ALGEBROS EGZAMINO TESTAS( 1998-1999 m.m., 1 semestras)

1. Išskaidykite polinoma̧ x^{3} − 2x^{2} − 5x + 6 ∈ Q [x] dauginamaisiais virš kūno Q.

2. Išsprȩskite sistema̧ \{ \begin{matrix}x ≡ 3 (mod 5) \\ x ≡ 2 (mod 7) \end{matrix} .

3. Nurodykite toki̧ natūralu̧ji̧ m, kad polinomas x^{5} + x^{3} + x^{2} − 15 dalytu̧si iš polinomo x^{3} + 5 be liekanos žiede Z_{m} [x] .

4. Raskite trigonometrinȩ kompleksinio skaičiaus \sqrt{3} − i išraiška̧.

5. Raskite homogeninės tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos,

kurios matrica A = ( \begin{matrix}2 & 3 & 1 \\ 1 & −2 & −3 \\ 4 & −1 & −5 \end{matrix} ) , sprendiniu̧ vektorinės erdvės dimen-

sija.œ 6. Sudauginkite matricas A · B ir B · A , kur

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 2 & 3 & −3 & 4 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}2 & 3 & 6 & 4 \\ 4 & −2 & 7 & 3 \\ 1 & −1 & 5 & 2 \\ 5 & −4 & −1 & 7 \end{matrix} ) .

7. Raskite matricos C = ( \begin{matrix}2 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} ) atvirkštinȩ matrica̧.

8. Raskite natūraliuosius n ir m tenkinančius sistema̧ \{ \begin{matrix}n + m = 180 \\ DBD (n, m) = 30 \end{matrix} .

9. Apskaičiuokite determinanta̧ | \begin{matrix}−1 & 2 & 0 & 6 \\ 2 & −2 & 1 & 11 \\ 1 & 1 & 0 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & 5 \end{matrix} | .

10. Parašykite polinomo f (x) ∈ R [x] skleidinio dvinariais x − a Teiloro formulȩ:

f (x) = x^{3} , a = 2. 11.Aprašykite neredukuojamus polinomus virš kūno R ir virš kūno C. 12.Pateikite tris ekvivalenčius vektorinės erdvės bazės apibrėžimus. 13.Kiek inversiju̧ sudarys n-os eilės kėlinyje 1, jei jis stovi k-toje vietoje? 14.Suformuluokite Eulerio ir maža̧ja̧ Ferma teoremas. 15.Parašykite 6-ojo laipsnio primityvia̧sia̧s vieneto šaknis.

ALGEBROS EGZAMINAS( 1998-1999 m.m., 2 semestras)

1. Tegu v_{1}, v_{2}, …, v_{n} tiesiškai nepriklausoma vektoriu̧ sistema. Ar tiesiškai nepriklausoma vektoriu̧ sistema : u_{1} = v_{1}, u_{2} = v_{1} + v_{2}, u_{3} = v_{1} + v_{2} + v_{3}, …, u_{n} = v_{1} + v_{2} + ⋯ + v_{n} .

2. Tegu v_{1}, v_{2}, …, v_{n} tiesiškai nepriklausoma vektoriu̧ sistema. Ar tiesiškai nepriklausoma vektoriu̧ sistema : u_{1} = v_{1}, u_{2} = v_{1} + 2v_{2}, u_{3} = v_{1} + 2v_{2} + 3v_{3}, …, u_{n} = v_{1} + 2v_{2} + ⋯ + nv_{n} .

3. Tegu v_{1}, v_{2}, …, v_{n} tiesiškai nepriklausoma vektoriu̧ sistema. Ar tiesiškai nepriklausoma vektoriu̧ sistema : u_{1} = v_{1}, u_{2} = v_{2} + v_{3}, u_{3} = v_{3} + v_{4}, …, u_{n−1} = v_{n−1} + v_{n,}u_{n} = v_{n} + v_{1} .

4. Tegu v_{1}, v_{2}, …, v_{n} tiesiškai nepriklausoma vektoriu̧ sistema. Ar tiesiškai nepriklausoma vektoriu̧ sistema : u_{1} = v_{1} − v_{2}, u_{2} = v_{2} − v_{3}, u_{3} = v_{3} − v_{4}, …, u_{n−1} = v_{n−1} − v_{n,}u_{n} = v_{n} − v_{1} .

