KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

1. Kūnu̧ plėtiniai

2. Galua grupės

3. Polinomu̧ Galua grupės

4. Mažos eilės grupiu̧ klasifikacija

5. Fundamentalioji teorema

Norint skaičiuoti sudėtingesnes Galua grupes reikia i̧rodyti pagrindinȩ Galua teorijos teorema̧.

Teorema 5.1 (Fundamentalioji Galua teorijos teorema, I dalis) Tegu F/K yra baigtinio laipsnio Galua plėtinys. Egzistuoja abipus vienareikšmė atitiktis tarp tarpiniu̧ kūnu̧ aibės ir grupės Gal(F/K) pogrupiu̧ aibės, reiškiamos priskirimu E → E′ < Gal(F/K) su visais tarpiniais kūnais E. Su visais tarpiniais kūnais E ⊆ L teisinga [L : E] = [E′ : L′] .

Pastebėsime, kad pagal Teorema̧ 2.4 , norint gauti norima̧ atitikti̧, pakanka i̧rodyti, kad su kiekvienu tarpiniu kūnu E teisinga [E′′ : E] = 1 ir su kiekvienu pogrupiu H <Gal(F/K) teisinga [H′′ : H] = 1. Pradėsime nuo nelygybiu̧ tarp šiu̧ laipsniu̧.

Lema 5.2 Tegu F/K yra baigtinio laipsnio Galua plėtinys. Su visais pogrupiais H < J <Gal(F/K) teisinga nelygybė [H′ : J′] ≤ [J : H] .

\underline{I̧rodymas.} Tegu n = [J : H] ir turime n + 1 elementa̧ u_{1}, ..., u_{n+1} ∈ H′. Norime parodyti, kad šie elementai yra tiesiškai priklausomi virš J′. Neapribojant bendrumo, galima tarti, kad u_{i} ≠ 0 su visais i = 1, ..., n + 1, nes priešingu atveju sistema u_{1}, ..., u_{n+1} būtu̧ tiesiškai priklausoma jau ir be i̧rodymo.

Tegu grupės J visi kairieji sluoksniai pogrupio H atžvilgiu yra: H, τ_{2}H, ..., τ_{n}H ir tegu τ_{1} =id_{F} . Nagrinėkime n lygčiu̧ su n+1 nežinomaisiais homogeninȩ tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema̧

\begin{matrix}τ_{1} (u_{1}) x_{1} + ⋯ + τ_{1} (u_{n+1}) x_{n+1} = 0 \\ τ_{2} (u_{1}) x_{1} + ⋯ + τ_{2} (u_{n+1}) x_{n+1} = 0 \\ ⋯ \\ τ_{n} (u_{1}) x_{1} + ⋯ + τ_{n} (u_{n+1}) x_{n+1} = 0 \end{matrix}  (1)

Ši sistema visada turi nenulini̧ sprendini̧ kūne H′ . Pastebėsime, kad norint i̧rodyti lema̧, reikia parodyti, kad egzistuoja nenulinis sistemos sprendinys kūne J′. Tikrai, kiekvienas toks sprendinys x_{1} = c_{1}, ..., x_{n+1} = c_{n+1} tenktu̧ pirma̧ja̧ sistemos lygti̧ : τ_{1} (u_{1}) c_{1} + ⋯ + τ_{1} (u_{n+1}) c_{n+1} = u_{1}c_{1} + ⋯ + u_{n+1}c_{n+1} = 0, o tai ir reikštu̧, kad sistema u_{1}, ..., u_{n+1} yra tiesiškai priklausoma.

Tegu x_{1} = c_{1}, ..., x_{n+1} = c_{n+1} yra mažiausiai turintis nenuliniu̧ c_{j} nenulinis sistemos (1) sprendinys. Neapribojant bendrumo, galima tarti, kad c_{1}, ..., c_{r} yra nelygūs nuliui, o c_{r+1} = ⋯ = c_{n+1} = 0. Beto, tegu c_{1} = 1.

