KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

1. Kūnu̧ plėtiniai

2. Galua grupės

3. Polinomu̧ Galua grupės

4. Mažos eilės grupiu̧ klasifikacija

5. Fundamentalioji teorema

6. Separabilusis ir normalusis plėtinys

7. Klasikiniai brėžimo skriestuvu ir liniuote uždaviniai

8. Išspendžiamos grupės

9. Radikalinis plėtinys ir polinomo išsprendžiamumas radikalais

10. Abelio teorema

Kiekvienas polinomas, kurio laipsnis neviršija 4, yra išsprendžiamas radikalais virš nulinės charakteristikos kūno. Gerai mums žinomos kvadratinės lygties sprendimas pirma̧ karta̧ buvo paminėtas jau 3 a.p.Kr. Diofanto ”Aritmetikoje”. 16-ame amžiuje italu̧ matematikai Dž. Kardanas ( G.Cardano,1501-1576) ir L.Feraris ( L.Ferrari,1522-1565) išreiškė 3 -iojo ir 4 -ojo laipsnio polinomu̧ šaknis radikalais. Po šio rezultato 300 metu̧ buvo bandoma 5-ojo laipsnio polinomo sprendinius išreikšti radikalais. Tik 1826 metais N.Abelis i̧rodė, kad to padaryti negalima. Praeitame skyriuje mes matėme kodėl, dar daugiau, gavome būtinas ir pakankamas sa̧lygas polinomo išsprendžiamumui radikalais( Teorema 9.4). Šiame skyriuje mes i̧rodysime N.Abelio rezultata̧: bendro pavidalo polinomas, kurio laipsnis > 4 radikalais neišsprendžiamas.

Iš Teoremos 9.4 žinome, kad jeigu polinomo f ∈ K [x] Galua grupė yra neišsprendžiama, tai lygtis f (x) = 0 yra neišsprendžiama radikalais. Mes rasime polinomus, kuriu̧ Galua grupė yra neišsprendžiama grupė S_{p}, čia p ≥ 5− pirminis skaičius. Pradėsime lema apie pačia̧ grupȩ S_{p}.

Lema 10.1 Tegu p− yra pirminis skaičius. Jeigu S_{p} pogrupyje H yra transpozicija ir ilgio p ciklas, tai H = S_{p}.

\underline{I̧rodymas}. Tegu transpozicija (12) ∈ H ( priešingu atveju, pakeiskime numeracija̧). Tegu ilgio p ciklas σ′ ∈ H. Aišku, kad ši̧ cikla̧ galime pradėti vienetu: σ′ = (1i_{2}...i_{p}) . Pakėlus cikla̧ tam tikru laipsniu s ir pasinaudoju̧ tuo, kad p yra pirminis, galite pasiekti, kad (σ′)^{s} = (12a_{3}...a_{p}) = σ, o pakeitȩ numeracija̧, pasieksite tai, kad σ = (123...p) . H yra pogrupis, todėl τ = (23...p) = (12) (123...p) ∈ H. Turime, kad τ^{k} (12) τ^{k−1} = (1, k + 1) ∈ H su visais 1 ≤ k ≤ p − 1. Gavome, kad (12) , (13) , ..., (1, p) ∈ H. Tada su visais k_{1}, k_{2} ≠ 1, (1, k_{1}) (1, k_{2}) (1, k_{1}) = (k_{1}, k_{2}) ∈ H. Gavome, kad visos transpozicijos yra pogrupyje H. Tada H = S_{p}.

I̧rodyta.

Dabar galime pateikti neišsprendžiamu̧ radikalais polinomu̧ pavyzdžiu̧.

Teorema 10.2 Tegu p yra pirminis skaičius, o f ∈ Q [x] yra neredukuojamas virš Q polinomas, kurio laipsnis p. Jeigu polinomas f turi lygiai p − 2 realias šaknis, tai polinomo f Galua grupė yra izomorfiška S_{p}. Taigi, polinomas f yra neišsprendžiamas radikalais.

