KŪNU̧ TEORIJA 2000 metu̧ rudens paskaitos

1. Kūnu̧ plėtiniai

2. Galua grupės

Šiame skyriuje mes apibrėšime Galua grupes. Prancūzu̧ matematikas E. Galua ( Évariste Galois, 1812-1832) domėjosi grupiu̧ teorijos taikymu kūnu̧ plėtiniams, apibrėžiamu̧ polinomu̧ pagalba, nagrinėti. Tame tarpe jis norėjo rasti tikslias polinomu̧ išsprendžiamumo radikalais sa̧lygas. Problema formuluojama taip: ar galima rasti bet kurio laipsnio polinomo šaknu̧ išraiškas, naudojant tik keturis aritmetinius veiksmus ir bet kurio natūralaus laipsnio traukimo šaknies veiksmus iš polinomo koeficientu̧. Iš pradžiu̧ norvegu̧ matematikas N.H. Abelis (N.H. Abel, 1802-1829 ) pateikė penktojo laipsnio polinomo su racionaliais koeficientais neišsprendžiamo radikalais pavyzdi̧, o šiek tiek vėliau E.Galua nurodė tikslia̧ šio rezultato priežasti̧, kiekvienam polinomui priskirdamas baigtinȩ grupȩ. Galua teorija skelbia: polinomas išsprendžiamas radikalais tada ir tik tada, kada jo grupė, kuri ir vadinama Galua grupe, yra išsprendžiama. Šiame kurse mes pabandysime tai i̧rodyti.

Tegu E ir F yra kūno K plėtiniai. Toki̧ nenulini̧ kūnu̧ homomorfizma̧ σ : E → F, kad σ (a) = a, su visais a ∈ K vadina K−homomorfizmu. K− izomorfizmas σ : F → F vadinamas kūno F K − automorfizmu. Visu̧ K− automorfizmu̧ aibȩ pažymėkime Gal(F/K). ( Pastebėkime, kad visu̧ kūno F automorfizmu̧ aibȩ žymi Aut(F), kuri, kaip nesunku parodyti, yra grupė.)

Lema 2.1 Aibė Gal(F/K) yra grupė kompozicijos atžvilgiu. Šia̧ grupȩ mes vadinsime kūno F Galua grupe virš K.

\underline{I̧rodymas}. Mes parodysime, kad Gal(F/K) yra visu̧ kūno F bijekciju̧ grupės A (F) pogrupis. Turime id_{F} ∈Gal(F/K), taigi Gal(F/K) nėra tuščia. Tegu dabar ϕ, θ ∈Gal(F/K). Tada ϕθ^{−1} yra kūno F automorfizmas, nes dvieju̧ žiedo izomorfizmu̧ kompozicija yra žiedo izomorfizmas. Beto, ϕθ^{−1} (a) = ϕ (θ^{−1} (a)) = ϕ (a) = a su visais a ∈ K. Taigi, ϕθ^{−1} ∈Gal(F/K) ir pagal pagrindinȩ pogrupio savybȩ [5.7 teiginys,3] turime, kad Gal(F/K) yra grupė.

I̧rodyta.

Dabar pateiksime teorema̧, kuri taikoma kai kurioms paprastoms Galua grupėms skaičiuoti.

Teorema 2.2 Tegu F/K yra kūno plėtinys ir elemento u ∈ F minimalusis polinomas yra p ∈ K [x] . Tada su visias σ ∈ Gal(F/K) elementas σ (u) taip pat yra polinomo p šaknis. Kitaip sakant, kiekvienas σ ∈Gal(F/K) yra polinomo šaknu̧, esančiu̧ kūne F, keitinys( perstata).

I̧rodyti paliekame skaitytojui.

Pavyzdys. Nagrinėkime kompleksiniu̧ skaičiu̧ kūna̧ C. Žinome, kad C = R (i) ir polinomo x^{2}+1 šaknys yra i ir −i. Todėl, pagal Teorema̧ 2.2, grupėje Gal(F/K) yra tik du elementai. Nesunku patikrinti, kad funkcija a + ib → a − ib yra kūno C R- automorfizmas, todėl Gal(C/R) ≈ Z_{2}, nes yra tik viena grupė, turinti du elementus.