Su kiekvienu σ ∈ J turime, kad kairieji sluoksniai στ_{1}H, σ τ_{2}H, ..., στ_{n}H sudaro visu̧ kairiu̧ju̧ sluoksniu̧ sistema̧, nes jeigu στ_{i}H = σ τ_{j}H , tai στ_{i} = σ τ_{j}h ⇒ τ_{i} = τ_{j}h ir todėl būtu̧ τ_{i}H = τ_{j}H. Bet tai yra teisinga tik tada, kai i = j. Taigi, {H, τ_{2}H, ..., τ_{n}H} = {στ_{1}H, στ_{2}H, ..., στ_{n}H} su kiekvienu σ ∈ J. Todėl su kiekvienu 1 ≤ i ≤ n egzistuoja toks 1 ≤ k_{i} ≤ n, kad στ_{i}H = τ_{k_{i}}H, t.y. στ_{i} ∈ τ_{k_{i}}H. Gavome, kad su kiekvienu 1 ≤ j ≤ n + 1 ir u_{j} ∈ H′ turime στ_{i} (u_{j}) = τ_{k_{i}}h (u_{j}) = τ_{k_{i}} (u_{j}) , čia h ∈ H.

Su kiekvienu 1 ≤ i ≤ n iš sistemos (1) turime, kad

0 = σ (τ_{i} (u_{1}) c_{1} + ⋯ + τ_{i} (u_{n+1}) c_{n+1}) = στ_{i} (u_{1}) σ(c_{1})+⋯+στ_{i} (u_{n+1}) σ(c_{n+1}). Gavome, kad elementai x_{1} = σ (c_{1}) = σ (1) = 1, x_{2} = σ (c_{2}) , ..., x_{n+1} = σ (c_{n+1})

yra sistemos

\begin{matrix}τ_{k_{1}} (u_{1}) x_{1} + ⋯ + τ_{k_{1}} (u_{n+1}) x_{n+1} = 0 \\ τ_{k_{2}} (u_{1}) x_{1} + ⋯ + τ_{k_{2}} (u_{n+1}) x_{n+1} = 0 \\ ⋯ \\ τ_{k_{n}} (u_{1}) x_{1} + ⋯ + τ_{k_{n}} (u_{n+1}) x_{n+1} = 0 \end{matrix}  (2)

sprendinys.

Kadangi {τ_{k_{1}}, ..., τ_{k_{n}}} yra pilnoji kairiu̧ju̧ sluoksniu̧ H atžvilgiu sistema, t.y. {τ_{k_{1}}H, ..., τ_{k_{n}}H} = {τ_{1}H, τ_{2}H, ..., τ_{n}H} , tai {τ_{k_{1}}, ..., τ_{k_{n}}} = {τ_{1}, τ_{2}, ..., τ_{n}} . Tai reiškia, kad sistemos (1) ir (2) sutampa ir x_{1} = σ (c_{1}) = σ (1) = 1, x_{2} = σ (c_{2}) , ..., x_{n+1} = σ (c_{n+1}) yra (1) sistemos sprendinys.

Homogeninės sistemos (1) sprendiniu bus taip pat ir x_{1} = c_{1} − σ (c_{1}) = 0, x_{2} = c_{2} − σ (c_{2}) , ..., x_{r} = c_{r} − σ (c_{r}) , x_{r+1} = c_{r+1} − σ (c_{r+1}) = 0, ..., x_{n} = c_{n} − σ (c_{n}) = 0. Šiame sprendinyje yra mažiau negu r nenuliniu̧ skaičiu̧, todėl jis turėtu̧ būti nuliniu sprendiniu: x_{1} = ⋯ = x_{n} = 0, t.y. su visais 1 ≤ i ≤ n + 1 teisinga σ (c_{i}) = c_{i}. Kitais žodžiais sakant, c_{1}, ..., c_{n+1} ∈ J′ ir todėl sistema {u_{1}, ..., u_{n+1}} yra tiesiškai priklausoma virš J′.

I̧rodyta.

\underline{Teoremos 5.1 i̧rodymas.} Norint gauti abipus vienareikšmȩ atitikti̧ tarp tarpiniu̧ kūnu̧ ir grupės Gal(F/K) pogrupiu̧ pagal Teorema̧ 2.4 pakanka parodyti, kad visi tarpiniai kūnai ir visi pogrupiai yra uždari.