\underline{I̧rodymas}.Tegu F ⊆ C yra polinomo f skaidinio kūnas virš Q, o G =Gal(F/K) − polinomo f Galua grupė. Tegu α ∈ F yra polinomo šaknis. Polinomas f yra neredukuojamas, todėl [Q (α) : Q] = deg f = p. Pagal Teorema̧ 1.8 kūnu̧ grandinei F ⊃ Q (α) ⊃ Q turime, kad p yra [F : Q] = (G : ⟨id⟩) daliklis. Iš Silovo teoremos (Teorema 4.4 (1)) turime, kad grupėje G yra elementas, kurio eilė yra p ( fakta̧: jeigu pirminis p dalija grupės eilȩ, tai šioje grupėje yra elementas, turintis eilȩ p, − vadina Koši teorema). Iš Teoremos 2.2 žinome, kad grupės G elementai yra polinomo f šaknu̧ keitiniai ir todėl G ⊆ S_{p}. Vienintėliai elementai grupėje S_{p}, o tuo pačiu ir grupėje G, turintys eilȩ p, yra ilgio p ciklai. Gavome, kad grupėje G yra ilgio p ciklas.

Iš bendro algebros kurso žinome, kad jeigu a + ib yra polinomo su realiais koeficientais kompleksinė šaknis, tai šio polinomo šaknimi yra ir a − ib = \overline{a + ib}. Iš sa̧lygos turime, kad funkcija σ : C → C, σ (a + ib) = a − ib yra transpozicija, priklausanti grupei G ( ji keičia dvi jungtines viena kitai polinomo kompleksines šaknis, o realia̧sias šaknis nekeičia). Gavome, kad polinomo f Galua grupėje G yra ir transpozicija, ir ilgio p ciklas. Iš Lemos 10.1 turime, kad G = S_{p}. Grupė S_{p}, p ≥ 5, yra neišsprendžiama, todėl ir polinomas f yra neišsprendžiamas radikalais.

I̧rodyta.

Baigdami skyriu̧, parodysime, kaip sukonstruoti polinomus neišsprendžiamus radikalais.

Pavyzdžiai 10.3 (1)Tegu p ≥ 5 yra pirminis skaičius, o m- lyginis skaičius ir n_{1} < ⋯ < n_{p−2} sveikieji skaičiai. Tegu g (x) = (x^{2} + m) (x − n_{1}) ⋯ (x − n_{p−2}) , o f (x) = g (x)−2. Polinomo f (x) = x^{p} +a_{p−1}x^{p−1} +⋯+a_{1}x+a_{0} visi koeficientai yra lyginiai, bet a_{0} = −m · n_{1} ⋯ n_{p−2} − 2 nesidalija iš 2^{2} = 4. Pagal Eizenšteino kriteriju̧ polinomas f yra neredukuojamas virš Q. Turime, kad polinomas f yra p− ojo laipsnio neredukuojamas polinomas, turintis p − 2 realias šaknis, kurio Galua grupė yra S_{p} ir todėl yra neišsprendžiamas radikalais.

Konkrečiu pavyzdžiu galėtu̧ būti polinomas

f = (x^{2} + 2) (x − 2) (x − 4) (x − 6) − 2 = x^{5} − 12x^{4} + 46x^{3} − 72x^{2} + 88x − 94.

(2) Kitas paprastesnis pavyzdys: f (x) = x^{5} − 4x + 2. Pagal Eizenšteino kriteriju̧, kai p = 2, polinomas f yra neredukuojamas virš Q. Žinodami, kad f (x) < f (−2) , kai x < 2, f (−2) = −22, f (0) = 2, f (1) = −1 f (2) = 26 ir f (x) > f (2) , kai x > 2, turime, kad funkcijos y = f (x) grafikas kerta Ox aši̧ lygiai trijuose taškuose, t.y. polinomas turi lygiai tris realias šaknis. Pagal Teorema̧ 10.3 polinomas f yra neišsprendžiamas radikalais.