Algebra ir geometrija informatikams. Pratybos. Rimantas Grigutis

10 pratybos. Vektoriai erdvėje. Vektoriu̧ vektorinė sandauga, savybės. Triju̧ vektoriu̧ mišrioji sandauga, savybės. Vektoriaus koordinatės bazės atžvilgiu.

1. Duoti du vektoriai u = (1, 2, −2) ir v = (3, 0, 1) . Apskaičiuokite u × v.

2. Duoti trys vektoriai u = (3, −2, −5) , v = (1, 4, −4) ir w = (0, 3, 2) . Apskaičiuokite u· (v × w) .

3. Duoti trys vektoriai u = (3, 2, −1) , v = (0, 2, −3) ir w = (2, 6, 7) . Apskaičiuokite

u × v, u× (v × w) , (u × v)×w, (u × v)×(v × w) , u× (v−2w) , (u × v)−2w.

4. Raskite vektoriu̧ ortogonalu̧ vektoriams u ir v :

\begin{matrix}u = & (1, −1, 2) & (3, −1, 4) & (2, 3, 0) & (−6, 4, 2) & (−2.1.5) \\ v = & (0, 3, 1) & (6, −2, 8) & (−1, 2, 2) & (3, 1, 5) & (3, 0, −3) \end{matrix}

5. Ar vektoriai v, u, w yra vienoje plokštumoje?

\begin{matrix}u = & (−1, −2, 1) & (5, −2, 1) & (4, −8, 1) \\ v = & (3, 0, 2) & (4, −1, 1) & (2, 1, −2) \\ w = & (5, −4, 0) & (1, −1, 0) & (3, −4, 12) \end{matrix}

6. Raskite trikampio ABC plota̧:

\begin{matrix}A = & (2, 2, 0) & (2, 6, −1) & (1, −1, 2) \\ B = & (−1, 0, 2) & (1, 1, 1) & (0, 3, 4) \\ C = & (0, 4, 3) & (4, 6, 2) & (6, 1, 8) \end{matrix}

7. Raskite lygiagretainio, kurio kraštinėmis yra vektoriai u ir v, plota̧:

\begin{matrix}u & (−1, 2, 4) & (3, −1, 6) & (−1, 2, 5) \\ v & (3, 4, −2) & (2, 4, 3) & (5, −1, 2) \end{matrix}

8. Raskite gretasienio, kurio briaunomis yra vektoriai u, v, w, tūri̧:

\begin{matrix}u & (2, −6, 2) & (3, 1, 2) \\ v & (0, 4, −2) & (4, 5, 1) \\ w & (2, 2, −4) & (1, 2, 4) \end{matrix}

9. Raskite piramidės P QRS tūri̧:

\begin{matrix}P & (−1, 2, 0) & (0, 0, 0) \\ Q & (2, 1, 3) & (1, 2, −1) \\ R & (1, 0, 1) & (3, 4, 0) \\ S & (3, −2, 3) & (−1, −3, 4) \end{matrix}

10. Duoti taškai A = (5, 0, −1) ir B = (−3, 1, 4) . Raskite vektoriaus AB projekcija̧ vektoriaus u =3i+2j − k tiesȩ.

11. Duoti vektoriai u = (−1, 2, 4) , v = (0, 0, −7) , w = (4, −7, 9) . Raskite vektoriaus a = u + b−4c ilgi̧, vienetini̧ vektoriu̧ ir krypties kosinusus.

12. Duota u· (v × w) = 3. Raskite

u· (w × v) v· (u × w)
(v × w) · u (u × w) · v
w· (u × v) v· (w × w)

13. Duotas vektorius a = (2, 1, −1) . Raskite vektoriaus u koordinates, jei jis tenkina sa̧lygas

a · u =3
a × u =0.

14. I̧rodykite, jei a ir b yra stameni vektoriui c, tai (a × b) × c = 0.

15. I̧rodykite, jei vektorius b statmenas vektoriui c, o vektorius a lygiagretus vektoriui c, tai (a × b) × c = b (a · c) .

16. Kokias sa̧lygas turi tenkinti vektoriai a ir b, kad vektoriai 2a − b ir 3a+4b būtu̧ kolinearūs?

17. Parodykite, kad (a + d) · (b + c) = a· (b × c) + d· (b × c) .

18. Suprastinkite: (u + v) × (u − v) .