KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

1. Kūnu̧ plėtiniai

2. Galua grupės

3. Polinomu̧ Galua grupės

4. Mažos eilės grupiu̧ klasifikacija

5. Fundamentalioji teorema

6. Separabilusis ir normalusis plėtinys

7. Klasikiniai brėžimo skriestuvu ir liniuote uždaviniai

8. Išspendžiamos grupės

9. Radikalinis plėtinys ir polinomo išsprendžiamumas radikalais

Šiame skyriuje mes i̧rodysime, kad polinomas virš nulinės charakteristikos kūno yra išsprendžiamas tada ir tik tada, kada jo Galua grupė yra išsprendžiama.

Apibrėžimas 9.1 Kūno plėtinys F/K vadinamas radikaliniu K plėtiniu, jeigu egzistuoja tokie elementai r_{1}, ..., r_{m} , kad

1. F = K (r_{1}, ..., r_{m}) ir

2. Egzistuoja tokie teigiami sveiki skaičiai n_{1}, ..., n_{m}, kad r_{1}^{n_{1}} ∈ K ir r_{i}^{n_{i}} ∈ K (r_{1}, ..., r_{i−1}) .

Polinomas f (x) ∈ K [x] vadinamas išsprendžiamu radikalais, jeigu egzistuoja toks radikalinis plėtinys F/K, kad visos f (x) šaknys yra kūne F.

Taigi, polinomas f (x) ∈ K [x] yra išsprendžiamas radikalais, jeigu egzistuoja tokia kūnu̧ grandinė

K = K_{0} ⊂ K_{1} ⊂ ⋯ ⊂ K_{m} = F,

kad

(1) K_{i} = K_{i−1} (r_{i}) , čia r_{i}^{n_{i}} ∈ F_{i−1}, n_{i} ∈ N ir

(2) F yra polinomo f (x) skaidinio kūnas.

Norint sukonstruoti radikalini̧ plėtini̧, reikia nagrinėti dvinario x^{n} −a ∈ K [x] , čia n ∈ N,a ∈ K, skaidinio kūna̧. Pradėsime atskiru atveju, dvinario x^{n} − 1 tyrimu. Šio dvinario šaknis vadina n -ojo laipsnio šaknimis iš 1. n -ojo laipsnio šaknis vadinama primityvia̧ja n -ojo laipsnio šaknimi iš 1, jeigu jos eilė polinomo x^{n} − 1 skaidinio kūno multiplikacinėje grupėje yra lygi n.

Teiginys 9.2 Tegu K yra kūnas, kurio charakteristika yra lygi 0, o F yra polinomo x^{n} − 1 skaidinio kūnas. Tada

(1) Kūne F egzistuoja primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1.

(2) Jeigu ζ yra primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1, tai F = K (ζ) .

(3) Gal(F/K) yra komutatyvi grupė.

(4) Jeigu E ⊇ F, tai su visais a ∈ E polinomo x^{n} − a ∈ E [x] Galua grupė yra ciklinė ir jos eilė yra n daliklis.

\underline{I̧rodymas.} (1) Polinomas x^{n} − 1 yra separabilus, nes (x^{n} − 1)′ = nx^{n−1} ir BDD(x^{n} − 1, nx^{n−1}) = 1, ir todėl kūne F yra n skirtingu̧ n -ojo laipsnio šaknu̧ iš 1. Visos n -ojo laipsnio šaknys iš 1 sudaro F^{×} baigtini̧ pogrupi̧ C ir šis pogrupis yra ciklinis. Kievienas generuojantis šia̧ grupȩ elementas ir yra primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1.

(2) Visos n -ojo laipsnio šaknys iš 1 yra ζ laipsniai, todėl F = K (C) = K (ζ) .

