KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

1. Kūnu̧ plėtiniai

2. Galua grupės

3. Polinomu̧ Galua grupės

4. Mažos eilės grupiu̧ klasifikacija

5. Fundamentalioji teorema

6. Separabilusis ir normalusis plėtinys

7. Klasikiniai brėžimo skriestuvu ir liniuote uždaviniai

8. Išspendžiamos grupės

Visos grupės, kurias mes nagrinėsime yra baigtinės. Kitoje paskaitoje mes matysime, kad polinomas yra išsprendžiamas tada ir tik tada, kada jo Galua grupė yra išsprendžiama. Tai ir yra pagrindinė šiu̧ grupiu̧ nagrinėjimo priežastis. Pradėsime apibrėžimu.

Apibrėžimas 8.1 Grupė G vadinama išsprendžiama, jeigu egzistuoja šios grupės tokia pogrupiu̧ grandinė G = N_{0} ⊇ N_{1} ⊇ … ⊇ N_{n} , kai

(1) N_{i} yra normalusis N_{i−1} pogrupis su visais i = 1, 2, ..., n,

(2) N_{i−1}/N_{i} yra ciklinės grupės su visais i = 1, 2, ..., n,

(3) N_{n} = ⟨1⟩ .

Šioje paskaitoje mes apsiribosime išsprendžiamu̧ ir neišsprendžiamu̧ grupiu̧ pavyzdžiais ir be i̧rodymu̧ suformuluosime teiginius, aprašančius pakankamai dideles šiu̧ grupiu̧ klases.

Pavyzdys 8.2 Keitiniu̧ grupės S_{2} ir S_{3} yra išsprendžiamos.

Keitiniu̧ grupė S_{2} yra pati išsprendžiama, nes pati yra ciklinė.

Keitiniu̧ grupė S_{3} turi tokia̧ pogrupiu̧ grandinȩ S_{3} ⊳ A_{3} ⊳ ⟨id ⟩ , čia A_{3}− lyginiu̧ keitiniu̧ grupė, turinti 3 elementus. A_{3} yra normalusis S_{3} pogrupis ir S_{3}/A_{3} ≈ Z_{3}. Taigi, S_{3} yra išsprendžiama grupė.

Pavyzdys 8.3 Keitiniu̧ grupė S_{4} yra išsprendžiama.

Keitiniu̧ grupė S_{4} turi tokia̧ pogrupiu̧ grandinȩ S_{4} ⊳ A_{4} ⊳ V ⊳ ⟨(13) (24)⟩ ⊳ ⟨id ⟩ , čia A_{4}− lyginiu̧ keitiniu̧ grupė, turinti 12 elementu̧; V − Kleino ketvirtinė grupė(Klein Viergruppe) : visi 2 -os eilės grupės A_{4} elementai ir id : V = {id, (12) (23) , (13) (24) , (14) (23)} ≈ Z_{2} × Z_{2}. Tai, kad A_{4} yra normalusis S_{4} pogrupis, V yra normalusis A_{4} pogrupis, ⟨(13) (24)⟩ yra normalusis V pogrupis paliekame i̧rodyti skaitytojui. Iš Lagranžo teoremos turime, kad |S_{4}/A_{4}| = 2, |A/V | = 3, |V/ ⟨(13) (24)⟩| = 2, |⟨(13) (24)⟩ / ⟨id ⟩| = 2, todėl S_{4}/A_{4} ≈ Z_{2}, A/V ≈ Z_{3}, V/ ⟨(13) (24)⟩ ≈ Z_{2} ir ⟨(13) (24)⟩ / ⟨id ⟩ ≈ Z_{2}, t.y. visos faktorgrupės yra ciklinės. Gavome, kad S_{4} yra išsprendžiama.

Teorema 8.4 (Galua,1832) Keitiniu̧ grupė S_{n} , n ≥ 5 yra neišsprendžiama.

Teoremos i̧rodymas remiasi lemomis.

Lema 8.5 Lyginiu̧ keitiniu̧ grupė A_{n} yra generuojama ilgio 3 ciklais.

\underline{I̧rodymas.} Bet kuris lyginis keitinys σ yra lyginio skaičiaus transpoziciju̧ sandauga: σ = t_{1}t_{2} ⋯ t_{2m−1}t_{2m}. Dvieju̧ transpoziciju̧ sandauga̧ visada galima užrašyti ilgio 3 ciklu̧ sandauga:

(ij) (kl) = \{ \begin{matrix}(ij) (jl) = (ijl) & kai j = k \\ (ij) (jk) (jk) (kl) = (ijk) (jkl) & kai i, j, k, l yra skirtingi \\ id & kai (ij) = (kl) \end{matrix} \} .

I̧rodyta.

Lema 8.6 Normalusis A_{n} (n ≥ 5) pogrupis N, turintis ilgio 3 cikla̧, sutampa su A_{n}

\underline{I̧rodymas.} Tegu c yra ilgio 3 ciklas pogrupyje N, o d yra bet kuris ilgio 3 ciklas grupėje A_{n}. Žinoma, kad egzistuoja toks σ ∈ S_{n}, kad d = σcσ^{−1}. Jeigu σ ∈ A_{n}, tai d ∈ N, nes N yra normalusis pogrupis. Jeigu σ ∉ A_{n} ir n ≥ 5 , tai egzistuoja tokia transpozicija t ∈ S_{n}, kad tσ ∈ A_{n}. Tada d = tdt^{−1} = tσcσ^{−1}t ∈ N ( t = t^{−1}).

