KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

Paskaitu̧ ciklas remiasi tiek bendruoju algebros kursu, skaitomu informatikams pirmame ir antrame semestruose, tiek ir diskretinės matematikos kursu, kuris skirtas baigtinėms algebrinėms struktūroms, skaitomu informatikams tečiajame semestre.

1. Kūnu̧ plėtiniai

Apibrėžimas 1.1 Jeigu K ⊆ F ir K, F yra kūnai tu̧ pačiu̧ operaciju̧ atžvilgiu, tai kūnas K vadinamas kūno F pokūniu, o kūnas F vadinamas kūno K plėtiniu ir žymima F/K .

Prisiminkime vektorinės erdvės apibrėžima̧ .

Apibrėžimas 1.2 Vektorinė erdvė virš kūno K yra tokia adityvioji Abelio grupė V, kad egzistuoja funkcija ∗ : K × V → V, pasižyminti savybėmis:

1. (ab) ∗ x = a ∗ (b ∗ x) su visais a, b ∈ K ir x ∈ V.

2. (a + b) ∗ x = a ∗ x + b ∗ x su visais a, b ∈ K ir x ∈ V.

3. a ∗ (x + y) = a ∗ x + b ∗ y su visais a, b ∈ K ir x ∈ V.

4. 1 ∗ x = x su visais x ∈ V.

Sekanti lema mums parodys, kad žinios iš tiesinės algebros kurso palengvina mūsu̧ kūnu̧ plėtiniu̧ tyrima̧.

Lema 1.3 Jeigu F/K yra kūno plėtinys, tai F yra vektorinė erdvė virš K.

I̧rodymas. Kaip žinia, kūnas F yra adityvioji Abelio grupė. Funkcija̧ ∗ : K × F → F galima apibrėžti tokiu būdu: k ∗ x = kx, čia antroji sandauga - tai kūno F elementu̧ sandauga. Dabar nesunku tiesiogiai patikrinti, kad taip apibrėžta funkcija ∗ tenkina apibrėžimo 1.2 savybes 1-4 ir tuo pačiu F tampa vektorine erdve virš kūno K.

I̧rodyta.

Taigi, jeigu F/K yra kūno plėtinys, tai mes galime apibrėžti šio plėtinio laipsni̧ kaip vektorinės erdvės dimensija̧: [F : K] = dim_{K} (F) . Tokiu būdu, [F : K] yra vektorinės erdvės F virš kūno K bazėje esančiu̧ elementu̧ skaičius.

Prisiminkime. Tegu V yra vektorinė erdvė virš kūno K. Tegu B yra netuščias V poaibis. Tada K− tiesiniu apvalkalu, generuotu aibe B ( arba tiesiog tiesiniu apvalkalu) vadiname aibȩ, kurios elementais yra visos baigtinės tiesinės kombinacijos

a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n} su visais a_{1}, ..., a_{n} ∈ K ir v_{1}, ..., v_{n} ∈ B.

Aibė B vadinama tiesiškai nepriklausoma virš K , jeigu su visais n ∈ N ir su visais v_{1}, ..., v_{n} ∈ B vienintėliu lygties

a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n} = 0

sprendiniu a_{1}, ..., a_{n} ∈ K atžvilgiu yra a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n} = 0.

Aibė B ⊆ V vadinama vektorinės erdvės V K− baze ( arba tiesiog baze), jeigu ji yra tiesiškai nepriklausoma virš K, ir tiesinis apvalkalas, generuotas aibe B, sutampa su V.

Tegu dabar F/K yra kūno plėtinys yra u ∈ F. Žymeniu K (u) žymėsime mažiausia̧ kūno F pokūni̧, kuriame yra ir kūnas K ir elementas u. Taigi su kiekvienu kūno F tokiu pokūniu E, kad K ⊆ E ir u ∈ E turime K (u) ⊆ E. Plėtini̧ K (u) /K vadina paprastuoju plėtiniu. Panašiai ir baigtiniui elementu̧ u_{1}, ..., u_{n} ∈ F rinkiniui mes galime apibrėžti kūna̧ K (u_{1}, ..., u_{n}) , kuris yra mažiausias kūno F pokūnis, kuriame yra ir kūnas K ir elementai u_{1}, ..., u_{n}. Bendru atveju, su kiekviena aibe X ⊆ F, mes galime apibrėžti kūna̧ K (X) kaip mažiausia̧ kūno F pokūni̧,kuriame yra ir kūnas K ir aibė X.

