KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

1. Kūnu̧ plėtiniai

2. Galua grupės

3. Polinomu̧ Galua grupės

4. Mažos eilės grupiu̧ klasifikacija

Pradėkime nuo grupiu̧, kuriu̧ eilė neviršija 15, lentelės.

Eilė  Komutatyvi grupė  Nekomutatyvi grupė
2  Z_{2}
3  Z_{3}
4  Z_{4}, Z_{2} × Z_{2}
5  Z_{5}
6 Z_{6} S_{3}
7  Z_{7}
8 Z_{8}, Z_{4} × Z_{2}, Z_{2} × Z_{2} × Z_{2} D_{4} , Q
9  Z_{9}, Z_{3} × Z_{3}
10 Z_{10} D_{5}
11  Z_{11}
12 Z_{12}, Z_{6} × Z_{2} A_{4} , D_{6} , Z_{3} ⋈ Z_{4}
13  Z_{13}
14 Z_{14} D_{7}
15  Z_{15}

Mums yra gerai paži̧stamos Abelio grupės Z_{n}. Tai ciklinės adicinės grupės generuotos elementu 1 : Z_{n} = ⟨1⟩ . Kai n yra pirminis skaičius, tai egzistuoja tik viena n- osios eilės grupė - būtent Z_{n}.

Parodysime, kad grupės, kuriu̧ eilė yra lygi p^{2}, čia p− pirminis skaičius, yra Abelio grupės.

Grupės G elementas z vadinamas centriniu, jeigu zg = gz su visais g ∈ G. Visu̧ grupės G centriniu̧ elementu̧ aibė Z (G) yra pogrupis, vadinamas grupės G centru. Viena iš svarbiausiu̧ centro savybiu̧ yra ta, kad grupės G, kurios eilė yra p^{m} , čia p− pirminis, centras Z (G) yra netrivialus, t.y. jame yra nevienetiniai elementai.

Teiginys 4.1 Tegu G− nekomutatyvioji grupė. Tada faktorgrupė G/Z (G) ne ciklinė.

\underline{I̧rodymas}. Sakykime priešingai, G/Z (G) = ⟨aZ (G)⟩ − ciklinė grupė. Tada bet kuris grupės G elementas reiškiamas a^{k}z, čia z ∈ Z (G) . Turime, kad visi tokie elementai yra perstatomi:(a^{k}z_{1}) (a^{l}z_{2}) = a^{k}z_{1}a^{l}z_{2} = a^{k}a^{l}z_{2}z_{1} = a^{l}a^{k}z_{2}z_{1} =

a^{l}z_{2}a^{k}z_{1} = (a^{l}z_{2}) (a^{k}z_{1}) . Bet tai prieštarauja prielaidai apie grupės G nekomutatyvuma̧.

I̧rodyta.

Teiginys 4.2 Grupė G, turinti p^{2} elementu̧, yra Abelio grupė.

\underline{I̧rodymas}. Minėjome, kad grupės G centras Z (G) yra netrivialus, todėl arba |Z (G)| = p, arba |Z (G)| = p^{2}. Pirmuoju atveju faktorgrupėje G/Z (G) yra p elementu̧ ir todėl ji yra ciklinė grupė, antruoju atveju faktorgrupėje G/Z (G) yra vienas elementas, t.y. grupė irgi yra ciklinė. I̧rodymui baigti pakanka pasinaudoti Teiginiu 4.1.

I̧rodyta.

Teorema 4.3 Tegu p− pirminis skaičius.

(1) Egzistuoja tik dvi neizomorfinės grupės, turinčios p^{2} elementu̧:

Z_{p^{2}} ir Z_{p} × Z_{p}.

