Paskaitu̧ ciklas apie kūnus Turinys

1. Kūnu̧ plėtiniai.

2. Galua grupės.

3. Polinomu̧ Galua grupės.

4. Fundamentalioji Galua teorijos teorema.

5. Separabilusis ir normalusis plėtiniai.

6. Lygčiu̧ išsprendžiamumas radikalais ir klasikiniai brėžimo uždaviniai.

7. Grupiu̧ teorijos klausimai: 7.1. Transformaciju̧ grupės. 7.2. Laisvoji grupė. 7.3. Baigtinės Abelio grupės. 7.4. Baigtinio rango Abelio grupės. 7.5. Mažos eilės grupiu̧ klasifikacija.

Literatūra.

1. K.Bulota, P. Survila. Algebra ir skaičiu̧ teorija.

2. B.L.Van Der Waerden. Algebra.

3. R.Grigutis. Baigtinės algebrinės struktūros.

Išankstinės žinios.

Tai algebros paskaitu̧ kursas skirtas MIF informatikos specialybės magistrams. Šiose paskaitose dėstomi kūnu̧ plėtiniu̧ teorijos klausimai, išsprendžiantys algebriniu̧ lygčiu̧ išsprendžiamumo radikalais klausima̧, taip pat nemažai klasikiniu̧ brėžimo tik skriestuvu ir liniuote uždaviniu̧. Nors paskaitose stengtasi pateikti visus reikalingus apibrėžimus ir naudojamu̧ teiginiu̧ formuluotes, reiktu̧, kad klausytojas būtu̧ susipažinȩs su bendruoju algebros kursu, skaitomu MIF informatikams pirma̧jame ir antra̧jame semestruose, o taip pat diskretinės matematikos( antrasis kurso pavadinimas: diskretinės algebrinės struktūros) kursu, skaitomu MIF informatikams trečia̧jame semestre. Dabar norėtu̧si priminti tas savokas ir teiginius iš minėtu̧ kursu̧, kuriais dažniausiai remsimės savo tolesniuose samprotavimuose.

⊙\underline{GRUPĖS} •Grupės apibrėžimas ir pavyzdžiai.

Liekanu̧ klasiu̧ adicinė grupė Z_{n},primityviu̧ju̧ klasiu̧ multiplikacinė grupė U_{m}, |U_{m}| = φ (m) .

Vieneto šaknu̧ multiplikacinė grupė U(n).

• Homomorfizmas ir izomorfizmas.

• Normalusis pogrupis

Apibrėžimas. Grupės A pogrupis vadinamas normaliuoju, jeigu visiems a ∈ A

a · B = B · a

Normaliojo pogrupio požymis: a · B · a^{−1} ⊆ B. Svarbiausia normaliu̧ju̧ pogrupiu̧ savybė yra ta, kad grupės A sluoksniu̧ nor-

maliojo pogrupio B atžvilgiu aibėje ( žymuo A/B ) galima apibrėžti grupės struktūra̧.

Beto, bet kurio grupiu̧ homomorfizmo branduolys yra normalusis pogrupis ir bet kuris normalusis pogrupis yra homomorfizmo branduolys:

Teorema( homomorfizmu̧ teorema grupėms). Tegu f : A → B yra grupiu̧ homomorfizmas. Tada egzistuoja vienintėlis homomorfizmas f̄ : A/ ker f → B , kurio dėka diagrama

A  →^{f}  B
↘_{p}  ↗_{f̄}
A/ ker f

yra komutatyvi, t.y. f = f̄· p, f̄ yra grupiu̧ A/ ker f ir f (A) izomorfizmas, o p− siurjektyvusis homomorfizmas.

• Izomorfizmas U(n) ≈ Z_{n}, α (ε^{k}) = k (mod n)

• Ciklinės grupės ( begalinės c.g. izomorfiškos Z, baigtinės - Z_{n} ):

Funkcijos φ_{n} : Z_{n} → ⟨a⟩_{n} , φ_{n} \binom{}{k̄} = a^{k} ir φ_{0} : Z → ⟨a⟩ , φ_{0} (k) = a^{k} yra

izomorfizmai.

• simetrinė grupė S_{n}; alternuojanti grupė A_{n}; Dar vienas izomorfizmas S_{n}/A_{n} ≈ C_{2}.

• A.Cayley teorema apie tai, kad kiekviena baigtinė grupė yra izomorfiška simetrinės grupės pogrupiui.

Apibrėžimas.Tegu π , ρ - keitiniai aibėje V. Keitiniu̧ sandauga σ = π ∘ ρ vadinsime keitini̧, apibrėžta̧ lygybe

σ (v_{i}) = ρ (π (v_{i})) , ∀v_{i} ∈ V.

Pastebėsime, kad taip apibrėžta sandauga yra funkciju̧ kompozicija. Ji nėra komutatyvi.

Pavyzdys. Kai π = ( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{3} & v_{2} & v_{1} \end{matrix} ), o ρ = ( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{3} & v_{1} & v_{2} \end{matrix} ), tai

π ∘ ρ = ( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{2} & v_{1} & v_{3} \end{matrix} ) ≠ ( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{1} & v_{3} & v_{2} \end{matrix} ) = ρ ∘ π .