Visu̧ pirma, mes atidžiau pažiūrėsime i̧ paprastuosius plėtinius. Tegu dabar F/K yra kūno plėtinys ir u ∈ F. Tada egzistuoja i̧verčio homomorfizmas

ϕ_{u} : K [x] → F , apibrėžtas formule ϕ_{u} ( ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}u^{i} su visais n ∈ N ir

su visais a_{0}, ..., a_{n} ∈ K. ( Tikrai nesunku i̧sitikinti, kad ϕ_{u} yra homomorfizmas, pastebėjus, kad ϕ_{u} (p) = p (u) su visais p ∈ K [x] . ) Beto, nesunku matyti, kad Imϕ_{u} ⊆ K (u) , nes K (u) yra uždaras tiek sudėties, tiek sandaugos atžvilgiu.

Apibrėžimas 1.4 Tegu F/K yra kūno plėtinys. Elementas u ∈ F vadinamas algebriniu virš kūno K , jeigu egzistuoja toks nenulinis p ∈ K [x] , kad p (u) = 0. ( Tai ekvivalentu sa̧lygai ker (ϕ_{u}) ≠ 0. ) Elementas u ∈ F vadinamas transcendentiniu virš kūno K , jeigu jis nėra algebrinis virš K. ( Tai ekvivalentu sa̧lygai ker (ϕ_{u}) = 0. ) Kūnas F vadinamas algebriniu virš K, jeigu visi kūno F elementai yra algebriniai virš K. Kūnas F vadinamas transcendentiniu virš K , jeigu F nėra algebrinis virš K.

Teorema 1.5 Tegu F/K yra kūno plėtinys ir u ∈ F.

1. Jeigu u yra transcendentinis virš K, tai K (u) ≅ K (x) .

2. Jeigu u yra algebrinis virš K, tai K (u) ≅ K [x] / ⟨p⟩ su visiškai apibrėžtu neredukuojamu polinomu p ∈ K [x] . Beto, aibė {1, u, u^{2}, ..., u^{n−1}} , čia n = [K (u) : K] = deg (p) , yra K (u) bazė.

I̧rodymas. (1) Tegu u yra transcendentinis virš K. Tada su kiekvienu nenuliniu polinomu g ∈ K [x] turime g (u) = ϕ_{u} (g) ≠ 0 ir todėl g (u) turi turėti atvirkštini̧ elelmenta̧ kūne K (u) : t.y. su visais f, g ∈ K [x] , kai g ≠ 0 turime f (u) /g (u) ∈ K (u) . Dabar mes galime apibrėžti homomorfizma̧ ϕ̄_{u} : K (x) → K (u) , ϕ̄_{u} (f/g) = f (u) /g (u) su visais f/g ∈ K (x) . ϕ̄_{u} yra netrivialusis homomorfizmas, todėl jis yra monomorfizmas. Kadangi Im ϕ̄_{u} yra kūno K (u) pokūnis, kuriame yra ir u , ir K, tai Im ϕ̄_{u} turi sutapti su K (u) . Taigi ϕ̄_{u} yra izomorfizmas.

(2) Tegu u yra algebrinis virš K. Tada ker (ϕ_{u}) = ⟨p⟩ su nenuliniu p ∈ K [x] . Mes parodysime, kad p turi būti neredukuojamas ir tuo pačiu ⟨p⟩ yra maksimalusis idealas polinomu̧ žiede K [x] . Jeigu priešingai, fg = p su f, g ∈ K [x] ir deg f ir deg g yra griežtai mažesni už deg p , tai f (u) g (u) = p (u) = 0. Bet F yra kūnas ir todėl arba f (u) = 0, arba g (u) = 0 , t.y. arba f ∈ ker (ϕ_{u}) , arba g ∈ ker (ϕ_{u}) . Taigi, arba f = pq, arba g = pq su q ∈ K [x]. Bet tai prieštarauja nelygybėms tarp polinomu̧ p, f ir g laipsniu̧ ir tai rodo, kad polinomas turi būti neredukuojamas.