(2) Egzistuoja penkios grupės, turinčios p^{3} elementu̧: trys Abelio grupės

Z_{p^{3}} , Z_{p^{2}} × Z_{p} ir ir Z_{p} × Z_{p} × Z_{p}

ir dvi nekomutatyvios grupės:

kai p = 2, tai

diedro grupė D_{4} = (a, b|a^{4} = 1, b^{2} = 1, bab = a^{−1}) ,
kvaternionu̧ grupė Q = (a, b|a^{4} = 1, b^{2} = a, b^{−1}ab = a^{−1}) ;

kai p > 2, tai

G_{1} = (a, b|a^{p^{2}} = 1, b^{p} = 1, b^{−1}ab = a^{1+p})′
G_{2} = (a, b, c|a^{p} = 1, b^{p} = 1, c^{p} = 1, [a, b] = c, [a, c] = [b, c] = 1) .

Dabar apsistokime ties grupėmis, turinčiomis pq, čia p ir q− pirminiai, elementu̧. Pasinaudosime klasikine L.Silovo teorema.

Teorema 4.4 (Silov) Tegu G− baigtinė grupė, kurios eilė |G| dalijasi iš p^{n} ir nesidalija iš p^{n+1}, čia p− pirminis.

(1) Su kiekvienu r ≤ n egzistuoja grupės G pogrupis, kurio eilė yra p^{r}.

(2) Pogrupiu̧, kuriu̧ eilė yra p^{n} ( šie pogrupiai vadinami Silovo p− pogrupiais), skaičius lygsta 1(mod p) ir dalija |G| .

Nagrinėkime grupȩ G, kurios eilė |G| = pq, čia p ir q− pirminiai ir p < q. Silovo p− ir q− grupės G pogrupiai, t.y pogrupiai, kuriu̧ eilės yra p ir q, yra cikliniai. Tegu (a) ir (b) yra šie Silovo pogrupiai: |(a)| = p ir |(b)| = q. Iš Silovo teoremos matome, kad Silovo q− pogrupiu̧ skaičius yra lygus 1+kq ir yra pq daliklis. Taigi, Silovo q− pogrupis yra vienintėlis − tai pogrupis (b) . Tai normalusis pogrupis. Iš Silovo teoremos taip pat matome, kad Silovo p− pogrupiu̧ skaičius yra lygus 1 + kp ir yra q daliklis. Šiuo atveju galimi du variantai:

1. (i) Silovo p− pogrupis (a) yra vienintėlis. Tada jis yra normalusis ir G = (ab) , t.y. G ≈ Z_{pq}.

(ii) Yra q Silovo p− pogrupiu̧. Tai teisinga tik tada, kada q ≡ 1 (mod p) . Kadangi (b) normalusis pogrupis, tai a^{−1}ba ∈ (b) , t.y. a^{−1}ba = b^{r} :

α) jeigu r = 1, tai G = (ab) ir G ≈ Z_{pq}.

β) jeigu r ≠ 1, tai r^{p} ≡ 1 (mod q), r ≢ 1 (mod q) ir sandaugos formulė a^{x}b^{y} · a^{z}b^{t} = a^{x+z}b^{yr^{z}+t} apibrėžia nekomutatyvia̧ pq eilės grupȩ G.

Gavome, kad yra galimi tik du pq eilės grupiu̧ tipai: tai komutatyvi grupė Z_{pq} ir nekomutatyvi grupė, kai q ≡ 1 (mod p) .

Pavyzdys. Tegu p = 2, q = 3. Turime 3 ≡ 1 (mod 2) . Gerai mums žinomos 6-os eilės grupės: komutatyvi Z_{6} ir nekomutatyvi S_{3}, ir sudaro visa̧ grupiu̧, kuriu̧ eilė lygi 6, sa̧raša̧.

Dabar aptarkime grupes, turinčias p^{2}q elementu̧, čia p, q− pirminiai skaičiai. Pradėsime apibrėžimu.

Apibrėžimas 4.5 Tegu G− grupė, o A ir B − tokie jos pogrupiai, kad

(i) A ir B yra normalieji G pogrupiai; (ii) A ∩ B = ⟨e⟩; (iii) A · B = G. Tada grupȩ G vadina pogrupiu̧ A ir B vidine tiesiogine sandauga: G = A ▷◁ B

Pavyzdys. Simetrinė grupė S_{3} yra savo normaliu̧ju̧ pogrupiu̧ B = {id, (12)} ir A = {id, (123) , (132)} vidinė tiesioginė sandauga : G = A ▷◁ B.

