KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

1. Kūnu̧ plėtiniai

2. Galua grupės

3. Polinomu̧ Galua grupės

4. Mažos eilės grupiu̧ klasifikacija

5. Fundamentalioji teorema

6. Separabilusis ir normalusis plėtinys

7. Klasikiniai brėžimo skriestuvu ir liniuote uždaviniai

Sekdami pitagoriečiais ( V a. pr.Kr.), senieji graikai ”skaičiais” vadino tik sveikuosius skaičius ir racionaliuosius skaičius. Tačiau domėdamiesi aristokratijos simboliu - geometrinio vidurkio dydžiu a : b = b : c susidūrė su iracionalumu: kam yra lygus dvieju̧ šventu̧ju̧ skaičiu̧ 1 ir 2 geometrinis vidurkis ?( Pats skaičius buvo pitagoriečiu̧ filosofinio misticizmo pagrindas: prisiminkime kad ir ju̧ posaki̧ ” viskas yra skaičius”). Geometrini̧ vidurki̧ formuluodami geometriškai: ”kam yra lygi kvadrato i̧strižainė?” - teko pripažinti, kad šis santykis nėra ”skaičius”. Tai griovė buvusia̧ aritmetikos ir geometrijos harmonija̧. Tik Eudokso ( 408 − 355 m.pr.Kr.) santykiu̧ teorija ”i̧veikė” šia̧ graiku̧ matematikos ”krizȩ”: algebriniai dydžiai buvo reiškiami geometriškai, pavyzdžiui \sqrt{2} buvo reiškiama kvadrato, kurio plotas yra lygus 2, kraštine, o visos algebrinės operacijos buvo apibrėžiamos geometriškai. Tai buvo savotiškas iracionaliu̧ju̧ skaičiu̧ pripažinimas. Ir tai teikė vilties, kad šiu̧ ”brėžiamu̧” skaičiu̧ jiems pakaks savo reikmėms. Net žymiesiems savo brėžimo skriestuvu ir liniuote uždaviniams: kubo dvigubinimo, kampo trisekcijos, skritulio kvadratūros,- išsprȩsti. Dabar mes pamatysime, kodėl šios ju̧ viltys nepasiteisino.

Tegu turime liniuotȩ, kurios ilgis bus 1, ir skriestuva̧, kuriuo galime brėžti bet kurio spindulio apskritimus. Skaičiu̧ ( tiksliau būtu̧ atkarpa̧, kurios ilgis yra šis skaičus) vadinsime brėžiamu, jeigu jis yra 1 arba ji̧ galima nubrėžti atlikus tik šiuos veiksmus:

• sujungti du brėžiamus taškus atkarpa;

• brėžti apskritima̧, kurio centras yra brėžiamame taške ir spindulys yra brėžiamas skaičius.

Apibrėžimas 7.1 Tegu K yra realiu̧ju̧ skaičiu̧ R pokūnis. Dekarto sandauga̧ K × K ⊂ R × R vadinsime K− plokštuma. Tiese K− plokštumoje vadinsime tiesȩ, einančia̧ per du K− plokštumos taškus. Ši tiesė yra reiškiama lygtimi

ax + by + c = 0, čia a, b, c ∈ K.

Apskritimu K− plokštumoje vadinsime apskritima̧, kurio centras yra K− taške, o spindulys yra iš K. Šis apskritimas yra reiškiamas lygtimi

(x − a)^{2} + (y − b)^{2} = r^{2} , čia a, b, r ∈ K.

Lema 7.2 Tegu L_{1} ≠ L_{2} yra dvi K− tiesės ir C_{1} ≠ C_{2} du K− apskritimai. Tada

(1) L_{1} ∩ L_{2} = ∅ arba turi viena̧ bendra̧ K− taška̧;

(2) L_{1} ∩ C_{1} = ∅ arba turi viena̧, arba turi du K (\sqrt{s}) − taškus, čia s ∈ K;

(3) C_{1} ∩ C_{2} = ∅ arba turi viena̧, arba turi du K (\sqrt{s}) − taškus, čia s ∈ K.

\underline{I̧rodymas}. Sankirtu̧ taškai gaunami sprendžiant arba tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema̧ su koeficientais iš K, arba vienos tiesinės ir vienos kvadratinės lygties, arba dvieju̧ kvadratiniu̧ lygčiu̧ sistemas su koeficientais iš K. Šios sistemos suvedamos blogiausiu atveju i̧ vieno nežinomojo kvadratinės lygties su koeficientais iš K sprendima̧. Detales paliekame skaitytojui.

