KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

1. Kūnu̧ plėtiniai

2. Galua grupės

3. Polinomu̧ Galua grupės

4. Mažos eilės grupiu̧ klasifikacija

5. Fundamentalioji teorema

6. Separabilusis ir normalusis plėtinys

Praeitame skyriuje mes matėme, kad baigtinio matavimo Galua plėtinys yra separabilusis ir normalusis plėtinys ( Išvada 5.6). Dabar i̧rodysime, kad teisingas ir atvirkščias teiginys.

Visu̧ pirma mes i̧sitikinsime tuo, kad ne visi neredukuojami polinomai yra separabilieji. Pradėsime apibrėžimu.

Apibrėžimas 6.1 Tegu K yra kūnas. Mažiausias kūno K pokūnis vadinamas pirminiu K pokūniu. Jeigu pirminio K pokūnio elementu̧ skaičius yra pirminis skaičius p, tai sakome, kad kūno K charakteristika yra lygi p , o jeigu pirminiame K pokūnyje yra begalinis elementu̧ skaičius, tai sakome, kad kūno K charakteristika yra lygi nuliui.

Pastebėsime, kad kūno K pirminis pokūnis yra izomorfinis arba baigtiniam kūnui GF(p) , jeigu kūno K charakteristika yra lygi pirminiam skaičiui p, arba racionaliu̧ju̧ skaičiu̧ kūnui Q, jeigu kūno K charakteristika yra lygi 0. Jeigu kūno K charakteristika yra p, tai 0 = pa =\underbrace{a + ⋯ + a}_{p kartu̧} su visais a ∈ K. Kita kūno K, ku-

rio charakteristika yra p, aritmetikos i̧tatybė pasireiškia lygybėje (a + b)^{p} = a^{p}+b^{p} su visais a, b ∈ K, nes visi binominiai koeficientai išskyrus pirma̧ji̧ ir paskutini̧ji̧ dalijasi iš p.( Dėl tos pačios priežasties yra teisinga ir lygybė (a + b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} + b^{p^{n}} su visais a, b ∈ K ir n ∈ N). Iš čia turime, kad virš kūno K, kurio charakteristika yra p, polinomas x^{p} + 1 = (x + 1)^{p} nėra neruduokajamas.

Apibrėžimas 6.2 Tegu f ∈ K [x] , f (x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x^{i}. Polinomo f (x) išvestine

f′ (x) vadiname polinoma̧

f′ (x) = ∑_{i=1}^{n} ia_{i}x^{i−1},

čia ia_{i} =\underbrace{a_{i} + ⋯ + a_{i}}_{i kartu̧} .

Šis išvestinės apibrėžimas realiems polinomas sutampa su i̧prastu išvestinės apibrėžimu, naudojančiu ribos savoka̧. Bet baigtiniuose kūnuose ribos savokos nėra, todėl ir prireikė formalaus išvestinės apibrėžimo. Tai leidžia suformuluoti polinomo separabilumo sa̧lyga̧.

Teiginys 6.3 Tegu f (x) yra neredukuojamas polinomas virš kūno K. Tada šios 4 sa̧lygos yra ekvivalenčios:

(1) polinomas f turi nors viena̧ kartotinȩ šakni̧ ( skaidinio kūne);

(2) BDD(f, f′) ≠ 1;

(3) kūno K charakteristika p ≠ 0 ir f (x) = g (x^{p}) , čia g (x) ∈ K [x] ;

(4) visos polinomo šaknys yra kartotinės.

\underline{I̧rodymas.} Tegu F yra polinomo f skaidinio kūnas.

(1) ⇒ (2) . Tegu r yra polinomo f (x) kartotinė šaknis: f (x) = (x − r)^{2} g (x) , čia g (x) ∈ F [x] . Tada viena išvestinės f′ (x) = 2 (x − r) g (x) + (x − r)^{2} g′ (x) = (x − r) (2g (x) + (x − r) g′ (x)) šaknimi yra r : f′ (r) = 0 ir todėl BDD(f, f′) ≠ 1.