Tačiau, keitinio π kanoniniame skaidinyje esantys nepriklausomi ciklai komutuoja poromis.

Teiginys.Tegu S(V) - visu̧ keitiniu̧ aibė aibėje V. Tada (S (V) , ∘) - grupė. Teorema(A.Cayley). Tegu (G, ·) yra baigtinė grupė, turinti n elementu̧.

Tada egzistuoja funkcija

f : G → S(G) = S_{n},

tenkinanti savybes

f (g_{1}) = f (g_{2}) ⟺ g_{1} = g_{2}, (injektyvumas)
f (g · h) = f (g) ∘ f (h) . (homomorfizmas)

I̧rodymas.∀a ∈ G konstruojame keitini̧ L_{a} : G → G , L_{a}(g) = g · a . Taigi L_{a} ∈ S_{n}.

Turime aibiu̧ lygybȩ

{g_{1}, g_{2}, ..., g_{n}} = {g_{1} · a, g_{2} · a, ..., g_{n} · a} = G.

Turime

1) L_{a} ∈ S_{n},

2) L_{a}^{−1} = L_{a^{−1}},

3) L_{a·b} (g) = g · (a · b) = (g · a) · b = L_{b} (L_{a} (g)) = (L_{a} ∘ L_{b}) (g) , taigi, L_{a·b} = L_{a} ∘ L_{b}.

Gavome, kad keitiniai L_{g_{1}}, L_{g_{2}}, ..., L_{g_{n}} sudaro grupȩ H ⊂ S (G) = S_{n}. Funkcija f : G → H ⊂ S_{n} apibrėžta formule f (g) = L_{g} . I̧rodyta. Pavyzdys1. Rombo simetriju̧ grupės i̧dėjimas i̧ simetrinȩ grupȩ. Tegu G = {e, a, b, c} - rombo simetriju̧ grupė. Čia e ir a posūkiai atitinkamai

0^{∘} ir 180^{∘} kampu, o b ir c simetrijos i̧strižainiu̧ atžvilgiu. Tada veiksmu̧ lentelė šioje grupėje

\begin{matrix}· & e & a & b & c \\ e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \end{matrix}

ir L_{e} = ( \begin{matrix}e & a & b & c \\ e & a & b & c \end{matrix} ) = id , L_{a} = ( \begin{matrix}e & a & b & c \\ a & e & c & b \end{matrix} ) = (ea) (bc) , L_{b} =

( \begin{matrix}e & a & b & c \\ b & c & e & a \end{matrix} ) = (eb) (ac) , L_{c} = ( \begin{matrix}e & a & b & c \\ c & b & a & e \end{matrix} ) = (ec) (ab) .

Pavyzdys2. Ciklinės grupės ( pvz. n-ojo laipsnio šaknu̧ iš 1 multiplikacinės grupės) i̧dėjimas i̧ simetrinȩ grupȩ.

Tegu ε - primityvioji n-ojo laipsnio šaknis iš vieneto. Tada visos n-ojo laipsnio šaknis iš vieneto yra primityviosios šaknies ε laipsniai : ε, ε^{2}, ..., ε^{n−1}, ε^{n} = 1 ir

L_{ε} = ( \begin{matrix}ε & ε^{2} & ε^{3} & ⋯ & ε^{n−1} & ε^{n} \\ ε^{2} & ε^{3} & ε^{4} & ⋯ & ε^{n} & ε \end{matrix} )

L_{ε^{2}} = ( \begin{matrix}ε & ε^{2} & ε^{3} & ⋯ & ε^{n−1} & ε^{n} \\ ε^{3} & ε^{4} & ε^{5} & ⋯ & ε^{n+1} & ε^{n+2} \end{matrix} )

ir t.t. Pavyzdžiui, kai n = 6 turime reiškima̧ keitiniais:

L_{1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \end{matrix} ) = (123456)

L_{2} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \end{matrix} ) = (135) (246)

L_{3} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \end{matrix} ) = (14) (25) (36)

L_{4} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} ) = (153) (264)

L_{5} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix} ) = (165432)

L_{6} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) = id.

⊙\underline{ŽIEDAI.}

• Žiedo apibrėžimas ir pavyzdžiai :

• polinomu̧ žiedas ;

• Idealas, K [x] - pagrindiniu̧ idealu̧ sritis,

• Faktoržiedis ir homomorfizmu̧ teorema žiedams.

Teorema (homomorfizmu̧ teorema žiedams). Jeigu φ : R → S yra žiedo R homomorfizmas ant žiedo S, tai Ker φ - idealas

ir S ≈ R/_{Ker}φ .

Jeigu J ⊂ R yra idealas, tai ϕ : R → R/_{J} , ϕ (a) = a + J yra žiedu̧ homomorfizmas, kurio branduolys Ker ϕ = J.