5. Duota vektoriu̧ sistema v_{1} = (0, 1, 0, 2, 0) , v_{2} = (7, 4, 1, 8, 3) , v_{3} = (0, 3, 0, 4, 0) , v_{4} = (1, 9, 5, 7, 1) , v_{5} = (0, 1, 0, 5, 0) . Ar egzistuoja tokie skaičiai c_{ij} , kad vektoriai

u_{i} = ∑_{j=1}^{5} c_{ij}v_{j} (i, j = 1, 2, 3, 4, 5)

tiesiškai nepriklausomi ?

6. Tegu v_{1}, v_{2}, …, v_{n} tiesiškai nepriklausoma vektoriu̧ sistema. Raskite vektoriu̧ sistemos u_{1} = v_{1} − v_{2}, u_{2} = v_{2} − v_{3}, u_{3} = v_{3} − v_{4}, …, u_{n−1} = v_{n−1} − v_{n,}u_{n} = v_{n} − v_{1} visas bazes ( t.y. visus tiesiškai nepriklausomus posistemius).

7. I̧rodykite, kad lygčiu̧ sistema

\{ \begin{matrix}x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 2 \\ 2x_{1} + x_{2} − 2x_{3} = 1 \\ 2x_{1} − 2x_{2} + x_{3} = 1 \end{matrix}

turi viena̧ sprendini̧ visais pirminiu̧ skaičiu̧ moduliais, išskyrus baigtini̧ ju̧ skaičiu̧. Išsprȩskite sistema̧ šiais moduliais.

8. I̧rodykite, kad lygčiu̧ sistema

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + x_{2} + x_{4} = 1 \\ x_{1} + x_{3} + x_{4} = 1 \\ x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 \end{matrix}

turi viena̧ sprendini̧ visais pirminiu̧ skaičiu̧ moduliais, išskyrus baigtini̧ ju̧ skaičiu̧. Išsprȩskite sistema̧ šiais moduliais.

9. Raskite didžiausia̧ trečios eilės determinanta̧, sudaryta̧ iš 0 ir 1.

10. Raskite didžiausia̧ trečios eilės determinanta̧, sudaryta̧ iš -1 ir 1.

11. I̧rodykite, kad lygčiu̧ sistema

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 \\ x_{1} + x_{2} − x_{3} − x_{4} = 1 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} − x_{4} = 1 \\ x_{1} − x_{2} − x_{3} + x_{4} = 1 \end{matrix}

turi viena̧ sprendini̧ visais pirminiu̧ skaičiu̧ moduliais, išskyrus baigtini̧ ju̧ skaičiu̧. Išsprȩskite sistema̧ šiais moduliais.

12. Ar matricu̧ aibė

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ); x, y ∈ Q\} , n - fiksuotas sveikas skaičius,

matricu̧ veiksmu̧ atžvilgiu sudaro kūna̧ ?

13. Ar matricu̧ aibė

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ); x, y ∈ R\} , n - fiksuotas sveikas skaičius,

matricu̧ veiksmu̧ atžvilgiu sudaro kūna̧ ?

14. Ar matricu̧ aibė

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ); x, y ∈ Z_{p}\} , p = 2

matricu̧ veiksmu̧ atžvilgiu sudaro kūna̧ ?

15. Ar matricu̧ aibė

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ); x, y ∈ Z_{p}\} , p = 3

matricu̧ veiksmu̧ atžvilgiu sudaro kūna̧ ?

16. Ar matricu̧ aibė

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ); x, y ∈ Z_{p}\} , p = 5

matricu̧ veiksmu̧ atžvilgiu sudaro kūna̧ ?

17. Ar matricu̧ aibė

\{( \begin{matrix}x & y \\ ny & x \end{matrix} ); x, y ∈ Z_{p}\} , p = 7

matricu̧ veiksmu̧ atžvilgiu sudaro kūna̧ ?

18. Tegu žymuo ^{n} \sqrt{z} žymi n-ojo laipsnio šaknu̧ iš kompleksinio skaičiaus z aibȩ.

Ar teisinga ši aibiu̧ lygybė:

n \sqrt{z^{n} · w} = z · ^{n} \sqrt{w},

kur z, w ∈ C , o aibė z · ^{n} \sqrt{w} yra lygi \{z · a; a ∈ ^{n} \sqrt{w}\}?

19. Ar teisinga ši aibiu̧ lygybė:

n \sqrt{−z^{n} · w} = −z · ^{n} \sqrt{w},

kur z, w ∈ C , o aibė z · ^{n} \sqrt{w} yra lygi \{z · a; a ∈ ^{n} \sqrt{w}\}?

20. Ar teisinga ši aibiu̧ lygybė:

n \sqrt{z · w} = u · ^{n} \sqrt{w},

kur z, w ∈ C , aibė z · ^{n} \sqrt{w} yra lygi \{z · a; a ∈ ^{n} \sqrt{w}\}, o u - viena iš ^{n} \sqrt{z} reikšmiu̧ ?