I̧rodyta.

Lema 7.3 (1) Jeigu a ir b yra brėžiami skaičiai, tai ir a ± b, ab ir \frac{a}{b} ,( b ≠ 0 ) yra brėžiami.

(2) Jeigu a > 0 yra brėžiamas, tai ir \sqrt{a} yra brėžiamas.

\underline{I̧rodymas}. (1) Iš mokyklos laiku̧ mokame brėžti tiesȩ, einančia̧ per duota̧ taška̧ ir lygiagrečia̧ arba statmena̧ duotai tiesei. Žinome taip pat kaip brėžti a±b. Norint brėžti a · b, viename smailaus kampo su viršūne O spindulyje reikia atidėti taškus A ir B taip, kad OA = 1 ir OB = a (tegu a > 1), o kitame spindulyje − taška̧ C taip, kad OC = b. Nubrėžȩ tiesȩ, einančia̧ per taška̧ B ir lygiagrečia̧ atkarpai AC gausime susikirtimo taška̧ D taško C spindulyje. Iš trikampiu̧ OAC ir OBD panašumo gauname \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} ⇒ \frac{1}{b} = \frac{a}{OD} ⇒ OD = a · b .

Norint nubrėžti skaičiu̧ \frac{1}{a}, a > 1, reikia smailiojo kampo viename spindulyje atidėti vienetinȩ atkarpa̧ OA ir atkarpa̧ OB = a, o kitame spindulyje atkarpa̧ OC = 1. Nubrėžȩ tiesȩ, einančia̧ per taška̧ B ir lygiagrečia̧ atkarpai AC gausime susikirtimo taška̧ D taško C spindulyje. Tada gauname \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} ⇒ \frac{1}{1} = \frac{a}{OD} ⇒ OD = \frac{1}{a}. Dabar mokėsime brėžti ir skaičiu̧ a · \frac{1}{b} = \frac{a}{b}.

(2) Brėžiame a + 1 skersmens apskritima̧. Jo skersmenyje AB taip atidedame taška̧ C, kad AC = a ir CB = 1. Iš taško C iškeliame stameni̧, kuris kerta apskritima̧ taške D. Tada \frac{AC}{CD} = \frac{CD}{CB} ⇒ CD^{2} = AC · CB ⇒ CD = \sqrt{a}.

I̧rodyta.

Teorema 7.4 (Pagrindinė brėžimo teorema). (1) Brėžiamu̧ skaičiu̧ aibė yra kūnas.

(2) Skaičius a yra brėžiamas tada ir tik tada, kada jis yra plėtinyje

Q (\sqrt{a_{1}}, ..., \sqrt{a_{r}}) , a_{i} ∈ Q (\sqrt{a_{1}}, ..., \sqrt{a_{i−1}}) ir a_{1} ∈ Q.

\underline{I̧rodymas}. (1) Tai tiesioginė Lemos 7.3 (1) išvada.

(2) Iš (1) matome, kad brėžiamu̧ skaičiu̧ kūnas yra Q plėtinys( pagaliau Q yra mažiausias kūnas turintis sveika̧ji̧ 1 ). Iš Lemos 7.3 (2) turime, kad visi skaičiai iš Q (\sqrt{a_{1}}, ..., \sqrt{a_{r}}) yra brėžiami. Iš kitos pusės pagal Lema̧ 7.2 kiekvienas brėžiamas

skaičius yra kūne Q (\sqrt{a_{1}}, ..., \sqrt{a_{r}}) .

I̧rodyta.

Išvada 7.5 (Pagrindinė brėžimo sa̧lyga) Jeigu a yra brėžiamas skaičius, tai a yra algebrinis virš Q ir plėtinioQ (a) /Q laipsnis [Q (a) : Q] yra lygus 2^{m}.

\underline{I̧rodymas}. Jeigu a yra brėžiamas skaičius, tai iš Teoremos 1.8 kūnu̧ grandinei Q ⊂ Q (a) ⊂ Q (\sqrt{a_{1}}, ..., \sqrt{a_{r}})mes žinome, kad [Q (a) : Q] yra

[Q (\sqrt{a_{1}}, ..., \sqrt{a_{r}}) : Q] = 2^{r} daliklis.

I̧rodyta.

Dabar galime kalbėti apie klasikiniu̧ brėžimo skriestuvu ir liniuote uždaviniu̧ išsprendžiamuma̧.