Teorema 4.6 Tegu G− grupė, turinti p^{2}q elementu̧, čia p ir q− pirminiai. Tada G yra savo Silovo pogrupiu̧ vidinė tiesioginė sandauga.

Teorema 4.7 12− osios eilės nekomutatyvioji grupė yra izomorfinė arba A_{4}, arba D_{6}, arba Z_{3} ▷◁ Z_{4}.

\underline{I̧rodymas.} Tegu G− grupė ir |G| = 12. Silovo 2− pogrupis yra izomofinis arba Z_{4}, arba Z_{2} × Z_{2} , o Silovo 3− pogrupis yra izomorfinis Z_{3}. Išnagrinėkime visas galimas vidines tisiogines šiu̧ pogrupiu̧ sandaugas.

(i) Z_{4} ▷◁ Z_{3} yra izomorfinė Z_{4} × Z_{3} ≈ Z_{12}. (ii) (Z_{2} × Z_{2}) ▷◁ Z_{3} yra izomorfinė A_{4}. (iii) Z_{3} ▷◁ (Z_{2} × Z_{2}) yra izomorfinė D_{6}. (iv) Z_{3} ▷◁ Z_{4} yra taip vadinama ”T ” grupė. I̧rodyta.

Kai kuriu̧ baigtiniu̧ grupiu̧ veiksmu̧ lentelės. D_{4}: · a b c d e f g h a a b c d e f g h b b c d a h e f g c c d a b g h e f d d a b c f g h e e e f g h a b c d f f g h e d a b c g g d e f c d a b h h e f g b c d a Q: · a b c d e f g h a a b c d e f g h b b c d a h e f g c c d a b g h e f d d a b c f g h e e e f g h c d a b f f g h e b c d a g g h e f a b c d h h e f g d a b c

D_{5}: · a b c d e f g h i j a a b c d e f g h i j b b c d e a j f g h i c c d e a b i j f g h d d e a b c h i j f g e e a b c d g h i j k f f g h i j a b c d e g g h i j f e a b c d h h i j f g d e a b c i i j f g h c d e a b j j f g h i b c d e a

D_{6}: · a b c d e f g h i j k l a a b c d e f g h i j k l b b c d e f a l g h i j k c c d e f a b k l g h i j d d e f a b c j k l g h i e e f a b c d i j k l g h f f a b c d e h i j k l g g g h i j k l a b c d e f h h i j k l g f a b c d e i i j k l g h e f a b c d j j k l g h i d e f a b c k k l g h i j c d e f a b l l g h i j k b c d e f a

Z_{3} ▷◁ Z_{4} : · a b c d e f g h i j k l a a b c d e f g h i j k l b b c d e f a l g h i j k c c d e f a b k l g h i j d d e f a b c j k l g h i e e f a b c d i j k l g h f f a b c d e h i j k l g g g h i j k l d e f a b c h h i j k l g c d e f a b i i j k l g h b c d e f a j j k l g h i a b c d e f k k l g h i j f a b c d e l l g h i j k e f a b c d D_{7} : · a b c d e f g h i j k l m n a a b c d e f g h i j k l m n b b c d e f g a n h i j k l m c c d e f g a b m n h i j k l d d e f g a b c l m n h i j k e e f g a b c d k l m n h i j f f g a b c d e j k l m n h i g g a b c d e f i j k l m n h h h i j k l m n a b c d e f g i i j k l m n h g a b c d e f j j k l m n h i f g a b c d e k k l m n h i j e f g a b c d l l m n h i j k d e f g a b c m m n h i j k l c d e f g a b n n h i j k l m b c d e f g a

Visu̧ grupiu̧, kuriu̧ eilė neviršija 15, veiksmo lenteles galima rasti tinklo adresu: http://math.ucsd.edu/˜ jwavrik/Groups15/Groups15.html