21. Ar teisinga ši aibiu̧ lygybė:

n \sqrt{z} ∪ ^{n} \sqrt{−z} = ^{2n} \sqrt{z^{2}},

kur z, w ∈ C , o aibė z · ^{n} \sqrt{w} yra lygi \{z · a; a ∈ ^{n} \sqrt{w}\}?

22. Ar teisinga ši aibiu̧ lygybė:

ns \sqrt{z^{s}} = ^{n} \sqrt{z}, s > 1

kur z, w ∈ C , o aibė z · ^{n} \sqrt{w} yra lygi \{z · a; a ∈ ^{n} \sqrt{w}\}?

ALGEBROS EGZAMINAS (1998-1999 m.m., 2 semestras)

1. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje 1, x, x^{2}.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

c) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} Žordano bazes ir matricas.

2. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje \frac{1}{2}x^{2} − \frac{1}{2}x, x^{2} − 1, \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

c) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} Žordano bazes ir matricas.

3. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje 1, x, \frac{3}{2}x^{2} − \frac{1}{2}.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

c) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} Žordano bazes ir matricas.

4. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = f (−1) g (−1) + f (0) g (0) + f (1) g (1)

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje 1, x, x^{2}.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

c) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} Žordano bazes ir matricas.

5. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = f (−1) g (−1) + f (0) g (0) + f (1) g (1)

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje \frac{1}{2}x^{2} − \frac{1}{2}x, x^{2} − 1, \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

c) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} Žordano bazes ir matricas.

6. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = f (−1) g (−1) + f (0) g (0) + f (1) g (1)

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje 1, x, \frac{3}{2}x^{2} − \frac{1}{2}.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

c) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} Žordano bazes ir matricas.

7. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = ∫_{−1}^{1} f (x) g (x) dx,

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje 1, x, x^{2}.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

c) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} Žordano bazes ir matricas.

8. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = ∫_{−1}^{1} f (x) g (x) dx,

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje \frac{1}{2}x^{2} − \frac{1}{2}x, x^{2} − 1, \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

c) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} Žordano bazes ir matricas.

9. Neaukštesnio kaip 2-ojo laipsnio polinomu̧ su realiaisiais koeficientais realioje vektorinėje erdvėje apibrėžta skaliarinė sandauga

(f, g) = ∫_{−1}^{1} f (x) g (x) dx,

čia f (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} , g (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} .

a) Raskite diferencijavimo operatoriaus

D : f (x) ⟶ \frac{df}{dx}

ir jungtinio operatoriaus D^{∗} matricas bazėje 1, x, \frac{3}{2}x^{2} − \frac{1}{2}.

b) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} KerD, ImD, KerD^{∗}, ImD^{∗}.

c) Raskite diferencijavimo operatoriaus D ir jungtinio operatoriaus D^{∗} Žordano bazes ir matricas.

ALGEBROS EGZAMINAS (1998-1999m.m., 2 semestras)

1. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

A_{n}: ∘ − ∘ − ⋯ − ∘ − ∘ , čia n viršūniu̧,

kvadratinė forma F_{A_{n}} yra teigiamai apibrėžta.

2. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

D_{n}: ∘ − ∘ − ⋯ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} , čia n viršūniu̧,

kvadratinė forma F_{D_{n}} yra teigiamai apibrėžta.

3. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

E_{n}: ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} ⋯ − ∘ − ∘ , čia n = 6, 7, 8 viršūniu̧,

kvadratinė forma F_{E_{n}} yra teigiamai apibrėžta.

4. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

Ẽ_{7}: ∘ − ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} − ∘ − ∘ − ∘ ,

kvadratinė forma FẼ_{7} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FẼ_{7} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.

5. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

Ẽ_{8}: ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} − ∘ − ∘ − ∘ − ∘ − ∘ ,

kvadratinė forma FẼ_{8} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FẼ_{8} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.

6. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

Ẽ_{6}: ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} − ∘ − ∘ ,

kvadratinė forma FẼ_{6} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FẼ_{6} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.

7. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

D̃_{n}: \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} − ∘ − ⋯ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} , čia n + 1 viršūnė,

kvadratinė forma FD̃_{n} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FD̃_{n} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.

8. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

Ã_{n}: \begin{matrix}∘ & − & ∘ \\ | & & | \\ ⋮ & & ⋮ \\ | & & | \\ ∘ & − & ∘ \end{matrix} , čia n + 1 viršūnė,

kvadratinė forma FÃ_{n} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FÃ_{n} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.