Pavyzdys. Nagrinėkime Q(\sqrt{5}) kaip kūno Q plėtini̧. Skaičiai \sqrt{5} ir −\sqrt{5} yra neredukuojamo polinomo x^{2} − 5 ∈ Q [x] šaknys. Pagal Teorema̧ 2.2 grupėje Gal(Q (\sqrt{5}) /Q) yra tik 2 elementai. Nesunku patikrinti, kad funkcija σ : Q (\sqrt{5})

→ Q (\sqrt{5}) , σ (a + \sqrt{5}b) = a − \sqrt{5}b yra netrivialusis kūno Q(\sqrt{5}) Q- automor-

fizmas, todėl Gal(Q (\sqrt{5}) /Q) ≈ Z_{2}, nes yra tik viena grupė, turinti du elementus.

Pavyzdys. Nagrinėkime Q( ^{3} \sqrt{5}) . Skaičius ^{3} \sqrt{5} yra vienintėlis realusis poli-

nomo x^{3}−5 šaknis ir Q ⊂ Q ( ^{3} \sqrt{5}) ⊂ R. Pagal Teorema̧ 2.2 grupėje Gal(Q ( ^{3} \sqrt{5}) /Q) yra tik vienas elementas.

Matome, kad kiekvienam kūno plėtiniui galima priskirti grupȩ. Norėtu̧si žinoti, ka̧ gali mums pasakyti Galua grupė apie pati̧ plėtini̧.

Mes matėme, kad kiekvienam kūno plėtiniui F/K galima priskirti grupȩ Gal(F/K) . Nagrinėdami tarpini̧ kūna̧ K ⊂ E ⊂ F, ka̧ galima pasakyti apie ryši̧ tarp grupiu̧ Gal(F/E) ir Gal(F/K) ?

Teorema 2.3 Tegu F/K yra kūno plėtinys. Tada

1. Su kiekvienu tarpiniu kūnu E grupė E′ =Gal(F/E) yra grupės Gal(F/K) pogrupis.

2. Su kiekvienu grupės Gal(F/K) pogrupiu H aibė

H′ = {v ∈ F |σ (v) = v su visais σ ∈ H} yra tarpinis plėtinio F/K kūnas.

\underline{I̧rodymas.} (1) Tegu E yra tarpinis kūnas. Tada Gal(F/E) = {σ ∈ Aut (F) |σ (b) = b su visais b ∈ E} ⊆ {σ ∈ Aut (F) |σ (a) = a su visais a ∈ K} = Gal(F/K) . Taigi, Gal(F/E) yra A (F) pogrupis, esantis grupėje Gal(F/K) ir E′ =Gal(F/E)

yra Gal(F/K) pogrupis, E′ =Gal(F/E) <Gal(F/K) .

(2) Tegu H <Gal(F/K) . Kadangi K ⊆ H′, tai H′ yra netuščia, turinti 0 ir1. Tada su visais u, v ∈ H′ turime σ (u − v) = σ (u) − σ (v) = u − v ir σ (uv) = σ (u) σ (v) = uv su visais σ ∈ H. Taigi, u − v ir uv priklauso H′ ir todėl H′ yra F požiedis. Beto, su visais 0 ≠ u ∈ H′ turime σ (u^{−1}) = σ (u)^{−1} = u^{−1} , taigi u^{−1} ∈ H′. Gavome, kad H′ yra kūno F pokūnis, turintis K.

I̧rodyta.

