ALGEBROS EGZAMINAS( 1999-2000 m.m., 1 semestras)

V-1 1. Pateikite formuluotes: 1.1 .Kinu̧ teorema liekanoms. 1.2. Keitiniai ir ju̧ reiškimo būdai ( pavyzdžiai); keitiniu̧ grupė; transpozicijos,

lyginiai, nelyginiai keitiniai; keitinio ženklas, teiginys apie keitinio ženkla̧; Keli ( Cayley) teorema.

1.3. Prijungtoji matrica; atvirkštinė matrica ir jos vienatinumas; matricu̧, turinčiu̧ atvirkštines, ekvivalentūs apibrėžimai. Kramerio formulės.

2. I̧rodykite:Vieneto šaknys ir ju̧ savybės; primityviosios vieneto šaknys, vieneto šaknies primityvumo laipsnis; vieneto šaknu̧ grupė; n -ojo laipsnio šaknu̧ iš kompleksino skaičiaus reiškimas vieneto šaknimis.

3. Tegu n = (a_{k}a_{k−1}...a_{2}a_{1}a_{0})_{10} = a_{k}10^{k} + ⋯ + a_{0}.

Q_{s} (n) = ∑_{i=0}^{∞} (a_{is+s−1}...a_{is+1}a_{is}) ,

tada n = ∑_{i=0}^{∞} (a_{is+s−1}...a_{is+1}a_{is}) · 10^{is}

I̧rodyti: su visais n ∈ N, s ∈ N teisinga n ≡ Q_{s} (n) (mod 10^{s} − 1) .

4. cos 8x išreikšti funkcijomis cos x ir sin x.

V-2 1. Pateikite formuluotes: 1.1 .Kinu̧ teorema liekanoms. 1.2. Keitiniai ir ju̧ reiškimo būdai ( pavyzdžiai); keitiniu̧ grupė; transpozicijos,

lyginiai, nelyginiai keitiniai; keitinio ženklas, teiginys apie keitinio ženkla̧; Keli ( Cayley) teorema.

1.3. Prijungtoji matrica; atvirkštinė matrica ir jos vienatinumas; matricu̧, turinčiu̧ atvirkštines, ekvivalentūs apibrėžimai. Kramerio formulės.

2. I̧rodykite. Eulerio ir mažoji Ferma teoremos. 3.Tegu n = (a_{k}a_{k−1}...a_{2}a_{1}a_{0})_{10} = a_{k}10^{k} + ⋯ + a_{0}.

Qs^{′} (n) = ∑_{i=0}^{∞} (−1)^{i} (a_{is+s−1}...a_{is+1}a_{is}) .

I̧rodyti: su visais n ∈ N, s ∈ N teisinga n ≡ Qs^{′} (n) (mod 10^{s} + 1) . 4.Funkcija̧ cos^{5} x išreikšti funkcijomis sin nx ir cos mx.

V-3 1. Pateikite formuluotes: 1.1 .Kinu̧ teorema liekanoms. 1.2. Keitiniai ir ju̧ reiškimo būdai ( pavyzdžiai); keitiniu̧ grupė; transpozicijos,

lyginiai, nelyginiai keitiniai; keitinio ženklas, teiginys apie keitinio ženkla̧; Keli ( Cayley) teorema.

1.3. Prijungtoji matrica; atvirkštinė matrica ir jos vienatinumas; matricu̧, turinčiu̧ atvirkštines, ekvivalentūs apibrėžimai. Kramerio formulės.

2.I̧rodykite: Primityviosios klasės; klasės turinčios atvirkštines.Vilsono teorema.

3. Parašykite daugybos lenteles žieduose Z_{7}, Z_{9}, Z_{11}. Išsprȩskite lygtis x^{2} = 1 ir x^{2} = −1 minėtuose žieduose.

4. I̧rodykite, kad S_{n} = ⟨(1, 2) , (1, 3) , ..., (1, n)⟩ .

V-4 1. Pateikite formuluotes: 1.1 .Kinu̧ teorema liekanoms. 1.2. Keitiniai ir ju̧ reiškimo būdai ( pavyzdžiai); keitiniu̧ grupė; transpozicijos,

lyginiai, nelyginiai keitiniai; keitinio ženklas, teiginys apie keitinio ženkla̧; Keli ( Cayley) teorema.

1.3. Prijungtoji matrica; atvirkštinė matrica ir jos vienatinumas; matricu̧, turinčiu̧ atvirkštines, ekvivalentūs apibrėžimai. Kramerio formulės.