(2) ⇒ (3) . Kadangi f yra neredukuojamas polinomas, o deg (f′) < deg (f) ir BDD(f, f′) ≠ 1, tai f′ (x) ≡ 0. Bet tai nei̧manoma virš nulinės charakteristikos

kūno, todėl char K = p > 0 ir todėl f (x) = ∑_{i=0}^{n} a_{ip}x^{ip} = g (x^{p}) , čia g ∈ K [x] .

(3) ⇒ (4) . Tegu f (x) = g (x^{p}) ir tegu g (x) = (x − a_{1})^{m_{1}} ⋯ (x − a_{s})^{m_{s}} kūne F. Tada

f (x) = g (x^{p}) = (x^{p} − a_{1})^{m_{1}} ⋯ (x^{p} − a_{s})^{m_{s}} = (x − a_{1})^{pm_{1}} ⋯ (x − a_{s})^{pm_{s}} ,

čia a_{i}^{p} = a_{i} , char F = p. Gavome, kad kiekvienos polinomo f šaknies kartotinumas ne mažesnis už p.

(4) ⇒ (1) . Akivaizdu (aš tikiuosi).

I̧rodyta.

Išvada 6.4 Neredukuojamas polinomas virš kūno, kurio charakteristika yra lygi 0, yra separabilus.

Paskutinioji išvada mums sako, kad polinomo virš nulinės charakteristikos kūno skaidinio kūnas yra Galua plėtinys. Tai teisinga ir polinomams virš baigtiniu̧ kūnu̧( žr.:\underline{C. Paskaita apie neredukuojamus polinomus virš baigtiniu̧ kūnu̧}). Tačiau tai nėra teisinga begaliniams kūnams, kuriu̧ charakteristika yra lygi p.

Pavyzdys. Tegu kūno K charakteristika yra lygi p ( pavyzdžiui, GF(p)) ir tegu u yra transcendentinis elementas virš K. Tada racionaliu̧ju̧ funkciju̧ kūno K (u) charakteristika yra lygi p ir polinomas x^{p} − u yra neredukuojamas žiede (K (u)) [x] , bet x^{p} − u = (x − r)^{p} virš polinomo x^{p} − u skaidinio kūno, čia r− polinomo šaknis. Gavome, kad neredukuojamas polinomas gali turėti kartotines šaknis, tiesa, tik virš begaliniu̧ baigtinės charakteristikos kūnu̧.

Gri̧žkime prie Išvados 5.6 atvirkščio teiginio i̧rodymo. Iš pradžiu̧ pastebėsime, kad kiekvienas kūnu̧ izomorfizmas σ : K → L generuoja žiedu̧ izomorfizma̧ σ_{x} : K [x] → L [x] , čia σ_{x} ( ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) = ∑_{i=0}^{n} σ (a_{i}) x^{i} (skaitytojui paliekame i̧rodyti,

kad tai yra žiedu̧ izomorfizmas).

Teorema 6.6 Tegu σ : K → L yra kūnu̧ izomorfizmas ir tegu f (x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} ∈ K [x] yra separabilus n−ojo laipsnio polinomas( n > 0). Jeigu F yra

polinomo f skaidinio kūnas virš K, o E yra polinomo σ_{x} (f) = ∑_{i=0}^{n} σ (a_{i}) x^{i} skai-

dinio kūnas virš L, tai egzistuoja lygiai [F : K] izomorfizma̧ σ generuojančiu̧ izomorfizmu̧ σ̄ : F → E ( izomorfizmas σ generuoja izomorfizma̧ σ̄, jeigu σ̄ (a) = σ (a) su visais a ∈ K).

\underline{I̧rodymas}. I̧rodysime indukcija pagal m = [F : K] . Jeigu m = 1, tai F = K ir todėl polinomo f skaidinio kūnu yra K, o polinomo σ_{x} (f) skaidinio kūnu yra L, taigi, E = L. Turime, kad tada σ̄ = σ. Tegu dabar teorema yra teisinga su visais kūnais K ir visais polinomais h (x) ∈ K [x] , kuriu̧ skaidinio kūno laipsnis virš K yra mažesnis už m. Tegu [F : K] = m > 1 ir g yra polinomo f nereduojamas daugiklis, kurio laipsnis yra d > 1. . Polinomas σ_{x} (g) yra nereduokuojamas virš L , nes σ_{x} yra izomorfizmas. Mes galime apibrėžti žiedu̧ homomorfizmu̧ kompozicija̧

