Algebros ir geometrijos pratybos. Informatika.2002 ruduo. Rimantas Grigutis

1 Pratybos. Teiginiai ir i̧rodymai.

Dauguma šiu̧ pratybu̧ uždaviniu̧ yra iš [Skrabutėnas-Survila, Algebros ir skaičiu̧ teorijos uždavinynas.V.:Mokslas,1995] =

[S-S] .

1. Suformuluokite pateiktu̧ju̧ teiginiu̧ neiginius. Nustatykite tu̧ teiginiu̧ ir ju̧ neiginiu̧ teisingumo reikšmes.

1.1. Lygtis 2x^{2} − 4x + 2 = 0 turi sprendini̧. 1.2. Lygtis ax^{2} − 4x + 2 = 0 turi sprendini̧. 1.3. Trikampis ABC, kurio viršūnės - taškai A (1, 1) , B (3, 1) , C (1, −1) , yra

status.

1.4. Trikampis ABC, kurio viršūnės - taškai A (1, 1) , B (x, y) , C (1, −1) , yra status.

1.5. Apie kiekviena̧ trikampi̧ galima apibrėžti apskritima̧. 1.6. Apie kiekviena̧ keturkampi̧ galima apibrėžti apskritima̧. 1.7. Yra toks realusis skaičius α, su kuriuo cos (π − α) = sin (π + α) . 1.8. Egzistuoja tokie realiji skaičiai a ir b, su kuriais (a − b)^{2} = a^{2} − b^{2}. 1.9. Nėra tokios kvadratinės lygties, kurios sprendiniu̧ suma būtu̧ lygi ju̧ san-

daugai.

1.10. Visada atsiras toks trikampis, kurio dvi kraštinės lygios 3 ir 5 cm, o plotas lygus 7, 6 cm^{2}.

Kiti pratimai iš [S-S] 1.7 (7 psl.)

2. Duoti teiginiai P ir Q. Sudarykite ir suformuluokite žodžiais teiginius P ∨ Q, P ∧ Q, P ⇒ Q, Q ⇒ P, P ⇔ Q. Nustatykite teiginiu̧ P ir Q bei iš ju̧ sudarytu̧ teiginiu̧ teisingumo reikšmes.

2.1. P = {11 yra pirminis skaičius}; Q = {2^{4} > 4^{2}} . 2.2. P = {237 dalijasi iš 3}; Q = {540 dalijasi iš 9} . Kiti pratimai iš [S-S] 1.9 (8 psl.)

3. [S-S] 2.4 (11 psl).

4. [S-S] 2.5 (11 psl).

5. [S-S] 2.6 (13 psl).

6. I̧rodykite (a) tiesiogiai ir (b) prieštaros būdu teigini̧: Jeigu n yra nelyginis sveikas skaičius, tai ir n + 2 irgi yra nelyginis sveikas skaičius.

7. I̧rodykite: Tegu n− sveikasis skaičius. Skaičius n^{2} yra lyginis tada ir tik tada, kai n yra lyginis.

8. I̧rodykite nagrinėdami atvejus: Bet kokio sveikojo skaičiaus kvadrato dalybos iš 3 liekana yra arba 0, arba 1.

9.1 Paneikite teigini̧, pateikdami kontrpavyzdi̧: Jei k nedalus iš 5 teigiamas sveikas skaičius, tai 12k + 5 yra pirminis.

9.2. I̧rodykite: Jei k nedalus iš 5 teigiamas sveikas skaičius, tai yra be galo daug sudėtiniu̧ pavidalo12k + 5 skaičiu̧.

10. I̧rodykite arba paneikite: 10.1. Dvieju̧ racionaliu̧ju̧ skaičiu̧ suma yra racionalusis skaičius. 10.2. Racionaliojo ir iracionaliojo skaičiu̧ suma yra iracionalusis skaičius. 10.3. Dvieju̧ iracionaliu̧ju̧ skaičiu̧ suma yra iracionalusis skaičius. 10.4. Dvieju̧ iracionaliu̧ju̧ skaičiu̧ sandauga yra iracionalusis skaičius.

11. I̧rodykite, kad \sqrt{6} yra iracionalusis skaičius.

12. Realu̧ji̧ skaičiu̧ r vadinsime artimu racionaliam (sensible) skaičiumi, jei egzistuoja tokie sveikieji a ir b, kad

\sqrt{\frac{a}{b}} = r.

12.1. I̧rodykite, kad racionalus skaičius yra artimas racionaliam skaičius. 12.2. Pateikite iracionalaus artimo racionaliam skaičiaus pavyzdi̧. 12.3. I̧rodykite, kad ^{3} \sqrt{2} ir ^{4} \sqrt{2} nera artimi racionaliam skaičiai.

13. Paneikite: Su visais natūraliaisiais n > 1, skaičiaus n^{3} dešimtainėje išraiškoje yra lyginis skaitmuo.