2.I̧rodykite:Primityviosios klasės ir klasės, turinčios atvirkštines. Likiniu̧ klasiu̧ žiedo tapimo kūnu sa̧lygos.

3. Parašykite daugybos lenteles žieduose Z_{8}, Z_{12}. Išsprȩskite lygtis x^{2} = 1 ir x^{2} = −1 minėtuose žieduose.

4. I̧rodykite, kad S_{n} = ⟨(1, 2) , (2, 3) , ..., (n − 1, n)⟩.

V-5 1. Pateikite formuluotes: 1.1 .Kinu̧ teorema liekanoms. 1.2. Keitiniai ir ju̧ reiškimo būdai ( pavyzdžiai); keitiniu̧ grupė; transpozicijos,

lyginiai, nelyginiai keitiniai; keitinio ženklas, teiginys apie keitinio ženkla̧; Keli ( Cayley) teorema.

1.3. Prijungtoji matrica; atvirkštinė matrica ir jos vienatinumas; matricu̧, turinčiu̧ atvirkštines, ekvivalentūs apibrėžimai. Kramerio formulės.

2.I̧rodykite:Teorema apie formalu̧ ir funkcionalu̧ polinomu̧ tapatuma̧.

3. Tegu σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 5 & 1 & 8 & 3 & 6 & 4 & 7 & 9 \end{matrix} ) ,

τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 1 & 5 & 4 & 7 & 2 & 6 & 8 & 9 & 3 \end{matrix} ) . Pararašykite keitinius

σ, τ, σ ∘ τ, σ ∘ τ ∘ σ^{−1}, σ^{−1}, τ^{−1}, τ ∘ σ, τ ∘ σ ∘ τ^{−1} nesikertančiais ciklais. Kokios šiu̧ keitiniu̧ eilės? Lyginiai ar nelyginiai šie keitiniai ?

4. Kokios matricu̧ aibės sudaro kūna̧ i̧prastu̧ operaciju̧ matricoms atžvilgiu:

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ) : x, y ∈ Q, n − fiksuotas sveikas skaičius\} .

V-6 1. Pateikite formuluotes: 1.1 .Kinu̧ teorema liekanoms. 1.2. Keitiniai ir ju̧ reiškimo būdai ( pavyzdžiai); keitiniu̧ grupė; transpozicijos,

lyginiai, nelyginiai keitiniai; keitinio ženklas, teiginys apie keitinio ženkla̧; Keli ( Cayley) teorema.

1.3. Prijungtoji matrica; atvirkštinė matrica ir jos vienatinumas; matricu̧, turinčiu̧ atvirkštines, ekvivalentūs apibrėžimai. Kramerio formulės.

2.I̧rodykite:Likiniu̧ klasiu̧ žiedo tapimo kūnu sa̧lygos( polinominis variantas).

3. Tegu τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 7 & 2 & 11 & 4 & 6 & 8 & 9 & 10 & 1 & 3 & 5 \end{matrix} ), o σ = (3, 8, 7) ∈ S_{11} .

Pararašykite keitinius

σ, τ, σ ∘ τ, σ ∘ τ ∘ σ^{−1}, σ^{−1}, τ^{−1}, τ ∘ σ, τ ∘ σ ∘ τ^{−1} nesikertančiais ciklais. Kokios šiu̧ keitiniu̧ eilės? Lyginiai ar nelyginiai šie keitiniai ?

4. Kokios matricu̧ aibės sudaro kūna̧ i̧prastu̧ operaciju̧ matricoms atžvilgiu:

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ) : x, y ∈ R, n − fiksuotas sveikas skaičius\} .

V-7 1. Pateikite formuluotes: 1.1 .Kinu̧ teorema liekanoms. 1.2. Keitiniai ir ju̧ reiškimo būdai ( pavyzdžiai); keitiniu̧ grupė; transpozicijos,

lyginiai, nelyginiai keitiniai; keitinio ženklas, teiginys apie keitinio ženkla̧; Keli ( Cayley) teorema.

1.3. Prijungtoji matrica; atvirkštinė matrica ir jos vienatinumas; matricu̧, turinčiu̧ atvirkštines, ekvivalentūs apibrėžimai. Kramerio formulės.

2.I̧rodykite:Teoremos apie polinomo šaknu̧ kartotinuma̧ ir apie neredukuojamo daugiklio kartotinuma̧.