(3) Parodysime, kad funkcija Ψ : Gal(F/K) → Z_{n}^{×}, Ψ (σ) = j mod n, jeigu σ (ζ) = ζ^{j} , yra injektyvus homomorfizmas , t.y. Gal(F/K) yra komutatyvios grupės pogrupis ir todėl irgi yra komutatyvi grupė. Jeigu ζ yra primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1, tai likusios primityviosios n -ojo laipsnio šaknys iš 1 yra ζ^{j}, kai BDD(j, n) = 1. Elementas σ (ζ) su visais σ ∈Aut(F) ⊃ Gal(F/K) yra primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1, tai jis yra lygus ζ^{j} su tokiu j, kad BDD(j, n) = 1. Taigi, funkcija Ψ (σ) = j mod n yra injekcija, nes F = K (ζ) . Ši funkcija yra homomorfizmas, nepriklausantis nuo primityvaus elemento pasirinkimo( patikrinti paliekame skaitytojui).

(4) Tegu r yra polinomo x^{n}−a šaknis šio polinomo skaidinio kūne virš E. Tegu ζ ∈ E yra primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1. Tada nesunku patikrinti, kad aibė {r, rζ, ..., rζ^{n−1}} ⊆ E yra visu̧ skirtingu̧ polinomo šaknu̧ aibė. Gavome, kad polinomo x^{n} − a skaidinio kūnas yra E (r) ir visi σ ∈Gal(E (r) /E) yra visiškai apibrėžti savo reikšme σ (r) . Tegu σ_{1} ∈Gal(E (r) /E) apibrėžtas formule σ_{1} (r) = rζ. Tada Gal(E (r) /E) = ⟨σ_{1}⟩ ir σ_{1}^{n} = 1.

I̧rodyta.

Teiginys 9.3 Tegu K yra nulinės charakteristikos kūnas ir E/K yra radikalinis plėtinys. Tada egzistuoja toks tarpinis kūnas E ⊇ F ⊇ K, kad F/K yra normalusis radikalinis plėtinys.

\underline{I̧rodymas.} Tegu E/K yra radikalinis plėtinys r_{1}, ..., r_{m} ∈ E ir n_{1}, ..., n_{m} ∈ N yra tokie elementai, kad (1) E = K (r_{1}, ..., r_{n}) ir (2) r_{i}^{n_{i}} ∈ K (r_{1}, ..., r_{i−1}) su 1 ≤ i ≤ m. Tegu f_{i} yra elemento r_{i} minimalusis polinomas virš K ( 1 ≤ i ≤ m) ir f = f_{1} ⋯ f_{m} . Polinomas f yra separabilus ir pagal Teorema̧ 6.7 polinomo f skaidinio kūnas F yra normalusis plėtinys. Iš Fundamentaliosios Teoremos II dalies i̧rodymo žinome, kad kiekviena polinomo f šaknis yra reiškiama σ (r_{i}) , čia 1 ≤ i ≤ m ir σ ∈Gal(F/K) . Iš čia su visais σ ∈Gal(F/K) ir visais 1 ≤ i ≤ m turime, kad σ (r_{i}) ∈ K (σ (r_{1}) , ..., σ (r_{i−1})) . Taigi, jeigu Gal(F/K) = {σ_{1}, ..., σ_{k}} , tai F = K ({σ_{j} (r_{i}) |1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ k}) yra normalusis radikalinis plėtinys.

I̧rodyta.

Dabar mes jau pasiruošȩ pagrindinio skyriaus teiginio i̧rodymui.

Teorema 9.4 Tegu K yra nulinės charakteristikos kūnas. Teigiamo laipsnio polinomas f ∈ K [x] yra išsprendžiamas radikalais tada ir tik tada, kada yra išsprendžiama polinomo f Galua grupė.

\underline{I̧rodymas}. Mes i̧rodysime tik toki̧ teigini̧: jeigu teigiamo laipsnio polinomas f ∈ K [x] yra išsprendžiamas radikalais tai yra išsprendžiama ir polinomo f Galua grupė.

