. Tikslios cos \frac{π}{5} reikšmės skaičiavimas. 2.1. Pasinaudojȩ Muavro formule, išreikškite cos 5α reiškiniu cos α. 2.2. I̧sitikinkite, kad gautoji 2.1 lygtis cos α atžvilgiu turi kartotines šaknis. 2.3. Raskite lygties iš 2.2 šaknis ir apskaičiuokite cos \frac{π}{5}.

3. Tegu V yra realioji vektorinė erdvė, o a, b, c - trys jos vektoriai ir u = b + c, v = c + a, w = a + b.

3.1. I̧rodykite, kad tiesiniai apvalkalai, generuoti vektoriais a, b, c ir vektoriais u, v, w sutampa: [a, b, c] = [u, v, w] .

3.2. I̧rodykite, kad vektoriu̧ sistema a, b, c yra tiesiškai nepriklausoma tada ir tik tada, kada tiesiškai nepriklausoma yra sistema u, v, w.

3.3. Tegu a, b, c yra tiesiškai nepriklausoma sistema. Raskite poerdvio U = [a, b, c] bazės u, v, w keitimo baze a, b, c matrica̧ C. I̧rodykite, kad taip apibrėžta matrica yra vienintėlė.

4. Duota matrica A = ( \begin{matrix}8 & −1 & −5 \\ −2 & 3 & 1 \\ 4 & −1 & −1 \end{matrix} ) .

4.1. Raskite matricos A charakteristini̧ polinoma̧. 4.2. Raskite matricos A minimau̧ji̧ polinoma̧. 4.3. Raskite matricos A tikrines reikšmes. 4.4. Raskite matricos A tikrinius vektorius, atitinkančius visas tikrines reikšmes. 4.5. Raskite matricos A Žordano forma̧. 4.6. Ar visi tiesiškai neprikausomi tikriniai matricos A vektoriai, atitinkantys

visas tikrines reikšmes sudaro matricos A Žordano bazȩ? Atsakyma̧ pagri̧skite.