Jeigu H yra grupės Gal(F/K) pogrupis, tai H′ vadinsime grupe H apibrėžtu kūnu kūne F. Taigi mes jau žinome, kaip kiekvienam tarpiniam kūnui E priskirti grupės Gal(F/K) pogrupi̧ E′ ir kaip kiekvienam grupės Gal(F/K) pogrupiui H priskirti tarpini̧ kūna̧ H′, esanti̧ tarp F ir K. Norėtu̧si žinoti, ar šie priskirimai apibrėžia abipus vienareikšmȩ atitikti̧ tarp plėtinio F/K tarpiniu̧ kūnu̧ ir grupės Gal(F/K) pogrupiu̧. Plėtinio Q ( ^{3} \sqrt{5}) /Q pavyzdys rodo, kad ne visada. Tada norėtu̧si žinoti tas sa̧lygas kada taip yra.

Dabar pateiksime kūno plėtinio F/K ir šios atitikties pagrindinius teiginius, kuriu̧ i̧rodyma̧ palieku skaitytojams.

Teiginiai:

1. F′ = ⟨id_{F} ⟩ .

2. K′ =Gal(F/K) .

3. ⟨id_{F} ⟩ = F.

4. Jeigu L ir E yra tokie tarpiniai kūnai, kad L ⊆ M, tai M′ < L′.

5. Jeigu H ir J yra tokie grupės Gal(F/K) pogrupiai, kad H < J, tai J′ yra H′ pokūnis.

6. Su kiekvienu tarpiniu kūnu L ir kiekvienu pogrupiu H <Gal(F/K) turime L ⊆ (L′)′ = L′′ ir H < (H′)′ = H′′.

7. Su kiekvienu tarpiniu kūnu L ir kiekvienu pogrupiu H <Gal(F/K) turime L′ = (L′′)′ = L′′′ ir H′ = (H′′)′ = H′′′.

Šiuos teiginius galime apibendrinti tokia diagrama:

\begin{aligned}F & → & ⟨id_{F} ⟩ \\ ∪ & & ∧ \\ M & → & M′ \\ ∪ & & ∧ \\ L & → & L′ \\ ∪ & & ∧ \\ K & → & Gal (F/K) \end{aligned}  \begin{matrix}Gal (F/K) & & K \\ ∨ & & ∩ \\ J & → & J′ \\ ∨ & & ∩ \\ H & → & H′ \\ ∨ & & ∩ \\ ⟨id_{F} ⟩ & → & F \end{matrix}

Pastebėsime, kad iš Teiginio 6 turime, kad su visais tarpiniais kūnais L teisinga L ⊆ L′′ ir su kiekvienu pogrupiu H <Gal(F/K) teisinga H < H′′. Tarpini̧ kūna̧ L vadinsime uždaru, jeigu L = L′′. Panašiai, pogrupi̧ H <Gal(F/K) vadinsime uždaru, jeigu H = H′′.

Teorema 2.4 Tegu F/K yra kūno plėtinys. Egzistuoja abipus vienareikšmė atitiktis tarp uždaru̧ tarpiniu̧ kūnu̧ ir uždaru̧ grupės Gal(F/K) pogrupiu̧: E → E′ <Gal(F/K) su kiekvienu uždaru tarpiniu kūnu E.

\underline{I̧rodymas}. Parodysime, kad ši atiktis yra injekcija. Tegu E ir L yra tokie du tarpiniai kūnai, kad E′ = L′. Bet E ir L yra uždari, todėl E = E′′ = L′′ = L. Dabar parodysime, kad atitiktis yra siurjekcija. Su kievienu uždaru pogrupiu H <Gal(F/K) turime H = H′′ = (H′)′ ir todėl kūna̧ H′ atitinka pogrupis H.

I̧rodyta.

Svarbu pastebėti, kad Gal(F/K)′ nebūtinai sutampa su K ir gali būti didesnis už K. Kitaip sakant, kūnas K gali būti ir ne uždaras.

Apibrėžimas 2.5 Tegu F/K yra kūno plėtinys. Kūnas F vadinamas Galua kūnu virš K, jeigu Gal(F/K)′ = K. Šiuo atveju kūno plėtinys F/K yra vadinamas Galua plėtiniu.