Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas. Rimantas Grigutis

12 paskaita. Tiesė erdvėje. Dvieju̧ tiesiu̧, tiesės ir plokštumos padėtis erdvėje.

Tiesȩ erdvėje galima apibrėžti kaip dvieju̧ sisikertančiu̧ plokštumu̧ susikirtimo bendru̧ tašku̧ aibȩ. Taigi, kiekviena̧ tiesȩ galima užrašyti dvieju̧ tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema:

\{ \begin{matrix}a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0 \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0 \end{matrix} . (1)

Tai bendroji tiesės lygtis. Tegu A_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) − fiksuotas tiesės t taškas, o A (x, y, z) - bet kuris tiesės

t taškas, ir v = (k, l, m) - nenulinis vektorius lygiagretus tiesei t. Tada vektoriai AA_{0} = (x − x_{0}, y − y_{0}, z − z_{0}) ir v = (k, l, m) yra kolinearūs. Todėl

\frac{x − x_{0}}{k} = \frac{y − y_{0}}{l} = \frac{z − z_{0}}{m} .

Šis tiesės pavidalas vadinamas kanonine tiesės lygtimi, o vektorius v = (k, l, m) vadinamas tiesės t krypties vektoriumi.

Vektoriu̧ AA_{0} = (x − x_{0}, y − y_{0}, z − z_{0}) ir v = (k, l, m) kolinearuma̧ galėtume užrašyti ir taip:

AA_{0} = tv

arba

x − x_{0} = tk
y − y_{0} = tl
z − z_{0} = tm

ir

x = x_{0} + tk
y = y_{0} + tl
z = z_{0} + tm

Tai parametrinės tiesės t lygtys.

Kaip iš bendrosios tiesės lygties rasti kanoninȩ tiesės lygti̧?

Tegu (1) yra bendroji tiesės t lygtis. Tiesės t krypties vektorius v = (k, l, m) tai bet kuris vektorius lygiagretus abiems plokštumoms: a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0 ir a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0, t.y. vektorius v yra statmenas abiems plokštumu̧ normalės vektoriams n_{1} = (a_{1}, b_{1}, c_{1}) ir n_{2} = (a_{2}, b_{2}, c_{2}) . Taigi vektoriumi v galėtu̧ būti vektorius

v = n_{1} × n_{2} = (| \begin{matrix}b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{matrix} | , − | \begin{matrix}a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix} , | \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} ||) .

Norint rasti kuri̧ nors viena̧ tiesės taška̧ A_{0}, reiktu̧ paimti kuri̧ nors sistemos (1) sprendini̧ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) .

Tiesiu̧ padėtis koordinačiu̧ sistemos atžvilgiu.

Tegu v = (k, l, m) - tiesės t krypties vektorius.

1. k = 0 ⇔ v · i =0 ⇔ v lygiagretus yz plokštumai

2. l = 0 ⇔ v · j =0 ⇔ v lygiagretus xz plokštumai

3. m = 0 ⇔ v · k =0 ⇔ v lygiagretus xy plokštumai

4. k = l = 0 ⇔ v ∥ k ⇔ v lygiagretus Oz ašiai

5. l = m = 0 ⇔ v ∥ i ⇔ v lygiagretus Ox ašiai

6. k = m = 0 ⇔ v ∥ j ⇔ v lygiagretus Oy ašiai.

Teorema(dvieju̧ tiesiu̧ padėtis erdvėje). Tegu duotos dvi tiesės:

t_{1} : \frac{x − x_{1}}{k_{1}} = \frac{y − y_{1}}{l_{1}} = \frac{z − z_{1}}{m_{1}}

t_{2} : \frac{x − x_{2}}{k_{2}} = \frac{y − y_{2}}{l_{2}} = \frac{z − z_{2}}{m_{2}} .

Tada

1) tiesės t_{1} ir t_{2} lygiagrečios ⟺ \frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}} .

2) tiesės t_{1} ir t_{2} statmenos ⟺ k_{1}k_{2} + l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} = 0.

3) kampas φ tarp tiesiu̧ t_{1} ir t_{2} randamas iš lygties

cos φ = \frac{k_{1}k_{2}+l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}}{\sqrt{k_{1}+l_{1}+m_{1}}\sqrt{k_{2}+l_{2}+m_{2}}} .