Kadangi p yra neredukuojamas, tai Im(ϕ_{u}) ≅ K [x] / ⟨p⟩ yra kūnas, kuriame yra ir kūnas K ir elementas u. Mes turime Im(ϕ_{u}) ⊆ K (u) ⊆ Im(ϕ_{u}) , todėl K (u) ≅ K [x] / ⟨p⟩ .

Dabar parodysime, kad aibė U = {1, u, u^{2}, ..., u^{n−1}} yra K (u) bazė virš K, čia n = deg (p) . Su kiekvienu w ∈ K (u) egzistuoja toks f ∈ K [x] , kad ϕ_{u} (f) = w. Iš Dalybos su liekana teoremos turime, kad f = pq + r, su q, r ∈ K [x] ir r = a_{0} + a_{1}x+⋯+a_{n−1}x^{n−1}, čia a_{0}, a_{1}, ..., a_{n−1} ∈ K. Kadangi pq ∈ ker (ϕ_{u}) , tai turime, kad w = ϕ_{u} (f) = a_{0}1+a_{1}u+⋯+a_{n−1}u^{n−1}. O tai rodo, kad U yra generuojanti K (u) sistema. Maža to, jeigu a_{0}1 + a_{1}u + ⋯ + a_{n−1}u^{n−1} = 0 , čia a_{0}, a_{1}, ..., a_{n−1} ∈ K, tai a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n−1}x^{n−1} ∈ ker (ϕ_{u}) . Kadangi paskutinio polinomo laipsnis mažesnis už polinomo p laipsni̧, tai būtinai a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n−1}x^{n−1} = 0 ( mažiausio laipsnio nenulinis polinomas, esantis ideale ker (ϕ_{u}) yra p ). Gavome, kad a_{0} = a_{1} = ⋯ = a_{n−1} = 0 ir todėl U yra tiesiškai nepriklausoma ir tuo pačiu K (u) bazė.

I̧rodyta.

Jeigu F/K yra kūno plėtinys ir u ∈ F yra algebrinis virš K, tai minimaliuoju elemento u polinomu vadiname toki̧ vienintėli̧ normuota̧ neredukuojama̧ polinoma̧ p ∈ K [x] , kad p (u) = 0. Aišku, kad elemento u minimalusis polinomas yra vienintėlis normuotas idealo ker (ϕ_{u}) generatorius. Elemento u laipsniu virš K vadinsime jo minimalaus polinomo p laipsni̧.

Svarbi paskutinės teoremos išvada yra ta, kad, jeigu u ∈ F/K yra n- ojo laipsnio algebrinis elementas virš kūno K, tai kiekviena̧ elementa̧ c ∈ K (u) vienintėliu būdu galima reikšti elementu̧ 1, u, u^{2}, ..., u^{n−1} tiesine kombinacija

c = a_{0}1 + a_{1}u + ⋯ + a_{n−1}u^{n−1},

čia a_{0}, a_{1}, ..., a_{n−1} ∈ K.

Pavyzdys. Nagrinėkime F =Q( ^{3} \sqrt{2}) . Kadangi x^{3} − 2 yra neredukuojamas

virš Q, tai pagal Teorema̧ 1.5 aibė \{1, ^{3} \sqrt{2}, ^{3} \sqrt{4}\} yra F bazė virš Q. Tada kiekvienas

elementas v ∈ F vienintėliu būdu gali būti užrašytas aibės \{1, ^{3} \sqrt{2}, ^{3} \sqrt{4}\} elementu̧ tiesine kombinacija : v = a_{0} + a_{1} ^{3} \sqrt{2} + a_{2} ^{3} \sqrt{4}, čia a_{0}, a_{1}, a_{2} ∈Q.

Dabar mes palyginsime i̧vairius kūno K plėtinius. Visu̧ pirma, mes pasinaudosime i̧verčio homomorfizmu paprastiems algebriniams plėtiniams klasifikuoti izomorfizmo atžvilgiu.

