ALGEBROS EGZAMINAS( 1997-1998 m.m., 1 semestras)

1.Kuris iš lyginiu̧ turi sprendini̧? Išsprȩskite ši̧ lygini̧. A.2x ≡ 7 (mod 4) .B.2x ≡ 6 (mod 5) .C. 3x ≡ 7 (mod 9) .D.3x ≡ 5 (mod 12) .

2.Kompleksinio skaičiaus \sqrt{3} − i trigonometrinė išraiška yra A.2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3} ) .B.2 (cos \frac{2π}{3} + i sin \frac{2π}{3} ) .C.2 (cos \frac{5π}{4} + i sin \frac{5π}{4} ).

D.2 (cos \frac{5π}{6} + i sin \frac{5π}{6} ) .

3. Raskite matricos A = ( \begin{matrix}2 & 3 & 1 \\ 1 & −2 & −3 \\ 4 & −1 & −3 \end{matrix} ) ranga̧.

4. Raskite homogeninės tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos, kurios matrica A iš 3., sprendiniu̧ vektorinės erdvės dimensija̧.

5. Sudauginkite matricas: B · C ir C · B , kur

B = ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 2 & 3 & −3 & 4 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}2 & 3 & 6 & 4 \\ 4 & −2 & 7 & 3 \\ 1 & −1 & 5 & 2 \\ 5 & −4 & −1 & 7 \end{matrix} ) .

6. Raskite matricos D = ( \begin{matrix}2 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} ) atvirkštinȩ matrica̧.

7. Apskaičiuokite determinanta̧ | \begin{matrix}−1 & 2 & 0 & 6 \\ 2 & −2 & 0 & 11 \\ 1 & 1 & 0 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & 5 \end{matrix} | .

8. Parašykite polinomo f (x) = x^{3} skleidinio dvinariais x − 2 Teiloro formulȩ.

9. Raskite natūraliuosius n ir m, tenkinančius sistema̧ \{ \begin{matrix}n + m = 180 \\ DBD (n, m) = 30 \end{matrix} .

10. Neredukuojamu̧ virš R polinomu̧ laipsnis gali būti ( pabraukti): 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; bet koks .

11. Vektoriu̧ sistema yra vektorinės erdvės bazė, jeigu ji yra ( pabraukti ):

a) minimali tiesiškai nepriklausoma sistema;

b) minimali tiesiškai priklausoma sistema;

c) minimali generuojanti sistema;

d) maksimali tiesiškai nepriklausoma sistema;

e) maksimali tiesiškai priklausoma sistema;

f) maksimali generuojanti sistema.

12.Kiek inversiju̧ sudarys 10-os eilės kėlinyje 1 , jei jis yra 4 vietoje(pabraukti): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 .

13.Matricu̧ X , Y ir X · Y rangams visada galioja: A. rankX · Y = rankX + rankY. B. rankX · Y = rankX · rankY. C. rankX · Y ≥ min (rankX, rankY) . D. rankX · Y ≤ max (rankX, rankY) .

14. n-ojo laipsnio polinomo virš kūno galimas šaknu̧ skaičius visada yra :

a) =1; b)≥ 1; c)=2; d)≥ 2; e)≤ n; f) = n ; g) >n.

ALGEBROS EGZAMINAS( 1997-1998 m.m., 2 semestras) 1.1 Kuri iš kvadratiniu̧ formu̧ yra teigiamai apibrežta: f_{1} (x_{1}, x_{2}) = 4x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}; f_{2} (x_{1}, x_{2}) = 4x_{1}^{2} − 2x_{1}x_{2} + 4x_{2}^{2}; f_{3} (x_{1}, x_{2}) = 4x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + 4x_{2}^{2}. 1.2 Parašykite šios teigiamai apibrežtos kvadratinės formos kanonini̧ pavidala̧. 1.3 Užrašykite tiesinius kintamu̧ju̧ keitinius, kuriuos atlikus, gaunamas šis

kanoninis pavidalas.

2. Duota kvadratinė matrica B = ( \begin{matrix}4 & −1 \\ 4 & 0 \end{matrix} ) . 2.1. Raskite matricos B charakteristini̧ polinoma̧. 2.2. Raskite matricos B tikrines reikšmes. 2.3. Raskite matricos B Žordano forma̧.

3. Vektorinėje erdvėje R^{2} ortonormuokite vektoriu̧ sistema̧ (2, 3) , (−1, 2) .

4. Raskite gretasienio su briaunomis (1, 2 − \sqrt{3}) , (−1, 2 + \sqrt{3}) dvimati̧ tūri̧.

5. Parašykite tiesinio operatoriaus( transformacijos), kurio matrica ( \begin{matrix}i & −1 \\ 2 + i & −5i \end{matrix} ), jungtinio operatoriaus matrica̧.

6. Apskaičiuokite kampo tarp aritmetinės erdvės R^{4} vektoriu̧ (1, −1, −1, 1) ir (1, 0, 0, 1) diduma̧.

7.1. Raskite poerdvio U_{1}, generuoto vektoriais (2, 3, 0) ir (1, 4, 0), ir poerdvio U_{2}, generuoto vektoriumi (3, 4, 0) sankirtos bazȩ.

7.2. Ar šiu̧ poerdviu̧ U_{1} ir U_{2} suma U_{1} + U_{2} yra tiesiogine? Jeigu taip - kodel? Jeigu ne - kodėl?

8. Išvardinkite tiesiniu̧ operatoriu̧( transformaciju̧) A : C^{3} ⟶ C^{3}, kuriu̧ tikrinės reikšmės yra realieji skaiciai 2 ir 3 , matricu̧ Žordano bazėse galimus pavidalus.

9. Parašykite( arba nusakykite žodžiais) Cauchy nelygybȩ unitariose vektorinėse erdvėse.

10.1. Parašykite visus galimus tiesiniu̧ atvaizdžiu̧ B : R^{4} ⟶ R^{3} kanoniniu̧ matricu̧ pavidalus.

10.2. Kiekvienu iš 10.1 atveju̧ raskite dim KerB .