Teorema. Tegu f (x) ∈ K [x] . Faktoržiedis K [x] / (f) yra kūnas tada ir tik tada, kai f− neredukuojamas virš kūno K polinomas.

⊙ \underline{KŪNAI} •Kūno apibrėžimas ir pavyzdžiai:

• kūno charakteristika ir pirminai kūnai.

• Baigtiniai kūnai.

• Racionaliu̧ju̧ funkciju̧ kūnas K (x) .

Apibrėžimas.Tegu K− kūnas. Trupmenu̧ aibėje

\{\frac{f (x)}{g (x)}|f (x) , g (x) ∈ K [x] , g (x) ≢ 0\} , kurioje \frac{f_{1}}{g_{1}} = \frac{f_{2}}{g_{2}} ⟺ f_{1}g_{2} = f_{2}g_{1} ( tai

ekvivalentumo sa̧ryšis, i̧rodyti!), apibrėžus dvi operacijas: \frac{f_{1}}{g_{1}} + \frac{f_{2}}{g_{2}} = \frac{f_{1}g_{2} + f_{2}g_{1}}{g_{1}g_{2}} ir \frac{f_{1}}{g_{1}} · \frac{f_{2}}{g_{2}} = \frac{f_{1} · f_{2}}{g_{1} · g_{2}} gauname racionaliu̧ju̧ funkcuju̧ kūna̧ K (x)

⊙ \underline{VEKTORINĖS ERDVĖS.} •Vektorinė erdvė: apibrėžimas, tiesiška vektoriu̧ priklausomybė, tiesinis apval-

kalas, bazė.

• Faktorerdvė

• Tiesinis atvaizdis, jo Im ir Ker .

• Baigtinio matavimo vektoriniu̧ erdviu̧ izomorfizmas aritmetiniai erdvei.

• Izomorfizmo teorema vektorinėms erdvėms.

Teorema apie izomorfizma̧. Tegu A : U → V − tiesinis atvaizdis. Poerdvis imA izomorfinis faktorerdvei U/ ker A .

I̧rodymas. Apibrėžkime funkcija̧ i : U/ ker A → imA formule i \binom{}{ū} = A (u) . Parodysime, kad tai ir yra ieškomas izomorfizmas.

Funkcija i yra tiesinis atvaizdis: i (a_{1}ū_{1} + a_{2}ū_{2}) = i (\overline{a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2}}) = A (a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2}) = a_{1}A (u_{1}) + a_{2}A (u_{2}) =

a_{1}i \binom{}{ū_{1}} + a_{2}i \binom{}{ū_{2}} .

Tiesinis atvaizdis i yra monomorfizmas:

i \binom{}{ū} = 0 ⇔ A (u) = 0 ⇔ u ∈ ker A ⇔ ū = ¯0.

Tiesinis atvaizdis i yra epimorfizmas: su kiekvienu v ∈ imA egzistuoja u ∈ U, kad A (u) = v, t.y. i \binom{}{ū} = A (u) = v. I̧rodyta. Teorema apie izomorfizma̧ dažnai reiškiama tokia komutatyvia diagrama:

\begin{aligned}U & & ⟶^{A} & & V \\ & ↘^{p} & & ^{i} ↗ \\ & & U/ ker A \end{aligned} ,

čia p (u) = ū, i \binom{}{ū} = A (u) , taigi, A (u) = i (p (u)) . Pastaba. Paskutiniu̧ju̧ teoremu̧ dėka matome, kaip galėtume ma̧styti faktor-

erdvȩ. Kiekvienam vektorinės erdvės poerdviui galime apibrėžti tiesini̧ atvaizdi̧, kurio vaizdas yra šis poerdvis, o branduolys - poerdvio tiesioginys papildinys. Pagal teorema̧ apie izomorfizma̧ faktorerdvȩ galime ma̧styti kaip poerdvio tiesiogini̧ papildini̧.

Teorema. Vektorinė erdvė U, k ,dim U = n, yra izomorfinė aritmetinei erdvei k_{n} .

I̧rodymas.Tegu vektoriu̧ sistema v_{1}, ..., v_{n}− vektorinės erdvės U bazė. Apibrėžkime tiesini̧ atvaizdi̧ A : k_{n} → U formule

A ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ) = (v_{1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ) .

imA = U, nes sistema v_{1}, ..., v_{n}− generuojanti erdvȩ U sistema. ker A = 0, nes sistema v_{1}, ..., v_{n}− tiesiškai nepriklausoma sistema. Gavome, kad U yra izomorfinė aritmetinei erdvei k_{n}. I̧rodyta.

Pastaba. U ≈ k_{n}, bet šis izomorfizmas nėra kanoninis,- jis priklauso nuo baziu̧.

Paskutinioji teorema rodo, kad baigtinės dimensijos vektorinȩ erdvȩ galima reikšti aritmetinės erdvės elementais, t.y. stulpeliais: α_{1}u_{1} + ⋯ + α_{n}u_{n} →

( \begin{matrix}α_{1} \\ ⋯ \\ α_{n} \end{matrix} ) .

.