I̧rodyta.

Lema 8.7 Kiekvienas A_{n} (n ≥ 5) normalusis pogrupis N, N ≠ ⟨id⟩ , turi ilgio 3 cikla̧.

\underline{I̧rodymas.} Tegu σ ∈ N ir σ ≠ id. Jeigu σ nėra ilgio 3 ciklas, tai mes parodysime kaip rasti toki̧ σ′ ∈ N, σ ≠ id, kuris nekeistu̧ daugiau elementu̧ iš {1, ..., n} negu σ (pastebėkime, kad ilgio 2 ciklas nėra lyginis keitinys ir todėl nepriklauso N ).

↓  ←  − − − σ_{↓} ⟵ −−

σ yra 3-ciklas

↓

σ nėra 3-ciklas

↓

|

PABAIGA

↙

Skleidžiame σ nesikertančiais ciklais

↓

|

σ=(i_{1}i_{2}i_{3}...)..._{↓}  σ=(i_{1}i_{2}) (i_{3}i_{4})..._{↓}  |
σ keičia dar i_{4}, i_{5}
nes σ ≠ (i_{1}, ...i_{4})
↓

\begin{matrix}Tegu \\ i_{5} ≠ i_{1}, ...i_{4} \end{matrix}_{↓} |

\begin{matrix}τ = (i_{3}, i_{4}, i_{5}) \\ σ_{1} := τστ^{−1} = (i_{1}i_{2}i_{4}...) ... \\ ∈ N ir σ_{1} ≠ σ \end{matrix}_{↓}  \begin{matrix}σ_{1} := (i_{1}i_{2}) (i_{4}i_{5}) \\ σ_{1} ≠ σ \\ nes σ_{1} (i_{4}) ≠ σ (i_{4}) \end{matrix}_{↓}  |

σ′ := σ_{1}σ ≠ id

σ′ = τστ^{−1}σ^{−1} nekeičia i_{2} ir tuos, kuriuos nekeičia σ

↓

σ′ := σ_{1}σ ≠ id
σ′ nekeičia i_{1}, i_{2} ir

ir tuos, kuriuos nekeičia σ

↓

|

σ′ nekeičia daugiau už σ  σ′ nekeičia daugiau už σ  |
↘  ↙  |
σ:=σ′  − − − − − − − − − ⟶  ↑

I̧rodyta.

Iš šiu̧ triju̧ lemu̧ mes turime, kad grupėje A_{n}(n ≥ 5) nėra netrivialiu̧ normaliu̧ju̧ pogrupiu̧. Tokias grupes vadina paprastomis grupėmis. Taigi, A_{n}(n ≥ 5) yra paprastoji grupė.

Lema 8.8 Keitiniu̧ grupėje S_{n} , n ≥ 5, yra tik tris normalieji pogrupiai 1, A_{n} ir S_{n}.

\underline{I̧rodymas.} Tegu N yra normalusis S_{n} pogrupis. Tada N ∩A_{n} yra normalusis A_{n} pogrupis. Grupė A_{n} yra paprastoji, todėl arba N ∩A_{n} = A_{n}, arba N ∩A_{n} = ⟨id ⟩ . Pirmuoju atveju, N ⊇ A_{n}, o A_{n} indeksas grupėje yra 2, todėl N yra arba A_{n}, arba S_{n}. Antruoju atveju, funkcija φ : N → S_{n}/A_{n} , φ (x) = xA_{n} yra injektyvi ir todėl grupėje N yra arba 1, arba 2 elementai. Jeigu grupėje N yra 1 elementas, tai N = ⟨id⟩ . Grupėje negali būti lygiai 2 elementu̧, nes jeigu c ∈ N, tai ir σcσ^{−1} ∈ N su visiais σ ∈ S_{n}.

I̧rodyta.

\underline{Teoremos 8.4 i̧rodymas.} Turime tik tokia̧ keitiniu̧ grupės S_{n} normalia̧ja̧ grandinȩ: S_{n} ⊳ A_{n} ⊳ ⟨id⟩ . Bet grupė A_{n} yra nekomutatyvi: pvz.: (123) (124) = (14) (23), bet (124) (123) = (13) (24) . Taigi, A_{n} yra neciklinė ir S_{n} nėra išsprendžiama.

I̧rodyta.

Dabar pateiksime teoremas be i̧rodymu̧, aprašančias išsprendžiamu̧ grupiu̧ klases.

Teorema 8.9 Visi išsprendžiamos grupės pogrupiai ir visos faktorgrupės yra išsprendžiamos grupės.

Teiginys 8.10 Baigtinė p -grupė G, t.y. grupė, turinti p^{s} elementu̧, yra išsprendžiama.

Teiginys 8.11 Visos grupės, kuriu̧ eilė < 60, yra išsprendžiamos.

Teorema 8.12( Feit-Thomson,1963) Nelyginės eilės grupė yra išsprendžiama.