3. Tegu σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 5 & 1 & 8 & 3 & 6 & 4 & 7 & 9 \end{matrix} ) ,

τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 1 & 5 & 4 & 7 & 2 & 6 & 8 & 9 & 3 \end{matrix} ) . Pararašykite keitinius

σ, τ, σ ∘ τ, σ ∘ τ ∘ σ^{−1}, σ^{−1}, τ^{−1}, τ ∘ σ, τ ∘ σ ∘ τ^{−1} nesikertančiais ciklais. Kokios šiu̧ keitiniu̧ eilės? Lyginiai ar nelyginiai šie keitiniai ?

4. Kokios matricu̧ aibės sudaro kūna̧ i̧prastu̧ operaciju̧ matricoms atžvilgiu:

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ) : x, y ∈ Z_{3}, n − fiksuotas sveikas skaičius\} .

V-8.1. Pateikite formuluotes: 1.1 .Kinu̧ teorema liekanoms. 1.2. Keitiniai ir ju̧ reiškimo būdai ( pavyzdžiai); keitiniu̧ grupė; transpozicijos,

lyginiai, nelyginiai keitiniai; keitinio ženklas, teiginys apie keitinio ženkla̧; Keli ( Cayley) teorema.

1.3. Prijungtoji matrica; atvirkštinė matrica ir jos vienatinumas; matricu̧, turinčiu̧ atvirkštines, ekvivalentūs apibrėžimai. Kramerio formulės.

2.I̧rodykite: Neredukuojami polinomai virš R ir virš C. Kompleksiniai skaičiai kaip likiniu̧ klasiu̧ kūnas.

3. Tegu τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 7 & 2 & 11 & 4 & 6 & 8 & 9 & 10 & 1 & 3 & 5 \end{matrix} ), o σ = (3, 8, 7) ∈ S_{11}

. Pararašykite keitinius

σ, τ, σ ∘ τ, σ ∘ τ ∘ σ^{−1}, σ^{−1}, τ^{−1}, τ ∘ σ, τ ∘ σ ∘ τ^{−1} nesikertančiais ciklais. Kokios šiu̧ keitiniu̧ eilės? Lyginiai ar nelyginiai šie keitiniai ?

4. Kokios matricu̧ aibės sudaro kūna̧ i̧prastu̧ operaciju̧ matricoms atžvilgiu:

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ) : x, y ∈ Z_{2}, n − fiksuotas sveikas skaičius\}.

ALGEBROS EGZAMINAS (1999-2000 m.m., 1 semestras)

1. Kuris iš lyginiu̧ turi sprendini̧? Išsprȩskite ši̧ lygini̧. A.2x ≡ 7 (mod 4) .B.2x ≡ 7 (mod 5) .C. 3x ≡ 7 (mod 9) .D.3x ≡ 5 (mod 12) .

2. Raskite trigonometrinȩ kompleksinio skaičiaus \sqrt{3} − i išraiška̧.

3. Raskite matricos A = ( \begin{matrix}2 & 3 & 1 \\ 1 & −2 & −3 \\ 4 & −1 & −5 \end{matrix} ) ranga̧.

4. Sudauginkite matricas: B · C ir C · B , čia

B = ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 2 & 3 & −3 & 4 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}2 & 3 & 6 & 4 \\ 4 & −2 & 7 & 3 \\ 1 & −1 & 5 & 2 \\ 5 & −4 & −1 & 7 \end{matrix} ) .

5. Raskite matricos D = ( \begin{matrix}2 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} ) atvirkštinȩ matrica̧.

6. Apskaičiuokite determinanta̧ | \begin{matrix}−1 & 2 & 0 & 6 \\ 2 & −2 & 0 & 11 \\ 1 & 1 & 0 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & 5 \end{matrix} | .

7. Parašykite polinomo f (x) = x^{3} skleidinio dvinariais x − 2 Teiloro formulȩ.

8. Raskite natūraliuosius n ir m tenkinančius sistema̧ \{ \begin{matrix}n + m = 180 \\ DBD (n, m) = 30 \end{matrix} .

9. Neredukuojamu̧ virš R polinomu̧ laipsnis gali būti ( pabraukti): 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; bet koks .

10. Kiek inversiju̧ sudarys 10-os eilės kėlinyje 1 , jei jis yra 4 vietoje( pabraukti): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 .

11. n-ojo laipsnio polinomo virš kūno galimas šaknu̧ skaičius visada yra :

a) =1; b)≥ 1; c)=2; d)≥ 2; e)≤ n; f) = n ; g) >n.