Teiginys 7.6 Negalima skriestuvu ir liniuote nubrėžti kuba̧, kurio tūris dvigubai didesnis už duotijo kubo tūri̧.

\underline{I̧rodymas}. Iš tikru̧ju̧ mums pakanka parodyti, kad negalima nubrėžti kubo, kurio tūris yra lygus 2. Tam reikia mokėti nubrėžti kubinės lygties x^{3} − 2 = 0 šakni̧. Pagal Eizenšteino ( F. G. M. Eisenstein, 1823-1852) kriteriju̧ ( kai p = 2) polinomas f (x) = x^{3} − 2 yra neredukuojamas virš Q. Todėl, kaip žinome, [Q ( ^{3} \sqrt{2}) : Q] = 3 ir pagal Pagrindinȩ brėžimo sa̧lyga̧ turime, kad skaičius ^{3} \sqrt{2} nėra brėžiamas.

I̧rodyta.

Teiginys 7.7 Negalima skrietuvu ir liniuote bet kuri̧ kampa̧ padalyti i̧ tris lygias dalis.

\underline{I̧rodymas}. Aišku, kad kampo brėžimas yra ekvivalentus šio kampo trigonometriniu̧ funkciju̧ reikšmiu̧ brėžimui. Taigi, norėdami padalyti kampa̧ α i̧ tris dalis, turėtume mokėti nubrėžti lygties cos α = 4 cos^{3} \frac{α}{3} − 3 cos \frac{α}{3} sprendini̧. Pavyzdžiui, jeigu α = 60^{∘}, tai mes turėtume mokėti nubrėžti lygties 8x^{3}−6x−1 = 0 sprendini̧. Bet polinomas g (x) = 8x^{3}−6x−1 neturi racionaliu̧ju̧ šaknu̧( o jomis galėtu̧ būti tik skaičiai ±1, ±\frac{1}{2}, ±\frac{1}{4}, ±\frac{1}{8}, bet patikrinus taip nėra), todėl jis yra neredukuojamas virš Q. Taigi, [Q (cos 20^{∘}) : Q] = 3 ir pagal Pagrindinȩ brėžimo sa̧lyga̧ turime, kad skaičius cos 20^{∘}, o tuo tarpu ir \frac{α}{3} = 20^{∘} nėra brėžiamas.

I̧rodyta.

Teiginys 7.8 Negalima skrietuvu ir liniuote nubrėžti kvadrata̧, kurio plotas būtu̧ lygus skritulio plotui.

\underline{I̧rodymas}. Norėdami nubrėžti kvadrata̧, kurio plotas yra lygus sritulio, kurio spindulys yra r, plotui, turėtume mokėti nubrėžti lygties x^{2} − π = 0 sprendini̧. Bet skaičius π yra transcendentinis ( pirmasis tai i̧rodė F.Lindemanas(1852-1939) 1882 metais), todėl polinomas h (x) = x^{2} −π yra neredukuojamas virš Q ir pagal Pagrindinȩ brėžimo sa̧lyga̧ turime, kad skaičius \sqrt{π} nėra brėžiamas.

I̧rodyta.

Aptarkime dar viena̧ klasikini̧ brėžimo skriestuvu ir liniuote uždavini̧: ar galima i̧brėžti i̧ apskritima̧ taisyklinga̧ji̧ n−kampi̧? Aišku, jeigu apskritimo spinduli̧ laikysime lygiu 1, o centru pasirinksime koordinačiu̧ pradžia̧, tai reikia mokėti brėžti lygrties x^{n} − 1 sprendinius. Pažiūrėkime, kada tai galima padaryti. Visu̧ pirma pastebėsime, kad polinomas x^{n} − 1 yra redukuojamas:

(∗) x^{n} − 1 = (x − 1) (x^{n−1} + x^{n−2} + ⋯ + x + 1) .

Lema 7.9 Jeigu p yra pirminis skaičius, tai polinomas x^{p−1}+x^{p−2}+⋯+x+1 yra neredukuojamas virš Q ir plėtinio Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) /Q laipsnis [Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) : Q] = p−1.

\underline{I̧rodymas}. Kai n = p, lygybėje (∗) atlikime kintamu̧ju̧ keitini̧ t = x − 1 :

(t + 1)^{p} − 1 = t · ((t + 1)^{p−1} + (t + 1)^{p−2} + ⋯ + t + 1 + 1) .

Tada

f (t + 1) = \frac{(t + 1)^{p} − 1}{t} = t^{p−1}+ C_{p}^{p−1} · t^{p−2} + ⋯ + C_{p}^{3} · t^{2}+ C_{p}^{2} · t^{2} + p · t.

