NEREDUKUOJAMI POLINOMAI VIRŠ BAIGTINIU_{‘} KŪNU_{‘}

Neredukuojami polinomai baigtiniu_{‘} kūnu_{‘} teorijoje vaidina panašu_{‘} vaidmeni_{‘} kaip ir pirminiai skaičiai skaičiu_{‘} teorijoje. Dauguma konstruktyviu_{‘} uždaviniu_{‘} sprendimu_{‘} remiasi neredukuojamu_{‘} polinomu_{‘} savybėmis. Štai keletas iš ju_{‘}:

1. Neredukuojamas virš GF (q) polinomas f(x) yra savo šaknies α minimalusis polinomas, I = {g(x) ∈ GF (q) [x] | g(α) = 0} = (f(x)), t.y. α yra polinomo g(x) ∈ GF (q) [x] šaknis tada ir tik tada, kai g(x) dalijasi iš f(x).

2. Bet kuriam natūraliajam skaičiui n virš bet kokio baigtinio kūno GF (q) egzistuoja neredukuojamas n-ojo laipsnio polinomas.

Dabar nustatysime kitas neredukuojamu_{‘} polinomu_{‘} savybes.

1 teiginys. Tegu f(x) ∈ GF (q) [x] yra neredukuojamas n-ojo laipsnio polinomas, o α – viena iš polinomo f(x) šaknu_{‘}, esanti kūno GF (q) plėtinyje. Tada polinomo f(x) skaidinio kūnas K yra (GF (q))(α) = GF (q^{n}).

I_{‘} rodymas. Iš apibrėžimo žinome, kad polinomo f(x) skaidinio kūnas yra mažiausias kūno GF (q) plėtinys, kuriame yra visos polinomo f(x) šaknys. Todėl

GF (q) ⊆ (GF(q))(α) ⊆ K.

Kita vertus, [(GF (q))(α) : GF (q)] = n ir |(GF (q))(α)| = q^{n}. Žinodami , kad visi kūno (GF (q))(α) elementai yra polinomo f_{q^{n}}(x) = x^{q^{n}} − x šaknys. Taigi f_{q^{n}}(α) = α^{q^{n}} − α = 0 ir, todėl f_{q^{n}(x)} dalijasi iš f(x): visos polinomo f(x) šaknys yra ir polinomo f_{q^{n}}(x) šaknys. Todėl

K ⊆ (GF(q))(α)

ir

K = (GF (q))(α) = GF (q^{n}).

2 teiginys. Tegu f(x) ∈ GF (q) [x] neredukuojamas n-ojo laipsnio polinomas. Tada polinomas f_{q^{m}}(x) = x^{q^{m}} − x dalijasi iš f(x) tada ir tik tada, kai m dalijasi iš n.

I_{‘} rodymas. Jau žinome, kad polinomo f(x) skaidinio kūnas yra GF (q^{n}), o polinomo f_{q^{m}}(x) skaidinio kūnas yra GF (q^{m}). Be to, jei kūnas GF (q^{n}) yra kūno GF (q^{m}) pokūnis, GF (q^{n}) ⊂ GF (q^{m}), tai m dalijasi iš n.

Tegu f_{q^{m}}(x) dalijasi iš f(x). Tada visos polinomo f(x) šaknys yra ir polinomo f_{q^{m}}(x) šaknys. Todėl GF (q^{n}) ⊂ GF (q^{m}) ir m dalijasi iš n.

Priešingai, tegu m dalijasi iš n. Tada GF (q^{n}) ⊂ GF (q^{m}) ir visos polinomo f(x) šaknys priklauso kūnui GF (q^{m}). Bet kūno GF (q^{m}) elementai – tai polinomo f_{q^{m}}(x) šaknys ir todėl polinomo f(x) šaknis α yra polinomo f_{q^{m}}(x) šaknis. Taigi f_{q^{m}}(x) dalijasi iš f(x).

Neredukuojamu_{‘} polinomu_{‘} virš baigtiniu_{‘} kūnu_{‘} šaknys reiškiamos paprastai.