Tegu E yra tarpinis kūnas. Pagal Teigini̧ (6) turime, kad E ⊆ E′′. Bet plėtinys F/K yra Galua plėtinys, K = K′′, todėl pagal Lemas 3.4 ir 5.2 turime, kad [E′′ : K] ≥ [E : K] ≥ [K′ : E′] ≥ [E′′ : K′′] = [E′′ : K] . Iš čia pagal Teorema̧ 1.8

turime [E′′ : E] = \frac{[E′′ : K]}{[E : K]} = 1 ir todėl E′′ = E, t.y. E yra uždaras.

Tegu dabar H < Gal(F/K) . Iš Teiginiu̧ (1) , (3) ir (6) turime, kad ⟨ id_{F} ⟩ yra uždaras ir H < H′′. Pagal Lemas 3.4 ir 5.2 turime, kad [H′′ : ⟨ id_{F} ⟩] ≥ [H : ⟨ id_{F} ⟩] ≥ [⟨ id_{F} ⟩′ : H′] ≥ [H′′ : ⟨ id_{F} ⟩′′] = [H′′ : ⟨ id_{F} ⟩] . Iš čia pagal La-

granžo teorema̧ turime [H′′ : H] = \frac{[H′′ : ⟨ id_{F} ⟩]}{[H : ⟨ id_{F} ⟩]} = 1 ir todėl H′′ = H, t.y. H yra

uždaras.

Pagaliau, su bet kuriais tarpiniais kūnais L ⊆ E turime, kad [E : L] ≥ [L′ : E′] ≥ [E′′ : L′′] = [E : L] ir todėl [E : L] = [L′ : E′] .

I̧rodyta.

Iš teoremos mes matome, kad, norint tirti Galua plėtinio Galua grupȩ, reikia mokėti kiekvienam tarpiniam kūnui priskirti plėtinio Galua grupės pogrupi̧. Šis priskirimas palengvina taip pat ir polinomo Galua grupės radima̧.

Pavyzdys. Rasime kūno F = Q (i, \sqrt{2}) Galua grupȩ virš Q ir visus plėtinio F/Q tarpinius kūnus. Aišku, kad x^{2} + 1 yra minimalusis i polinomas, o x^{2} − 2 yra minimalusis \sqrt{2} polinomas. Iš čia turime, kad kūnas F yra polinomo f (x) = (x^{2} + 1) (x^{2} − 2) = x^{4} − x^{2} − 2 skaidymo kūnas ir todėl Gal(F/Q) yra polinomo f (x) Galua grupė.

Kiekvienas grupės Gal(F/Q) elementas Θ yra kūno F automorfizmas virš Q ir todėl yra polinomo f (x) šaknu̧ \sqrt{2}, −\sqrt{2}, i ir −i keitinys. Galimi 4 variantai: Θ (\sqrt{2}) = ±\sqrt{2} ; Θ (i) = ±i.

1) Θ_{1} (\sqrt{2}) = \sqrt{2} ; Θ_{1} (i) = i.

2) Θ_{2} (\sqrt{2}) = \sqrt{2} ; Θ_{2} (i) = −i.

3) Θ_{3} (\sqrt{2}) = −\sqrt{2} ; Θ_{3} (i) = i.

4) Θ_{4} (\sqrt{2}) = −\sqrt{2} ; Θ_{4} (i) = −i. Pastebėsime, kad Θ_{4} = Θ_{3}Θ_{2}.

Taigi, grupės Gal(F/Q) veiksmu̧ lentelė yra

∘ Θ_{1} Θ_{2} Θ_{3} Θ_{4}
Θ_{1} Θ_{1} Θ_{2} Θ_{3} Θ_{4}
Θ_{2} Θ_{2} Θ_{1} Θ_{4} Θ_{3}
Θ_{3} Θ_{3} Θ_{4} Θ_{1} Θ_{2}
Θ_{4} Θ_{4} Θ_{3} Θ_{2} Θ_{1}

Matome, kad ši lentelė sutampa su grupės Z_{2} × Z_{2} veiksmu̧ lentele:

\begin{matrix}+ & (0, 0) & (0, 1) & (1, 0) & (1, 1) \\ (0, 0) & (0, 0) & (0, 1) & (1, 0) & (1, 1) \\ (0, 1) & (0, 1) & (0, 0) & (1, 1) & (1, 0) \\ (1, 0) & (1, 0) & (1, 1) & (0, 0) & (0, 1) \\ (1, 1) & (1, 0) & (1, 0) & (0, 1) & (0, 0) \end{matrix}