Žinome, kad C_{p}^{i} dalijasi iš p su visais 1 ≤ i ≤ p − 1. Tada pagal Eizenšteino kriteriju̧ polinomas f (t + 1) , o tuo pačiu ir polinomas x^{p−1}+x^{p−2}+⋯+x+1, yra neredukuojamas virš Q. Iš Išvados 6.4 turime, kad neredukuojami polinomai virš Q yra separabilūs, todėl [Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) : Q] = deg (x^{p−1} + x^{p−2} + ⋯ + x + 1) = p−1.

Priminsime, kad e^{\frac{2πi}{p}} yra polinomo x^{p} − 1 = 0 šaknis.

I̧rodyta.

Lema 7.10 Tegu p− nelyginis pirminis skaičius. Tada [Q (cos \frac{2π}{p} ) ⊃ Q] = \frac{p−1}{2}.

\underline{I̧rodymas}. Tegu p− nelyginis pirminis skaičius. Žinodami lygybȩ e^{\frac{2πi}{p}} = cos \frac{2π}{p} + i sin \frac{2π}{p}, matome, kad norint i̧brėžti i̧ apskritima̧ taisyklinga̧ji̧ p−kampi̧,

reikia mokėti brėžti cos \frac{2π}{p}. Turime Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) ⊃ Q (cos \frac{2π}{p} ) ⊃ Q. Skaičius e^{\frac{2πi}{p}} yra lygties x^{2}−2 cos \frac{2π}{p} ·x+1 = 0 sprendinys, beto šis skaičius yra kompleksinis( neprik-

lauso R). Todėl plėtinio Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) /Q (cos \frac{2π}{p} ) laipsnis [Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) : Q (cos \frac{2π}{p} )] = 2.

Pagal Teorema̧ 1.8 kūnu̧ grandinei Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) ⊃ Q (cos \frac{2π}{p} ) ⊃ Q turime

[Q (cos \frac{2π}{p} ) ⊃ Q] = \frac{p−1}{2}.

I̧rodyta.

Teiginys 7.11 Tegu p yra pirminis skaičius. Jeigu i̧ apskritima̧ galima i̧brėžti taisyklinga̧ji̧ p−kampi̧, tai p = 2^{2^{r}} + 1, t.y. pirminis p yra pirminis Ferma( P.Fermat,1601-1665) skaičius.

\underline{I̧rodymas}. Jeigu mes galime i̧brėžti i̧ apskritima̧ taisyklinga̧ji̧ p−kampi̧, tai pagal Pagrindinȩ brėžimo sa̧lyga̧ ir Lema̧ 7.10 turime \frac{p−1}{2} = 2^{m} , čia m− natūralusis skaičius, ir p = 2^{m+1} + 1. Bet skaičius 2^{n} + 1 yra pirminis, jeigu n yra 2 laipsnis, nes priešingai skaičius n turėtu̧ nelygini̧ dalikli̧ d, t.y. n = d · s , ir tada skaičius 2^{n} + 1 nebūtu̧ pirminis:

2^{n} + 1 = (2^{s})^{d} + 1 = (2^{s} + 1) (2^{s(d−1)} − 2^{s(d−2)} + ⋯ + 1) .

Taigi p = 2^{2^{r}} + 1 su natūraliuoju r.

I̧rodyta.

Ferma manė, kad skaičiai 2^{2^{n}} + 1 yra pirminiai su visais natūraliaisiais n ir paskelbė, kad patikrino, kai n ≤ 5. Iš čia visi pirminiai skaičiai, turintys pavidala̧ 2^{2^{n}} + 1, vadinami Ferma pirminiais skaičiais. Kai n = 0, 1, 2, 3, 4 skaičiai p = 3, 5, 17, 257, 65537 tikrai yra pirminiai. Bet 1732 m. L.Oileris (L.Euler,1707-1783) nustatė, kad skaičius 2^{2^{5}} +1 = 2^{32} +1 = 4294967297 = 641·6700417 yra sudėtinis. Iki šiol nėra žinoma daugiau pirminiu̧ Ferma skaičiu̧.

