ALGEBROS EGZAMINAS( 1997-1998 m.m., 2 semestras) 1.1 Kuri iš kvadratiniu̧ formu̧ yra teigiamai apibrežta: f_{1} (x_{1}, x_{2}) = 4x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}; f_{2} (x_{1}, x_{2}) = 4x_{1}^{2} − 2x_{1}x_{2} + 4x_{2}^{2}; f_{3} (x_{1}, x_{2}) = 4x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + 4x_{2}^{2}. 1.2 Parašykite šios teigiamai apibrežtos kvadratinės formos kanonini̧ pavidala̧. 1.3 Užrašykite tiesinius kintamu̧ju̧ keitinius, kuriuos atlikus, gaunamas šis

kanoninis pavidalas.

2. Duota kvadratinė matrica B = ( \begin{matrix}4 & −1 \\ 4 & 0 \end{matrix} ) . 2.1. Raskite matricos B charakteristini̧ polinoma̧. 2.2. Raskite matricos B tikrines reikšmes. 2.3. Raskite matricos B Žordano forma̧.

3. Vektorinėje erdvėje R^{2} ortonormuokite vektoriu̧ sistema̧ (2, 3) , (−1, 2) .

4. Raskite gretasienio su briaunomis (1, 2 − \sqrt{3}) , (−1, 2 + \sqrt{3}) dvimati̧ tūri̧.

5. Parašykite tiesinio operatoriaus( transformacijos), kurio matrica ( \begin{matrix}i & −1 \\ 2 + i & −5i \end{matrix} ), jungtinio operatoriaus matrica̧.

6. Apskaičiuokite kampo tarp aritmetinės erdvės R^{4} vektoriu̧ (1, −1, −1, 1) ir (1, 0, 0, 1) diduma̧.

7.1. Raskite poerdvio U_{1}, generuoto vektoriais (2, 3, 0) ir (1, 4, 0), ir poerdvio U_{2}, generuoto vektoriumi (3, 4, 0) sankirtos bazȩ.

7.2. Ar šiu̧ poerdviu̧ U_{1} ir U_{2} suma U_{1} + U_{2} yra tiesiogine? Jeigu taip - kodel? Jeigu ne - kodėl?

8. Išvardinkite tiesiniu̧ operatoriu̧( transformaciju̧) A : C^{3} ⟶ C^{3}, kuriu̧ tikrinės reikšmės yra realieji skaiciai 2 ir 3 , matricu̧ Žordano bazėse galimus pavidalus.

9. Parašykite( arba nusakykite žodžiais) Cauchy nelygybȩ unitariose vektorinėse erdvėse.

10.1. Parašykite visus galimus tiesiniu̧ atvaizdžiu̧ B : R^{4} ⟶ R^{3} kanoniniu̧ matricu̧ pavidalus.

10.2. Kiekvienu iš 10.1 atveju̧ raskite dim KerB .