EGZAMINO UŽDUOTIS( 1999-2000 m.m., 2 semestras) Operatoriaus kanoninės matricos.

Duota operatoriaus A : R^{10} → R^{10} matricos Frobeniuso forma A standartinėje bazėje.

1. Parašykite operatoriaus A matricos Frobeniuso forma̧.

2. Parašykite operatoriaus A matricos Frobeniuso-Žordano forma̧ ir bazȩ.

3. Parašykite operatoriaus A plėtininio A : C^{10} → C^{10} matricos Žordano forma̧ ir bazȩ.

4. Parašykite operatoriaus A matricos realia̧ja̧ kanoninȩ forma̧ ir bazȩ.

1 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} (t + c)^{s} . a = −2, −1, 1, 2,; b yra toks iš 1, 2, 3, ..., 8 kad a^{2} − 4b < 0. c ≥ 31. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

2 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b) (t + c)^{s} . a = −4, −3, 3, 4; b yra toks iš 3, ..., 10 kad a^{2} − 4b < 0. c ≤ −30. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

3 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{2} (t + c)^{s} . a = −6, −5, 5, 6; b yra toks iš 6, ..., 13 kad a^{2} − 4b < 0. −30 ≤ c ≤ −1. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

A = ( \begin{matrix}F^{2} & O & O \\ O & F^{2} & O \\ O & O & J \end{matrix} ) ,

čia F^{2}− polinomo (t^{2} + at + b)^{2} lydinčioji matrica, o J− polinoma̧ (t + c)^{s} atitinkanti matrica.

4 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{2} (t + c)^{s} . a = −2, −1, 1, 2; b yra toks iš 9, ..., 16 kad a^{2} − 4b < 0. 1 ≤ c ≤ 30. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

A = ( \begin{matrix}F & O & O & O \\ O & F & O & O \\ O & O & F & O \\ O & O & O & J \end{matrix} )

čia F − polinomo t^{2}+at+b lydinčioji matrica, o J− polinoma̧ (t + c)^{s} atitinkanti matrica.

ALGEBROS EGZAMINAS( 1999-2000 m.m., 2 semestras) 1 ir 2 Informatiku̧ grupės

1. I̧rodykite: realiosios simetrinės matricos tikriniai vektoriai-stulpeliai, atitinkantys skirtingas tikrines reikšmes, - ortogonalūs.

2. I̧rodykite tiesinio atvaizdžio A : U → V savybes:

1) A (0) = 0;

2) Jeigu u_{1}, ..., u_{n} yra tiesiškai priklausoma U sistema, tai A (u_{1}) , ..., A (u_{n}) yra tiesiškai priklausoma V sistema;

3) Jeigu u_{1}, ..., u_{n} yra generuojanti U sistema, tai A (u_{1}) , ..., A (u_{n}) yra generuojanti A (U) sistema.

3. I̧rodykite: jeigu vektoriu̧ sistemos v_{1}, ..., v_{n} vektoriai yra vektoriu̧ sistemos u_{1}, ..., u_{m} vektoriu̧ tiesinės kombinacijos, t.y. v_{1}, ..., v_{n} ∈ [u_{1}, ..., u_{m}] , ir vektorius v ∈ [v_{1}, ..., v_{n}] , tai v ∈ [u_{1}, ..., u_{m}] .

4. Tegu V = U⊕W. Tada poerdvis U vadinamas poerdvio W tiesioginiu papildiniu.Ar kievienam vektorinės erdvės poerdviui egzistuoja tiesioginis papildinys? Jeigu egzistuoja tai ar vienintėlis šis tiesioginis papildinys?Atsakymus pagri̧skite. Pateikite pavyzdžius

5. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx} ir jungtinio opera-

toriaus D^{∗} matricas bazėje \frac{1}{2}x^{2} − \frac{1}{2}x, x^{2} − 1, \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

6. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

D_{n}: ∘ − ∘ − ⋯ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} , čia n = 8 viršūniu̧,

kvadratinė forma F_{D_{n}} yra teigiamai apibrėžta.

7. Koks savijungio operatoriaus polinis skaidinys?

8. Raskite operatoriaus matricos ( \begin{matrix}1 & 3 \\ −2 & 1 \end{matrix} ) polini̧ skaidini̧.

9. Raskite vektoriu̧ sistemos (1, −2, 3) , (2, 5, −6) , (−2, 1, 4) Gramo matrica̧.

10. Raskite gretasienio apibrėžto vektoriu̧ sistema (1, −2, 3) , (2, 5, −6) , (−2, 1, 4)

trimati̧ tūri̧.

3 ir 4 Informatiku̧ grupės

1. I̧rodykite: normaliojo operatoriaus tikriniai vektoriai atitinkantys skirtingas tikrines reikšmes yra ortogonalūs.

2. Kvadratinės formos f = X^{T} AX rangu vadinamas matricos A rangas. I̧rodykite, kad kvadratinės formas rangas yra lygus nenuliniu̧ matricos A tikriniu̧ reikšmiu̧ skaičiui.

3. Tegu v_{1}, ..., v_{n}− tiesiškai nepriklausoma sistema, o v, v_{1}, ..., v_{n}− tiesiškai priklausoma sistema. Tada vektorius v ∈ [v_{1}, ..., v_{n}]

4. Tegu V = U⊕W. Tada poerdvis U vadinamas poerdvio W tiesioginiu papildiniu.Ar kievienam vektorinės erdvės poerdviui egzistuoja tiesioginis papildinys? Jeigu egzistuoja tai ar vienintėlis šis tiesioginis papildinys?Atsakymus pagri̧skite. Pateikite pavyzdžius.

5. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje 2x − 1, x, \frac{3}{2}x^{2} − \frac{1}{2}.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

6. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

E_{n}: ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} ⋯ − ∘ − ∘ , čia n = 8 viršūniu̧.

7. Koks unitaraus operatoriaus polinis skaidinys?

8. Raskite operatoriaus matricos ( \begin{matrix}3 & −4 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) polini̧ skaidini̧.

9. Raskite vektoriu̧ sistemos (2, −5, 4) , (1, 1, 3) , (−3, 6, 7) Gramo matrica̧.

10. Raskite gretasienio apibrėžto vektoriu̧ sistemos (2, −5, 4) , (1, 1, 3) , (−3, 6, 7)

trimati̧ tūri̧.