Pastebėsime, kad Teiginys 7.11 nusako tik būtinas taisyklingojo p− kampio brėžimo sa̧lygas. Brėžti taisyklinga̧ji̧ trikampi̧ galima, nes cos (\frac{2π}{3} ) = cos 120^{∘} =

−\frac{1}{2}. Galima brėžti ir taisyklinga̧ji̧ 5−kampi̧, nes cos (\frac{2π}{5} ) = cos 72^{∘} = \frac{\sqrt{5}−1}{4}. 1801

metais 18-metis K.F.Gausas( K.F.Gauss, 1777-1855) parodė, kad cos (\frac{2π}{17} ) =

−\frac{1}{16} + \frac{1}{16} \sqrt{17}+ \frac{1}{16} \sqrt{34 − 2\sqrt{17}}+ \frac{1}{8} \sqrt{17 + 3\sqrt{17} − \sqrt{34 − 2\sqrt{17} − 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}} ir tuo pačiu, kad galima brėžti taisyklinga̧ji̧ 17− kampi̧. Gausas i̧rodė dar

daugiau: i̧ apskritima̧ galima i̧brėžti taisyklinga̧ji̧ n−kampi̧ tada ir tik tada, kada skaičiaus n kanoninis skaidinys yra n = 2^{k} · p ⋯ q , čia k = 0, 1, 2, ..., o p, ..., q yra pirminiai Ferma skaičiai.

Norint mums pakartoti Gauso rezultata̧, reiktu̧ i̧rodyti teigini̧ atvirkščia̧ Teiginiui 7.11.

Teiginys 7.12 Jeigu p = 2^{k} + 1 yra pirminis skaičius, tai i̧ apskritima̧ galima i̧brėžti taisyklinga̧ji̧ p−kampi̧.

\underline{I̧rodymas}. Mes jau žinome, kad užtenka parodyti, kad galima nubrėžti skaičiu̧ cos (\frac{2π}{p} ) . Skaičius cos (\frac{2π}{p} ) ∈ Q (cos (\frac{2π}{p} )) ⊂ Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) , ir pagal Teorema̧ 6.7

kūnas Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) yra Galua kūnas virš Q, nes jis yra neredukuojamo virš Q poli-

nomo x^{p−1} + x^{p−2} + ⋯ + x + 1 skaidinio kūnas. Tegu σ ∈Gal(Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) /Q) .

Tada σ (e^{\frac{2πi}{p}} ) =e^{\frac{2πi}{p} m}, su apibrėžtu m, 1 ≤ m ≤ p − 1. Iš čia funkcija σ → m

apibrėžia grupiu̧ izomorfizma̧ Gal(Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) /Q) → (Z/pZ)^{×} . Taigi Galua plėtinio

Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) /Q Galua grupė G yra izomorfiška baigtinio kūno GF(p) multiplikacinei grupei (Z/pZ)^{×} , kurios eilė yra lygi p − 1 = 2^{k}. Gavome, kad G yra p− grupė.

Iš Silovo Teoremos 4.4 (1) , kai p = 2, žinome, kad egzistuoja tokia grupės G pogrupiu̧ grandinė

(1) = G_{0} ⊂ G_{1} ⊂ G_{2} ⊂ ⋯ ⊂ G_{k−1} ⊂ G_{k} = G,

kad faktorgrupės G_{i+1}/G_{i} su visais 0 ≤ i ≤ k − 1 eilė lygi 2. Šia̧ pogrupiu̧ grandinȩ atitinka kūno Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) pokūniu̧ grandinė

(1)′ = G′_{0} = Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) ⊃ G′_{1} ⊃ G′_{2} ⊃ ⋯ ⊃ G′_{k−1} ⊃ G′_{k} = G′ = Q,

ir [G_{i} : G_{i+1}] = 2 su visais 0 ≤ i ≤ k − 1. Jeigu u_{i} ∈ G_{i} ir u_{i} ∉ G_{i+1} ir polinomas x^{2} + b_{i}x + c_{i} , čia b_{i}, c_{i} ∈ G_{i+1}, yra minimalusis u_{i} polinomas, tai

u_{i} = \frac{−b_{i} ± \sqrt{b_{i}^{2} − 4c_{i}}}{2} , 0 ≤ i ≤ k − 1. Tegu dabar a_{i+1} = b_{i}^{2} − 4c_{i} ∈ G_{i+1}. Tada

G_{i} = G_{i+1} (\sqrt{a_{i+1}}) ir Q (e^{\frac{2πi}{p}} ) = Q (\sqrt{a_{1}}, \sqrt{a_{2}}, ..., \sqrt{a_{k}}) ir a_{i} ∈ Q (\sqrt{a_{i+1}}, ..., \sqrt{a_{k}}) ir a_{k} ∈ Q. I̧rodymui baigti belieka pasinaudoti Padrindine brėžimo teorema( Teorema 7.4).

I̧rodyta.