K [x] ⟶^{σ_{x}} L [x] ⟶^{π} L [x] / ⟨σ_{x}(g)⟩

kurios branduolys ker πσ_{x} = ⟨g⟩ . Tegu u ∈ F yra polinomo g šaknis, o v ∈ E kuri nors polinomo σ_{x} (g) šaknis. Parašykime homomorfizu̧ teorema̧ žiedams diagrama

K [x]  ⟶^{πσ_{x}}  L [x] / ⟨σ_{x}(g)⟩
π′↘  ↗_{\overline{πσ_{x}}}
K [x] / ⟨g⟩

čia \overline{πσ_{x}}− kūnu̧ izomorfizmas. tada pagal Teorema̧ 1.5 turime

K (u) ≈ K [x] / ⟨g⟩ ≈ L [x] / ⟨σ_{x}(g)⟩ ≈ L (v) .

Tegu v_{1}, ..., v_{d} yra visos polinomo σ_{x}(g) šaknys. Tada pagal Teorema̧ 1.6 egzistuoja lygiai d tokiu̧ kūnu̧ izomorfizmu̧ τ_{j} : K (u) → L (v_{j}) , kad σ generuoja τ_{j} ir τ_{j} (u) = v_{j}. Iš Teoremos 1.5 turime, kad [K (u) : K] = d > 1. Tada pagal Teorema̧ 1.8 gauname, kad [F : K (u)] = \frac{[F:K]}{[K(u):K]} = \frac{m}{d} < m. Turime, kad kūnas F yra polinomo f skaidinio kūnas virš K (u) ir su visais 1 ≤ j ≤ d kūnas E yra polinomo σ_{x} (f) skaidinio kūnas virš L (v_{j}) . Pagal indukcijos prielaida̧ turime, kad su visais 1 ≤ j ≤ d egzistuoja lygiai \frac{m}{d} = [F : K (u)] izomorfizmu̧ ω : F → E, kuriuos generuoja τ_{j}. Iš čia turime, kad egzistuoja lygiai d · \frac{m}{d} = m = [F : K] izomorfizmu̧, kuriuos generuoja σ.

I̧rodyta.

Dabar i̧rodysime norima̧ teorema̧.

Teorema 6.7 Tegu F/K yra kūno plėtinys. Tada teiginiai yra ekvivalentūs:

(1) F/K yra baigtinis Galua plėtinys.

(2) F/K yra baigtinis, normalusis, separabilusis plėtinys.

(3) F yra separabilaus polinomo skaidinio kūnas virš K.

\underline{I̧rodymas}. (1) ⇒ (2) : tai Išvada 5.6.

(2) ⇒ (3) : Tegu {v_{1}, ..., v_{n}} yra kūno F bazė virš K ( plėtinys F/K yra baigtinis). Tegu f_{i} ∈ K [x] yra minimalusis v_{i} polinomas virš K , čia 1 ≤ i ≤ n.

Plėtinys F/K yra separabilusis, todėl visi f_{i} yra separabilūs virš K. Plėtinys F/K yra normalusis, todėl F yra separabilaus polinomo f = f_{1} ⋯ f_{n} skaidinio kūnas, nes visos polinomu̧ f_{i} šaknys, o taip pat ir polinomo f šaknys, yra kūne F.

(3) ⇒ (1) : Tegu F yra separabilaus polinomo f ∈ K [x] skaidinio kūnu. Tegu G =Gal(F/K) . Tada G =Gal(F/K′′) , nes F yra taip pat ir polinomo f, kaip polinomo virš K′′, skaidinio kūnas. Tada pagal Teorema̧ 6.6 turime

[F : K] = |Gal (F/K)| = |Gal (F/K′′)| = [F : K′′] .

Gavome, kad K = K′′ ir todėl F/K yra baigtinis Galua plėtinys.

I̧rodyta.

Taigi, nuo šiol i̧ baigtini̧ Galua plėtini̧ galima žiūrėti kaip i̧ separabilaus polinomo skaidinio kūna̧.