3 teiginys. Tegu f(x) ∈ GF (q) [x] yra n-ojo laipsnio neredukuojamas polinomas ir α – kuri nors polinomo f(x) šaknis polinomo skaidinio kūne GF (q^{n}). Tada kūno GF (q^{n}) elementai

α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{n−1}}

yra visos skirtingos polinomo f(x) šaknys ir n yra mažiausias natūralusis skaičius, kuriam teisinga lygybė α^{q^{n}} = α.

I_{‘} rodymas. Tegu f(x) = a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n}, a_{i} ∈ GF (q), 0 ⩽ i ⩽ n, o α – polinomo f(x) šaknis polinomo skaidinio kūne GF (q^{n}):

f(α) = a_{0} + a_{1} α + … + a_{n}α^{n} = 0.

Kūno GF (q^{n}) charakteristika yra pirminis skaičius p, o q yra p laipsnis. Todėl a_{i}^{q} = a_{i} ir

f(α^{q}) = a_{0} + a_{1}α^{q} + … + a_{n}α^{qn} = a_{0}^{q} + a_{1}^{q}α^{q} + … + a_{n}^{q}α^{qn}
= a_{0}^{q} + (a_{1} α)^{q} + … + (a_{n}α^{n})^{q} = (a_{0} + a_{1}α + … + a_{n}α^{n})^{q}
= (f(α))^{q} = 0.

Taigi, jeigu α yra polinomo f(x) šaknis, tai ir α^{q} yra šio polinomo šaknis, taip pat šaknys yra ir elementai

α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{n−1}}.

Visi šioje sekoje esantys elementai yra skirtingi, nes, jeigu α^{q^{i}} = α^{q^{j}}, 0 ⩽ i < j ⩽ n − 1, tai

(α^{q^{i}})^{q^{n−j}} = (α^{q^{j}})^{q^{n−j}},
α^{q^{n+i−j}} = α^{q^{n}} = α,
α^{q^{n+i−j}} − α = 0,

t.y. α būtu_{‘} polinomo f_{q^{n+i−j}}(x) = x^{q^{n+i−j}} −x šaknis ir tada polinomas f_{q^{n+i−j}}(x) dalytu_{‘}si iš f(x), ir n + i − j dalytu_{‘}si iš n. Bet tai prieštarauja nelygybėms 0 < n + i − j < n.

4 išvada. Tegu f(x) ∈ GF (q) [x] yra n-jo laipsnio neredukuojamas polinomas ir α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{n−1}} – šio polinomo šaknys kūne GF (q^{n}). Tada šiu_{‘} šaknu_{‘} eilės kūno GF (q^{n}) multiplikacinėje grupėje GF (q^{n})^{∗} yra lygios:

ord_{GF (q^{n})^{∗}}(α) = ord_{GF (q^{n})^{∗}}(α^{q}) = … = ord_{GF (q^{n})^{∗}}(α^{q^{n−1}}).

I_{‘} rodymas. Grupė GF (q^{n})^{∗} yra (q^{n} − 1)-osios eilės ciklinė grupė, todėl elemento α eilė šioje grupėje yra q^{n} − 1 daliklis:

q^{n} − 1 = m · ord_{GF (q^{n})^{∗}}(α).

Tada

ord_{GF (q^{n})^{∗}}(α^{q^{i}}) = \frac{ord_{GF (q^{n})^{∗}}(α)}{DBD (q^{i}, ord_{GF (q^{n})^{∗}}(α))} = \frac{ord_{GF (q^{n})^{∗}}(α)}{DBD(q^{i}, \frac{q^{n}−1}{m})} =

= ord_{GF (q^{n})^{∗}}(α), 0 ⩽ i ⩽ n − 1,

nes q = p^{s}, p = char GF (q) ir 1 ⩽ DBD(q^{i}, \frac{q^{n}−1}{m}) ⩽ DBD(q^{i}, q^{n} − 1) = 1.