Teorema 1.6 Tegu E/K ir F/K yra du kūno plėtiniai, o u ∈ E ir v ∈ F yra algebriniai elementai virš K. Šie elementai u ir v yra šaknimis vieno ir to pačio neredukuojamo polinomo p ∈ K [x] tada ir tik tada, kada egzistuoja toks kūnu̧ izomorfizmas ψ : K (u) → K (v) , kad ψ (u) = v ir ψ (a) = a su visais a ∈ K.

I̧rodymas. Tegu u ir v yra neredukuojamo p ∈ K [x] šaknys. Tada pagal Teorema̧ 1.5 ϕ_{u} ir ϕ_{v} indukuoja izomorfizmus ϕ̄_{u} : K [x] / ⟨p⟩ → K (u) ir ϕ̄_{v} : K [x] / ⟨p⟩ → K (v) , kurie tenkina lygybes ϕ̄_{u} (x) = u , ϕ̄_{u} (a) = a ir ϕ̄_{v} (x) = v , ϕ̄_{u} (a) = a su visais a ∈ K. Taigi ψ = ϕ̄_{v}ϕ̄_{u}^{−1} yra ieškomasis homomorfizmas.

Priešingai, tegu egzistuoja izomorfizmas ψ : K (u) → K (v) . Tada ψϕ_{u} = ϕ_{v} ir ker (ϕ_{u}) = ker (ϕ_{v}) ⊆ K [x] . Bet K [x] − pagrindiniu̧ idealu̧ sritis, todėl ker (ϕ_{u}) = ⟨p⟩ , čia p− neredukuojamas virš K polinomas , bei u ir v yra šio polinomo šaknys.

I̧rodyta.

Pagrindinė Teoremos 1.6 išvada yra ta, kad paprastasis algebrinis plėtinys K (u) yra apibrėžtas vienareikšmiškai izomorfizmo tikslumu. Apie ši̧ plėtini̧ dar sako, kad jis gaunamas prijungiant prie kūno K neredukuojamo polinomo p ∈ K [x] šakni̧. Nereikia galvoti, kad ,prijungus viena̧ neredukuojamo polinomo šakni̧, prijungsim ir likusias, t.y. paparastieji plėtiniai K (u) ir K (v) iš Teoremos1.6 ne visada sutampa. Pavyzdžiu galėtu̧ būti neredukuojamas virš Q polinomas x^{4} − 2 . Aišku, kad plėtinyje Q ( ^{4} \sqrt{2}) /Q , čia ^{4} \sqrt{2}− aritmetinė ketvirto

laipsnio šaknis iš 2, nėra kompleksiniu̧ polinomo x^{4}−2 šaknu̧ ±i ^{4} \sqrt{2}, t.y. Q ( ^{4} \sqrt{2}) ≠

Q (i ^{4} \sqrt{2}) , nors šie kūnai ir yra izomorfiški.

Dabar mes i̧rodysime teorema̧, kuri nesunkiai leidžia mums nustatyti plėtinio algebriškuma̧.

Teorema 1.7 Jeigu F yra baigtinio laipsnio kūno K plėtinys, tai F yra algebrinis kūno K plėtinys, generuojamas baigtine aibe virš K.

I̧rodymas. Tegu [F : K] = n. Tada su kiekvienu u ∈ F aibė {1, u, u^{2}, ..., u^{n}} , turinti n + 1 elementa̧, yra tiesiškai priklausoma, t.y. egzistuoja tokie ne visi lygūs nuliui a_{0}, a_{1}, ..., a_{n} ∈ K, kad

a_{0} + a_{1}u + ⋯ + a_{n}u^{n} = 0,

o tai rodo, kad u yra algebrinis virš K. Tai teisinga su kiekvienu u ∈ F ir todėl F yra algebrinis virš K. Toliau, jeigu {v_{1}, ..., v_{n}} yra F bazė virš K, tai F = K (v_{1}, ..., v_{n}) , o tai ir rodo, kad F yra generuojamas baigtine aibe virš K.

I̧rodyta.