Taigi Gal(F/Q) ≈ Z_{2} × Z_{2}. Grupėje Gal(F/Q) yra trys netrivialūs pogrupiai: A = {Θ_{1}, Θ_{2}} = ⟨Θ_{2}⟩ , B = {Θ_{1}, Θ_{3}} = ⟨Θ_{3}⟩ ir C = {Θ_{1}, Θ_{4}} = ⟨Θ_{4}⟩ ir todėl A′ = Q (\sqrt{2}) , B′ = Q (i) ir C′ = Q (\sqrt{2} · i) . Pagal Fundamentaliosios teoremos I

dali̧ tai ir yra visi plėtinio Q (i, \sqrt{2}) /Q tarpiniai kūnai. Visi šie tarpiniai kūnai yra

Galua kūnai virš Q: A′′ = (Q (\sqrt{2}))′ = Gal(Q (\sqrt{2}) /Q) = A, B′′ = (Q (i))′ =

Gal(Q (i) /Q) = B ir C′′ = (Q (\sqrt{2} · i))′ = Gal(Q (\sqrt{2} · i) /Q) = C. Pastebėsime, kad visos grupės A, B, C yra izomorfinės vienintėlei grupei iš 2 elementu̧ Z_{2}.

Kita išvada yra ta, kad su kiekvienu Galua plėtiniu F/K ir kiekvienu tarpiniu kūnu E teisinga E =Gal(F/E)′ . Bet ka̧ galėtume pasakyti apie Gal(E/K)? Sunkumai kyla jau ir todėl, kad kūnas E gali nebūti kūno K Galua plėtinys. Pavyzdžiui, nagrinėjant kūnu̧ grandinȩ Q ⊂ Q ( ^{3} \sqrt{5}) ⊂ F, čia F − polinomo x^{3} −

5 ∈ Q [x] skaidymo kūnas, matome, kad Q ( ^{3} \sqrt{5}) /Q nėra Galua plėtinys, nes

(Gal (Q ( ^{3} \sqrt{5}) /Q))′ = (⟨ id_{Q(^{3} \sqrt{5})} ⟩ )′ = Q ( ^{3} \sqrt{5}) ≠ Q. Antroji Fundamentaliosios teoremos dalis yra skirta kaip tik šiai problemai sprȩsti.

Tegu E yra plėtinio F/K tarpinis kūnas. Sakysime, kad E yra stabilus F/K atžvilgiu, jeigu su visais σ ∈Gal(F/K) teisinga σ (E) ⊆ E. Tai tarp kitko reiškia ir tai, kad apribojus σ apibrėžimo sriti̧ kūnu E gauname E automorfizma̧, kurio atvirkštinis yra σ^{−1} siaurinys kūne E.

Lema 5.3 Tegu F/K yra kūno plėtinys, o E - stabilus tarpinis kūnas. Egzistuoja homomorfizmas Ψ :Gal(F/K) →Gal(E/K) , kurio ker Ψ = E′ =Gal(F/E) .

\underline{I̧rodymas.} Su visais σ ∈Gal(F/K) apibrėžkime Ψ (σ) = σ |_{E} . Kūnas E yra stabilus, todėl Ψ (σ) ∈Gal(E/F) . Aišku, kad taip apibrėžtas Ψ yra homomorfizmas( patikrinkit!). Pagaliau, σ ∈ ker (Ψ) ⇔ σ|_{E} =id_{E} ⇔ σ ∈ E′.

I̧rodyta.

Lema 5.4 Tegu F/K yra kūno plėtinys.

1. Jeigu E yra stabilus tarpinis kūnas, tai E′ yra normalusis Gal(F/K) pogrupis E′ ⊲ Gal(F/K) .

2. Jeigu H ⊲ Gal(F/K) , tai H′ yra stabilus tarpinis kūnas.

\underline{I̧rodimas.} 1. Iš Lemos 5.3 mes žinome, kad E′ = ker Ψ, o kiekvieno homomorfizmo branduolys yra normalusis pogrupis.