12. Išskaidykite polinoma̧ x^{3} − 2x^{2} − 5x + 6 ∈ Q [x] dauginamaisiais virš kūno Q.

13. Nurodykite toki̧ natūralu̧ji̧ m, kad polinomas x^{5} + x^{3} + x^{2} − 15 dalytu̧si iš polinomo x^{3} + 5 be liekanos žiede Z_{m} [x] .

14. Suformuluokite Eulerio ir maža̧ja̧ Ferma teoremas.

15. Parašykite 6-ojo laipsnio primityvia̧sia̧s vieneto šaknis.

16. Parašykite Lagranžo interpoliacini̧ polinoma̧ lentelei:

\begin{matrix}x & 0 & 1 & -1 & 3 \\ f (x) & 0 & 1 & 1 & 9 \end{matrix} .

ATSAKYMAI.

1. B. x = 1.

2. 2 (cos \frac{11}{6}π + i sin \frac{11}{6}π) .

3. rankA = 2.

4. ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 2 & 3 & −3 & 4 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}2 & 3 & 6 & 4 \\ 4 & −2 & 7 & 3 \\ 1 & −1 & 5 & 2 \\ 5 & −4 & −1 & 7 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 6 & 9 & −2 \\ 33 & −13 & 14 & 39 \end{matrix} ) .

5. D = ( \begin{matrix}2 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} ), atvirkštinė: ( \begin{matrix}−\frac{1}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & −\frac{1}{15} \end{matrix} ) .

6. | \begin{matrix}−1 & 2 & 0 & 6 \\ 2 & −2 & 0 & 11 \\ 1 & 1 & 0 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & 5 \end{matrix} | = −180.

7. 8 + \frac{12}{1!} (x − 2) + \frac{12}{2!} (x − 2)^{2} + \frac{6}{3!} (x − 2)^{3} .

8. n = 120, m = 30.

9. 1 ir 2.

10. 3.

11. e)≤ n.

12. x^{3} − 2x^{2} − 5x + 6 = (x − 1) (x − 3) (x + 2) .

13. m = 2.

14. Eulerio teorema. Tegu a ir m yra tarpusavyje pirminiai, tai a^{φ(m)} ≡ 1 (mod m) .

Mažoji Ferma teorema. Tegu p - pirminis skaičius, o a nesidalija iš p , tai a^{p−1} ≡ 1 (mod p) .

15. ε_{1} = cos \frac{2π}{6} + i sin \frac{2π}{6}, ε_{5} = cos \frac{2π·5}{6} + i sin \frac{2π·5}{6}.

16. f (x) = x^{2}.

EGZAMINO UŽDUOTIS( 1999-2000 m.m., 2 semestras) Operatoriaus kanoninės matricos.

Duota operatoriaus A : R^{10} → R^{10} matricos Frobeniuso forma A standartinėje bazėje.

1. Parašykite operatoriaus A matricos Frobeniuso forma̧.

2. Parašykite operatoriaus A matricos Frobeniuso-Žordano forma̧ ir bazȩ.

3. Parašykite operatoriaus A plėtininio A : C^{10} → C^{10} matricos Žordano forma̧ ir bazȩ.

4. Parašykite operatoriaus A matricos realia̧ja̧ kanoninȩ forma̧ ir bazȩ.

1 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} (t + c)^{s} . a = −2, −1, 1, 2,; b yra toks iš 1, 2, 3, ..., 8 kad a^{2} − 4b < 0. c ≥ 31. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

2 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b) (t + c)^{s} . a = −4, −3, 3, 4; b yra toks iš 3, ..., 10 kad a^{2} − 4b < 0. c ≤ −30. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

3 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{2} (t + c)^{s} . a = −6, −5, 5, 6; b yra toks iš 6, ..., 13 kad a^{2} − 4b < 0. −30 ≤ c ≤ −1. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

A = ( \begin{matrix}F^{2} & O & O \\ O & F^{2} & O \\ O & O & J \end{matrix} ) ,

čia F^{2}− polinomo (t^{2} + at + b)^{2} lydinčioji matrica, o J− polinoma̧ (t + c)^{s} atitinkanti matrica.

4 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{2} (t + c)^{s} . a = −2, −1, 1, 2; b yra toks iš 9, ..., 16 kad a^{2} − 4b < 0. 1 ≤ c ≤ 30. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

A = ( \begin{matrix}F & O & O & O \\ O & F & O & O \\ O & O & F & O \\ O & O & O & J \end{matrix} )

čia F − polinomo t^{2}+at+b lydinčioji matrica, o J− polinoma̧ (t + c)^{s} atitinkanti matrica.