Tegu E/K yra radikalinis kūno plėtinys ir polinomo f skaidinio kūnas F yra tarpinis kūnas: E ⊇ F ⊇ K. Iš Teiginio 9.3 galime tarti, kad E yra normalusis radikalinis plėtinys. Tegu r_{1}, ..., r_{m} ∈ E ir n_{1}, ..., n_{m} ∈ N yra tokie elementai, kad (1) E = K (r_{1}, ..., r_{n}) ir (2) r_{i}^{n_{i}} ∈ K (r_{1}, ..., r_{i−1}) su 1 ≤ i ≤ m. Tegu n = MBK(n_{1}, ..., n_{m}) ir ζ yra primityvioji n - ojo laipsnio šaknis iš 1 virš K. Tada ζ^{\frac{n}{n_{i}}} ∈ K (ζ) yra primityvioji n_{i} - ojo laipsnio šaknis iš 1. Turime, kad plėtinys E (ζ) /K (ζ) yra normalusis radikalinis plėtinys ir E (ζ) /K yra Galua plėtinys ( Teorema 6.7). Iš Fundamentaliosios teoremos II dalies, žinodami, kad F/K yra Galua plėtinys ( Teorema 6.7), turime, kad Gal(F/K) yra grupės Gal(E (ζ) /K) faktorgrupė. Taigi, gavȩ tai, kad Gal(E (ζ) /K) yra išsprendžiama, pagal Teorema̧ 8.9 turėtume, kad ir grupė Gal(F/K) yra išsprendžiama ir tuo pačiu i̧rodytume mūsu̧ teigini̧.

Tegu su visais 1 ≤ i ≤ m, F_{i} = K (r_{1}, ..., r_{i}) . Mes parodysime kaip sukonstruoti grupei G =Gal(E (ζ) /K) normalia̧ja̧ pogrupiu̧ grandinȩ. Kūnas F_{0} = K (ζ) yra seprabilaus polinomo x^{n} − 1 ∈ K [x] skaidinio kūnas, todėl pagal Fundamentaliosios teoremos II dali̧ N_{0} =Gal(E (ζ) /K (ζ)) normalusis grupės G pogrupis ir G/N_{0} ≈Gal(K (ζ) /K) yra komutatyvi grupė pagal Teigini̧ 9.2 (3) . Su visais 1 ≤ i ≤ m kūne F_{i−1} yra visos n_{i} - ojo laipsnio šaknys iš 1 ir F_{i} yra polinomo x^{n_{i}}−r_{i}^{n_{i}} skaidinio kūnas ir todėl plėtinys F_{i}/F_{i−1} yra Galua plėtinys. Pagal Fundamentaliosios teoremos II dali̧ N_{i} =Gal(E (ζ) /F_{i}) yra normalusis grupės N_{i−1} =Gal(E (ζ) /F_{i−1}) pogrupis ir N_{i−1}/N_{i} ≈Gal(F_{i}/F_{i−1}) . Pagal Teorema̧ 9.2 (4) grupė Gal(F_{i}/F_{i−1}) yra ciklinė ir todėl komutatyvi. Visa̧ konstrukcija̧ pavaizduosime lentele:

K = K ⊂  K (r_{1}) ⊂ ⋯ ⊂ K (r_{1}, ..., r_{m}) =  E
∥  ∩
K ⊂ K (ζ) ⊂ K (ζ, r_{1}) ⊂ ⋯ ⊂ K (ζ, r_{1}, ..., r_{m}) = E (ζ)
↕  ↕  ↕  ↕  ↕
K′ (K (ζ))′_{∥}_{F_{0}} (K (ζ, r_{1}))′ ⋯_{∥}_{F_{1}}  (K (ζ, r_{1}, ..., r_{m}))′_{∥}_{F_{m}} (E (ζ))′
∥  ∥  ∥  ∥  ∥
G ⊳ N_{0} ⊳  N_{1} ⊳ ⋯  ⊳ N_{m} =  ⟨id_{E(ζ)}⟩

Gavome, kad

G ⊳ N_{0} ⊳ N_{1} ⊳ ⋯ ⊳ N_{m} = ⟨id_{E(ζ)}⟩

yra normalioji grupės G pogrupiu̧ grandinė. Taigi, G =Gal(E (ζ) /K) ir, tuo pačiu, grupė Gal(F/K) yra išsprendžiamos.

I̧rodyta.