2. Tegu σ ∈ Gal(F/K) ir u ∈ H′. Tada su visais τ ∈ H turime σ^{−1}τσ ∈ H ir todėl σ^{−1}τσ (u) = u. Iš čia τ (σ (u)) = σ (u) ir todėl σ (u) ∈ H′, t.y. H′ yra stabilus tarpinis kūnas.

I̧rodyta.

Teorema 5.5 ( Fundamentalioji Galua teorijos teorema, II dalis) Tegu F/K yra baigtinio laipsnio Galua plėtinys. Tada F yra Galua kūnas virš bet kurio tarpinio kūno E. Savo ruožtu, kūnas E yra Galua kūnas virš K tada ir tik tada, kada E′ ⊲ Gal(F/K) . Šiuo atveju Gal(E/K) ≈ Gal(F/K) /E′.

\underline{I̧rodymas}. Iš Fundamentaliosios Teoremos I dalies mes žinome, kad kiekvienas tarpinis kūnas E yra uždaras, todėl F yra Galua kūnas virš E. Jeigu E′ ⊲ Gal(F/K) , tai E = E′′ yra stabilus tarpinis kūnas( Lema 5.4, 2). Dabar belieka parodyti, kad grupės Gal(E/K) nekintantis kūnas yra K : (Gal (E/K))′ = K. Tegu u ∈ E ir u ∉ K. Tada egzistuoja toks σ ∈ Gal(F/K) , kad σ (u) ≠ u ir todėl Ψ (σ) (u) ≠ u, čia Ψ :Gal(F/K) →Gal(E/K) homomorfizmas iš Lemos 5.3 ir Ψ (σ) ∈ Gal(E/K) . Gavome, kad grupės Gal(E/K) nekintantis kūnas yra K ir todėl E yra Galua kūnas virš K.

Atvirkščiai, jeigu E yra Galua kūnas virš K, tai pagal Lema̧ 5.4 pakanka parodyti, kad E yra stabilus. Tegu u ∈ E. Elementas u yra algebrinis, nes [E : K] yra baigtinis ( Teorema 1.7) ir tegu u minimalusis polinomas yra p ∈ K [x] . Tegu u = u_{1}, u_{2}, ..., u_{r} yra skirtingos polinomo p šaknys kūne E. Aišku, kad 1 ≤ r ≤ n = deg (p) ir pagal Teorema̧ 2.2 kiekvienas τ ∈Gal(E/K) yra šaknu̧ u_{1}, u_{2}, ..., u_{r} keitinys. Todėl unitaraus polinomo g (x) = (x − u_{1}) (x − u_{2}) ⋯ (x − u_{r}) koeficientai yra stabilūs su kiekvienu τ ∈ Gal(E/K) , taigi g (x) ∈ K [x] . Turime, kad g (u) = 0 ⇒ g ∈ ker (ϕ_{u}) = ⟨p⟩ , taigi deg (g) ≤ deg (p) . Bet abu polinomai yra unitarūs, todėl g = p ir beto polinomo p visos šaknys yra skirtingos ir yra kūno E elementais. Iš čia aišku, kad su visais σ ∈ Gal(F/K) σ (u) yra polinomo p šaknis, taigi σ (u) ∈ E. Tai ir rodo, kad E yra stabilus ir todėl E′ ⊲ Gal(F/K) .

Pagaliau, jeigu E yra Galua kūnas virš K, tai parodysime, kad Gal(E/K) ≈ Gal(F/K) /E′ . Iš Lemos 5.3 ir Izomorfizmo Teoremos grupėms pakanka parodyti, kad Ψ yra siurjekcija. Iš Fundamentaliosios Teoremos I dalies mes žinome |Gal (F/K) /E′| = [Gal (F/K) : E′] = [E : K] = |Gal (E/K)| , taigi Im(Ψ) = Gal(E/K) ir todėl Gal(E/K) ≈ Gal(F/K) /E′.

I̧rodyta.

Išvada 5.6 Tegu F/K yra baigtinis Galua plėtinys, o p ∈ K [x] yra neredukuojamas polinomas. Jeigu kūne F yra nors viena polinomo p šaknis, tai visos polinomo p šaknys yra skirtingos ir yra kūne F.

Ši išvada pateisina apibrėžima̧.