ALGEBROS EGZAMINAS( 1999-2000 m.m., 2 semestras) 1 ir 2 Informatiku̧ grupės

1. I̧rodykite: realiosios simetrinės matricos tikriniai vektoriai-stulpeliai, atitinkantys skirtingas tikrines reikšmes, - ortogonalūs.

2. I̧rodykite tiesinio atvaizdžio A : U → V savybes:

1) A (0) = 0;

2) Jeigu u_{1}, ..., u_{n} yra tiesiškai priklausoma U sistema, tai A (u_{1}) , ..., A (u_{n}) yra tiesiškai priklausoma V sistema;

3) Jeigu u_{1}, ..., u_{n} yra generuojanti U sistema, tai A (u_{1}) , ..., A (u_{n}) yra generuojanti A (U) sistema.

3. I̧rodykite: jeigu vektoriu̧ sistemos v_{1}, ..., v_{n} vektoriai yra vektoriu̧ sistemos u_{1}, ..., u_{m} vektoriu̧ tiesinės kombinacijos, t.y. v_{1}, ..., v_{n} ∈ [u_{1}, ..., u_{m}] , ir vektorius v ∈ [v_{1}, ..., v_{n}] , tai v ∈ [u_{1}, ..., u_{m}] .

4. Tegu V = U⊕W. Tada poerdvis U vadinamas poerdvio W tiesioginiu papildiniu.Ar kievienam vektorinės erdvės poerdviui egzistuoja tiesioginis papildinys? Jeigu egzistuoja tai ar vienintėlis šis tiesioginis papildinys?Atsakymus pagri̧skite. Pateikite pavyzdžius

5. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx} ir jungtinio opera-

toriaus D^{∗} matricas bazėje \frac{1}{2}x^{2} − \frac{1}{2}x, x^{2} − 1, \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

6. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

D_{n}: ∘ − ∘ − ⋯ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} , čia n = 8 viršūniu̧,

kvadratinė forma F_{D_{n}} yra teigiamai apibrėžta.

7. Koks savijungio operatoriaus polinis skaidinys?

8. Raskite operatoriaus matricos ( \begin{matrix}1 & 3 \\ −2 & 1 \end{matrix} ) polini̧ skaidini̧.

9. Raskite vektoriu̧ sistemos (1, −2, 3) , (2, 5, −6) , (−2, 1, 4) Gramo matrica̧.

10. Raskite gretasienio apibrėžto vektoriu̧ sistema (1, −2, 3) , (2, 5, −6) , (−2, 1, 4)

trimati̧ tūri̧.

3 ir 4 Informatiku̧ grupės

1. I̧rodykite: normaliojo operatoriaus tikriniai vektoriai atitinkantys skirtingas tikrines reikšmes yra ortogonalūs.

2. Kvadratinės formos f = X^{T} AX rangu vadinamas matricos A rangas. I̧rodykite, kad kvadratinės formas rangas yra lygus nenuliniu̧ matricos A tikriniu̧ reikšmiu̧ skaičiui.

3. Tegu v_{1}, ..., v_{n}− tiesiškai nepriklausoma sistema, o v, v_{1}, ..., v_{n}− tiesiškai priklausoma sistema. Tada vektorius v ∈ [v_{1}, ..., v_{n}]

4. Tegu V = U⊕W. Tada poerdvis U vadinamas poerdvio W tiesioginiu papildiniu.Ar kievienam vektorinės erdvės poerdviui egzistuoja tiesioginis papildinys? Jeigu egzistuoja tai ar vienintėlis šis tiesioginis papildinys?Atsakymus pagri̧skite. Pateikite pavyzdžius.

5. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje 2x − 1, x, \frac{3}{2}x^{2} − \frac{1}{2}.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

6. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

E_{n}: ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} ⋯ − ∘ − ∘ , čia n = 8 viršūniu̧.

7. Koks unitaraus operatoriaus polinis skaidinys?

8. Raskite operatoriaus matricos ( \begin{matrix}3 & −4 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) polini̧ skaidini̧.

9. Raskite vektoriu̧ sistemos (2, −5, 4) , (1, 1, 3) , (−3, 6, 7) Gramo matrica̧.

10. Raskite gretasienio apibrėžto vektoriu̧ sistemos (2, −5, 4) , (1, 1, 3) , (−3, 6, 7)

trimati̧ tūri̧.