KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

1. Kūnu̧ plėtiniai

2. Galua grupės

3. Polinomu̧ Galua grupės

Kaip ir Galua domėjosi polinomu̧ šaknu̧ radimu, taip ir mes paklausime, kokiuose kūnuose polinomas i̧gyja šaknis. Antrame skyriuje mes nagrinėjome kūno plėtinius, gautus prijungiant neredukuojamo polinomo šakni̧( visi šie plėtiniai yra paprastieji). Dabar mes apibendrinsim šaknies prijungimo veiksma̧ ir kalbėsime apie apie polinomo šaknu̧ prijungima̧, t.y. kalbėsime apie algebrinius plėtinius gaunamus paprastu̧ju̧ plėtiniu̧ pagrindu.

Apibrėžimas 3.1 Tegu K yra kūnas ir polinomo f (x) ∈ K [x] laipsnis yra n. Kūno plėtinys F/K vadinamas polinomo f skaidymo kūnu virš K, jeidu egzistuoja tokie elementai r_{1}, ..., r_{n} ∈ F, kad f (x) = a (x − r_{1}) ⋯ (x − r_{n}) su a ∈ K ir F = K (r_{1}, ..., r_{n}) .

Teorema 3.2 Tegu polinomo f ∈ K [x] laipsnis yra n > 0. Tada egzistuoja polinomo f skaidymo kūnas F virš K ir [F : K] ≤ n!.

\underline{I̧rodymas}. Indukcija pagal n. Jeigu n = 1, tai pats kūnas K yra polinomo f skaidymo kūnas virš K. Tegu teorema yra teisinga su visais kūnais L ⊃ K ir su bet kokiu polinomu g ∈ L [x] , kurio laipsnis yra mažesnis už n. Tegu dabar p ∈ K [x] yra polinomo f neredukuojamas daliklis ir r_{1} yra polinomo p šaknis. Tada f kaip polinomas iš K (r_{1}) [x] turi šakni̧ kūne K (r_{1}) ir f = (x − r_{1}) g su g ∈ K (r_{1}) [x] ir deg g = n−1. Tada pagal indukcijos prielaida̧ egzistuoja toks polinomo g skaidymo kūnas F/K (r_{1}) virš K (r_{1}) , kad [F : K (r_{1})] ≤ (n − 1)!. Tada nesunku patikrinti( ir tai paliekame padaryti skaitytojams), kad F yra polinomo f skaidymo kūnas. Beto, pagal Teoremas 1.8 ir 1.5 turime, kad [F : K] = [F : K (r_{1})] [K (r_{1}) : K] ≤ (n − 1)!n = n!.

I̧rodyta.

Pastebėsime, kad K (r_{1}, ..., r_{n}) = K (r_{1}) (r_{2}) ⋯ (r_{n}) ir todėl pagal Teorema̧ 1.6 polinomo f skaidymo kūnas yra vienintėlis izomorfizmo atžvilgiu.

Apibrėžimas 3.3 Tegu polinomo f ∈ K [x] laipsnis yra n > 0, o F − polinomo f skaidymo kūnas. Grupė Gal(F/K) vadinama polinomo f Galua grupe virš K.

Pavyzdys. Žinome, kad kompleksiniu̧ skaičiu̧ kūnas C yra polinomo x^{2} + 1 skaidymo kūnas virš R, todėl polinomo x^{2} + 1 Galua grupė virš R yra izomorfinė dvieju̧ elementu̧ grupei Z_{2}. Aišku, kad ir polinomo x^{2} + 5 Galua grupė virš Q yra izomorfinė Z_{2}.