Atvirkštinis Teoremai 1.7 teiginys nėra teisingas. Pavyzdžiu galėtu̧ būti visu̧ algebriniu̧ virš Q kompleksiniu̧ skaičiu̧ aibė Q̄. Ši aibė yra kūnas, nes jeigu α, β ∈ Q̄, tai α + β, αβ, α^{−1}, β^{−1} priklauso Q(α, β) . Pagal Teorema̧ 1.7 kūnas Q(α, β) yra albebrinis kūno Q plėtinys, todėl visi nagrinėjamieji elementai priklauso Q̄. Kūna̧ Q̄ vadina algebriniu̧ skaičiu̧ kūnu. Turime, kad su kiekvienu natūraliuoju pirminiu skaičiumi p ir primityvia̧ja p− ojo laipsnio šaknimi iš vieneto ς teisinga tai, kad Q(ς) ⊂ Q̄ ir [Q (ς) : Q] = p − 1. Taigi, plėtinio laipsnis [Q̄ : Q] = ∞.

Toliau, jeigu F/K yra kūno plėtinys ir E yra kūno F pokūnis, kuriame yra kūnas K, K ⊆ E ⊆ F, tai kūnas E vadinamas tarpiniu kūnu.

Teorema 1.8 Tegu F/K yra kūno plėtinys, o E yra tarpinis kūnas. Tada [F : K] = [F : E] [E : K] ir [F : K] yra baigtinis tada ir tik tada, kada ir [F : E] , ir [E : K] yra baigtiniai.

I̧rodymas. Tegu B yra E bazė virš K, o B′ yra F bazė virš E. Dabar pakanka parodyti, kad BB′ = {xy|x ∈ B, y ∈ B′} yra F bazė virš K ir |BB′| = |B| · |B′| .

Parodysime, kad BB′ generuoja F. Tegu z ∈ F. Tada egzistuoja tokie y_{1}, ..., y_{n} ∈ B′ ir a_{1}, ..., a_{n} ∈ E, kad z = ∑_{i=1}^{n} a_{i}y_{i} . Bet su kiekvienu a_{i} ∈ E egzistuoja tokie

x_{i,1}, ...x_{i,r_{i}} ∈ B ir c_{i,1}, ..., c_{i,r_{i}} ∈ K, kad a_{i} = ∑_{j=1}^{r_{i}} c_{i,j}x_{i,j}. Iš čia turime

z = ∑_{i=1}^{n} (∑_{j=1}^{r_{i}} c_{i,j} (x_{i,j}y_{i}))

ir todėl BB′ generuoja F.

Parodysime, kad BB′ yra tiesiškai nepriklausoma virš K. Tegu x_{1}, ..., x_{m} ∈ B,

y_{1}, ..., y_{n} ∈ B′ ir c_{1,1}, c_{1,2}, ..., c_{m,n} ∈ K yra tokie, kad ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} c_{i,j}x_{i}y_{j} = 0. Aibė B′

yra tiesiškai nepriklausoma, todėl su kiekvienu i turime ∑_{j=1}^{m} c_{i,j}x_{j} = 0. Aibė B

irgi yra tiesiškai nepriklausoma, todėl c_{i,j} = 0 su visais i, j. Taigi, aibė BB′ yra tiesiškai nepriklausoma ir todėl F bazė virš K.

I̧rodyta.

Iš Teoremos 1.5 turime: jeigu u ∈ F yra algebrinis elementas virš K, o E yra tarpinis kūnas, tai

[E (u) : E] ≤ [K (u) : K] .

Iš tikru̧ju̧, jeigu [K (u) : K] = n, tai elemento u minimalusis polinomas p ∈ K [x] yra taip pat ir polinomas iš E [x] . Taigi, elementas u yra n-ojo laipsnio polinomo virš kūno E šaknis, todėl u minimalaus polinomo virš E laipsnis yra ne didesnis už n. Ši pastaba padės mums i̧rodyti

Teorema 1.9 Tegu F/K yra kūno plėtinys, o E yra visu̧ kūno F algebriniu̧ elementu̧ virš K aibė. Tada E yra kūno pokūnis, algebrinis virš K.