Apibrėžimas 5.7 Tegu K yra kūnas. Polinomas f ∈ K [x] vadinamas separabiliuoju, jeigu visu̧ jo neredukuojami daugikliai turi skirtingas šaknis, kurios yra polinomo f skaidymo kūne. Kūnas K vadinamas tobuluoju, jeigu visi žiedo K [x] polinomai yra separabilieji. Algebrinis plėtinys F/K vadinamas separabiliuoju, jeigu visu̧ kūno F elementu̧ minimalieji polinomai yra separabilieji. Algebrinis plėtinys F/K vadinamas normaliuoju, jeigu su kiekvienu u ∈ F, kūne F yra elemento u minimalaus polinomo skaidymo kūnas.

Taigi, jeigu f ∈ K [x] yra neredukuojamas n−ojo laipsnio polinomas, turintis šakni̧ kūne F, tai

\begin{matrix}F/K - separabilusis & ⇒ & fšaknys yra skirtingos \\ F/K - normalusis & ⇒ & F yra f skaidinio kūnas \end{matrix} \} ⇒ f turi n skirtingu̧ šaknu̧ .

Pavyzdžiai. 1. Kūnas Q( ^{3} \sqrt{2}) yra separabilusis, bet ne normalusis virš Q,

nes Q( ^{3} \sqrt{2}) nėra polinomo x^{3} − 2 skaidinio kūnas.

2. Kūnas GF (p) (u) yra normalusis, bet ne separabilusis virš GF (p) , nes tai yra neseparabilaus polinomo x^{p} − u^{p} skaidinio kūnas.

Dabar galime performuluoti Išvada̧ 5.6: kiekvienas baigtinis Galua plėtinys yra normalusis separabilusis plėtinys. Kitame skyrelyje mes parodysime, kad teisingas ir atvirkščias teiginys.

Baigdami ši̧ skyreli̧, gri̧žkime prie polinomo x^{3} − 5 skaidymo kūno virš Q.

Pavyzdys. Naudodamiesi Fundamentalia̧ja Galua teorijos teorema, mes aprašysime visus plėtinio F/Q tarpinius kūnus, čia F − polinomo x^{3} − 5 skaidymo kūnas. Naudosime aukščiau apibrėžtus žymenis. Išvardinsime visus grupės S_{3} = ⟨σ, τ⟩ pogrupius. Visu̧ pirma tai alternuojanti grupė A_{3} = ⟨σ⟩ . Tai normalusis pogrupis, nes τστ^{−1} = σ^{−1} ∈ A_{3}. Kiti grupės pogrupiai - tai 2 -osio eilės ciklinės grupės P_{1} = ⟨τ⟩ , P_{2} = ⟨στ⟩ ir P_{3} = ⟨σ^{2}τ⟩ . Pagal Fundamentalia̧ja̧ Galua teorijos teorema̧ egzistuoja lygiai keturi tarpiniai kūnai, virš kuriu̧ šie pogrupiai yra pastovūs. Iš visu̧ šiu̧ tarpiniu̧ kūnu̧ tik A′_{3} yra Galua kūnas virš Q ir plėtinio A′_{3}/Q laipsnis turi būti lygus [S_{3} : A_{3}] = 2. Grupės S_{3} pogrupius ir juos atitinkančius tarpinius kūnus pavaizduosime diagramomis:

\begin{aligned}& S_{3} \\ & ↙↘ \\ A_{3} & ↙ & ↓ & ↘ \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ ↓ & P_{1} & P_{2} & P_{3} \\ ↘ & ↓ & ↙ & ↙ \\ ⟨ & (id_{S_{3}}) & ⟩ \end{aligned}  \begin{aligned}& F \\ ↙ & ↓ & ↘ & ↘ \\ ↓ & Q ( ^{3} \sqrt{5}) & Q \binom{}{ς̄} & Q (ς) \\ ↓ & ↘ & ↓ & ↙ \\ Q (Δ) & & ↘↓↙ \\ ↘ & & ↙ \\ & Q \end{aligned}

čia Δ = ( ^{3} \sqrt{5} − ς) ( ^{3} \sqrt{5} − ς̄) (ς − ς̄) . Iš visu̧ tarpiniu̧ kūnu̧ tik Q (Δ) yra Galua

kūnas virš Q ir Gal(Q (Δ) /Q) = ⟨τ|_{Q(Δ)}⟩ ≈ Z_{2}.