Pavyzdys. Nagrinėkime dabar polinoma̧ f = x^{3} + 5x^{2} + x + 5 virš baigtinio kūno GF_{(3)}. Tada f = x^{3} − 1 = (x − 1) (x^{2} + 1) virš GF_{(3)}. Iš polinomo f skaidinio matome, kad polinomo f skaidymo kūnas virš GF_{(3)} sutampa su neredukuojamo virš GF_{(3)} polinomo p = x^{2} + 1 skaidymo kūnu. Tegu u yra polinomo p šaknis, esanti kūno GF_{(3)} plėtinyje. Tada GF_{(3)} (u) yra polinomo p skaidymo kūnas, nes p = (x − u) (x − u′) ∈ GF_{(3)} (u) [x] , čia u′ ∈ GF_{(3)} (u) . ( Tai teisinga, nes polinomas yra i̧verčio homomorfizmo ϕ_{u} : GF_{(3)} (u) [x] → GF_{(3)} (u) branduolyje ir todėl dalijasi iš branduoli̧ ker ϕ_{u} generuojančio polinomo x − u). Taigi, [GF_{(3)} (u) : GF_{(3)}] = 2 ir todėl grupėje Gal(GF_{(3)} (u) /GF_{(3)}) yra tik du elementai

ir todėl Gal(GF_{(3)} (u) /GF_{(3)}) ≈ Z_{2}.

Prieš pateikiant sudėtingesni̧ pavyzdi̧, i̧rodysime lema̧.

Lema 3.4 Tegu F/K yra baigtinio matavimo plėtinys ir L ⊆ E yra tarpiniai kūnai. Tada [L′ : E′] ≤ [E : L] ir, atskiru atveju, |Gal (F/K)| ≤ [F : K] .

\underline{I̧rodymas}. Indukcija pagal n = [E : L] . Teiginys akivaizdus, kai n = 1. Tegu dabar n > 1 ir su visais j < n lemos teiginys yra teisingas. Parinkime u ∈ E taip, kad u ∉ L. Kadangi [E : L] < ∞, tai u yra algebrinis virš L ( Teorema 1.7) ir u minimaliojo polinomo p ∈ L [x] laipsnis yra k > 1. Pagal Teoremas 1.5 ir 1.8 turime [L (u) : L] = k ir [E : L (u)] = \frac{n}{k} .

Jeigu k < n, tai 1 < \frac{n}{k} < n ir pagal indukcija̧ [L′ : E′] = [L′ : L (u)′] [L (u)′ : E′] ≤ k · \frac{n}{k} = n = [E : L] . Gavome ko siekėme.

Tegu dabar k = n , taigi, E = L (u) . Lemos teiginiui i̧rodyti mums pakanka sukonstruoti injektyvia̧ funkcija̧ tarp grupės L′ pogrupio E′ kairiu̧ju̧ sluoksniu̧ aibės S ir elemento u minimalaus polinomo p ∈ L [x] skirtingu̧ šaknu̧ aibės T. ( Aibėje T yra ne daugiau kaip n elementu̧, nes deg (p) = n.)

Tegu τE′ yra kairysis sluoksnis pogrupio E′ ≤ L′ atžvilgiu. Apibrėžkime funkcija̧ ψ : S → T formule ψ (τE′) = τ (u) . Ši funkcija apibrėžta korektiškai, nes iš τE′ = σE′ turime σ = τρ, čia ρ ∈ E′ . Todėl σ (u) = τρ (u) = τ (u) , nes iš to, kad u ∈ E teisinga ρ (u) = u. Parodysime, kad ψ yra injekcija. Tegu

τ (u) = σ (u) . Pagal Teorema̧ 1.5 su kiekvienu w ∈ E turime, kad w = ∑_{i=0}^{n−1} a_{i}u^{i}, čia

a_{0}, ..., a_{n−1} ∈ L. Tada σ^{−1}τ (w) = ∑_{i=0}^{n−1} a_{i}σ^{−1}τ (u)^{i} = ∑_{i=0}^{n−1} a_{i}u^{i} = w, taigi σ^{−1}τ ∈ E′.

Gavome, kad ψ yra injentyvi funkcija ir todėl [L′ : E′] = |S| ≤ |T | ≤ n = [E : L] . Jeigu, pagaliau, L = K ir E = F, tai turime |Gal (F/K)| ≤ [F : K] . I̧rodyta.

Dabar išnagrinėsime toki̧ pavyzdi̧.