I̧rodymas. Tegu u, v ∈ E yra nenuliniai. Tada

[K (u, v) : K] = [K (u, v) : K (u)] [K (u) : K] ≤ [K (v) : K] [K (u) : K] < ∞. Pagal Teorema̧ 1.7 turime, kad K (u, v) yra algebrinis virš K. Taigi K (u, v) ⊆ E ir ,kadangi u − v, uv ∈ K (u, v) ⊆ E, turime, kad E yra požiedis kūne F. Turime taip pat ir tai, kad su kiekvienu nenuliniu u ∈ E elementas u^{−1} ∈ K (u) ⊆ E ir todėl E yra kūno F pokūnis ir pagal apibrėžima̧ algebrinis virš K.

I̧rodyta.

Teorema 1.10 Tegu F/K yra kūno plėtinys, o E yra toks tarpinis kūnas, kad F yra algebrinis virš E, o E yra algebrinis virš K. Tada F yra algebrinis virš K.

I̧rodymas. Tegu u ∈ F. Elementas u yra algebrinis virš E, todėl egzistuoja toks n ∈ N ir tokie b_{0}, ..., b_{n} ∈ E, kad b_{n}u^{n} + ⋯ + b_{1}u_{1} + b_{0} = 0. Kūnas E yra algebrinis virš K, todėl b_{j} su visiais j yra algebrinis virš K ir tuo pačiu virš bet kurio tarpinio tarp E ir K kūno. Taigi, kūnu̧ sekoje

K ⊆ K (b_{0}) ⊆ K (b_{0}, b_{1}) ⊆ … ⊆ K (b_{0}, ..., b_{n}) ⊆ K (b_{0}, ..., b_{n}, u)

esantys kūnai pagal Teorema̧ 1.5 yra iš kairės esančiu̧ paprastieji algebriniai plėtiniai, nes kiekvieno iš šiu̧ plėtiniu̧ laipsnis yra baigtinis. Tada pagal Teorema̧ 1.8 turime

[K (b_{0}, ..., b_{n}, u) : K] = [K (b_{0}, ..., b_{n}, u) : K (b_{0}, ..., b_{n},)] ⋯ [K (b_{0}) : K] < ∞.

Pagal Teorema̧ 1.7 K (b_{0}, ..., b_{n}, u) yra algebrinis virš K, tuo pačiu ir u turi būti algebriniu virš K.

I̧rodyta.

Iš i̧rodytos Teoremos 1.10 turime svarbia̧ visu̧ algebriniu̧ virš Q skaičiu̧ kūno Q̄ savybȩ, kuri sugretina ji̧ su kompleksiniu̧ skaičiu̧ kūnu. Tikrai, bet kuris nenulinio laipsnio polinomas f (x) ∈ Q̄ [x] turi šakni̧ kūne Q̄. Norėdami tai parodyti, nagrinėkime kūnu̧ grandinȩ: Q ⊂ Q̄ ⊆ Q̄ (α) , čia α− kompleksinė polinomo f (x) šaknis. Paprastasis plėtinys Q̄ (α) /Q̄ yra algebrinis ir pagal Teorema̧ 1.10 plėtinys Q̄ (α) /Q irgi yra algebrinis, tuo pačiu ir elementas α yra algebrinis virš Q, t.y. Q̄ (α) = Q̄ ir α ∈ Q̄.

Algebrinis kūno K plėtinys K̄ vadinamas algebriškai uždaru kūnu virš K, jeigu bet kuris nenulinio laipsnio polinomas f (x) ∈ K [x] turi šakni̧ kūne K̄.

Q̄ yra algebriškai uždaras virš Q, bet C nėra algebriškai uždaras kūnas virš Q( jis nėra algebriškai uždaras net virš Q̄): C yra algebriškai uždaras virš R.

Svarbi savybė: virš bet kurio kūno K egzistuoja algebriškai uždaras kūnas ir jis yra vienintėlis plėtiniu̧ izomorfizmo tikslumu, t.y. jeigu K′ ir K′′ yra algebriškai uždari virš K, tai egzistuoja toks kūnu̧ izomorfizmas ψ : K′ → K′′, kad ψ (a) = a su visais a ∈ K.