Pavyzdys. Pateiksime polinomo f = x^{3} − 5 ∈ Q [x] skaidymo kūna̧ ir Galua grupȩ. Kūne Q( ^{3} \sqrt{5}) yra polinomo f šaknis, bet šis kūnas nėra polinomo f

skaidymo kūnas, nes jame tik viena polinomo f šaknis. Polinomu̧ žiede Q( ^{3} \sqrt{5}) [x]

turime f = (x − ^{3} \sqrt{5}) (x^{2} + ^{3} \sqrt{5}x + ^{3} \sqrt{25}) ir kvadratinis trinaris x^{2}+ ^{3} \sqrt{5}x+ ^{3} \sqrt{25} yra

needukuojamas virš Q( ^{3} \sqrt{5}) . Tegu ζ = (−1 + i\sqrt{3}) \frac{\sqrt[3]{5}}{2}. Skaičius ζ yra polinomo

f šaknis virš Q, taigi, ζ yra polinomo x^{2} + ^{3} \sqrt{5}x + ^{3} \sqrt{25} šaknis virš Q( ^{3} \sqrt{5}) . Dabar

aišku, kad F =Q( ^{3} \sqrt{5}, ζ) yra polinomo x^{3} − 5 skaidymo kūnas virš Q. Toliau, pa-

gal Teoremas 1.8 ir 1.5, turime [F : Q] = [Q ( ^{3} \sqrt{5}, ζ) : Q ( ^{3} \sqrt{5})] [Q ( ^{3} \sqrt{5}) : Q] = 2 · 3 = 3!

Dabar rasime polinomo f Galua grupȩ. Pagal Teorema̧ 2.2 šios Galua grupės elementai yra polinomo f šaknu̧ ^{3} \sqrt{5}, ζ, ζ̄, čia ζ̄ - kompleksinio skaičiaus ζ jungtinis, keitiniai. Tegu grupės Gal(F/K) elementas τ kompleksiniam skaičiui priskiria jo jungtini̧, o elementas σ cikliškai perstato polinomo šaknis: σ ( ^{3} \sqrt{5}) = ζ, σ (ζ) =

ζ̄, σ \binom{}{ζ̄} = ^{3} \sqrt{5} ir su visais q ∈ Q turime σ (q) = q. Nesunku patikrinti( tai paliekame atlikti skaitytojui), kad σ yra automorfizmas. Automorfizmo σ eilė yra 3, o automorfizmo τ eilė yra 2. Toliau, στ (ζ) = ^{3} \sqrt{5}, bet τσ (ζ) = ζ. Gavome, kad grupė Gal(F/Q) yra nekomutatyvi ir pagaliau pagal Lema̧ 3.4 turime, kad |Gal (F/Q)| ≤ 6 . Vienintėlė nekomutatyvi grupė, kurios eilė neviršija 6 yra keitiniu̧ grupė S_{3}. Taigi, Gal(F/Q) ≈ S_{3}. Iš tikru̧ju̧, grupėje yra 6 elementai: id_{Gal(F/K)}, τ, σ, τ · σ, σ · τ ir σ · σ. Izomorfizma̧ apibrėžime priskirimu ψ :

ψ (id_{Gal(F/K)}) =id_{S_{3}} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} ) , ψ (τ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) = (12) , ψ (σ) =

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} ) = (123) , ψ (τ · σ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} ) = (23) , ψ (σ · τ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) =

(13) , ψ (σ · σ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} ) = (132) .

Norint i̧sitikinti, kad tai izomorfizmas, pakanka palyginti veiksmu̧ lenteles šiose grupėse:

grupėje Gal(F/Q) :

· id τ σ τσ στ σ^{2}
id id τ σ τσ στ σ^{2}
τ τ id τσ σ σ^{2} στ
σ σ στ σ^{2} τ τσ id
τσ τσ σ^{2} στ id σ τ
στ στ σ τ σ^{2} id τσ
σ^{2} σ^{2} τσ id στ τ σ

ir grupėje S_{3} :

∘ id  (12) (123) (23) (13) (132) id  id  (12) (123) (23) (13) (132) (12) (12) id  (23) (123) (132) (13) (123) (123) (13) (132) (12) (23) id (23) (23) (132) (13) id  (123) (12) (13) (13) (123) (12) (132) id  (23) (132) (132) (23) id  (13) (12) (123) .