4) tiesės t_{1} ir t_{2} yra prasilenkiančios ⟺

| \begin{matrix}k_{1} & l_{1} & m_{1} \\ k_{2} & l_{2} & m_{2} \\ x_{2} − x_{1} & y_{2} − y_{1} & z_{2} − z_{1} \end{matrix} | ≠ 0 .

5) tiesės t_{1} ir t_{2} priklauso vienai plokštumai ⟺

| \begin{matrix}k_{1} & l_{1} & m_{1} \\ k_{2} & l_{2} & m_{2} \\ x_{2} − x_{1} & y_{2} − y_{1} & z_{2} − z_{1} \end{matrix} | = 0.

I̧rodymas. 1)

tiesės t_{1} ir t_{2} lygiagrečios

⟺ krypties vektoriai v_{1} = (k_{1}, l_{1}, m_{1}) ir v_{2} = (k_{2}, l_{2}, m_{2}) lygiagretūs

⟺ \frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}} .

2)

tiesės t_{1} ir t_{2} statmenos

⟺ krypties vektoriai v_{1} = (k_{1}, l_{1}, m_{1}) ir v_{2} = (k_{2}, l_{2}, m_{2}) statmeni ⟺ k_{1}k_{2} + l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} = 0.

3) kampas φ tarp tiesiu̧ t_{1} ir t_{2} tai kampas tarp krypties vektoriu̧ v_{1} = (k_{1}, l_{1}, m_{1}) ir v_{2} = (k_{2}, l_{2}, m_{2}) , todėl

cos φ = \frac{k_{1}k_{2}+l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}}{\sqrt{k_{1}+l_{1}+m_{1}}\sqrt{k_{2}+l_{2}+m_{2}}} .

4)

tiesės t_{1} ir t_{2} yra prasilenkiančios ⟺ vektoriai v_{1} = (k_{1}, l_{1}, m_{1}) , v_{2} = (k_{2}, l_{2}, m_{2}) ir

A_{1}A_{2} = (x_{2} − x_{1}, y_{2} − y_{1}, z_{2} − z_{1}) nėra komplanarūs

⟺ v_{1} · (v_{2} × A_{1}A_{2}) ≠ 0.

5)

tiesės t_{1} ir t_{2} priklauso vienai plokštumai ⟺vektoriai v_{1} = (k_{1}, l_{1}, m_{1}) , v_{2} = (k_{2}, l_{2}, m_{2}) ir A_{1}A_{2} = (x_{2} − x_{1}, y_{2} − y_{1}, z_{2} − z_{1}) komplanarūs

⟺ v_{1} · (v_{2} × A_{1}A_{2}) = 0.

I̧rodyta. Teorema(tiesės ir plokštumos padėtis erdvėje). Tegu duota tiesė t :

\frac{x − x_{0}}{k} =\frac{y − y_{0}}{l} =\frac{z − z_{0}}{m}

ir plokštuma P :

ax + by + cz + d = 0 .

1) tiesė t lygiagreti plokštumai P ⟺ ak + bl + cm = 0

2) tiesė t statmena plokštumai P ⟺ \frac{a}{k} = \frac{b}{l} = \frac{c}{m}. I̧rodymas. Tiesė t lygiagreti plokštumai P tada ir tik tada, kai tiesės t kryp-

ties vektorius v = (k, l, m) statmenas plokštumos P normalės vektoriui n = (a, b, c) :

ak + bl + cm = 0

Tiesė t statmena plokštumai P tada ir tik tada, kai tiesės t krypties vektorius v = (k, l, m) lygiagretus plokštumos P normalės vektoriui n = (a, b, c) :

\frac{a}{k} = \frac{b}{l} = \frac{c}{m}.

I̧rodyta. Dabar aptarsime atstumo problema̧ tiesei erdvėje. Tegu A (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ir B (b_{1}, b_{2}, b_{3}) − fiksuoti tiesės t taškai, P (x, y, z) − bet

kuris tiesės t taškas, ir AB = (b_{1} − a_{1}, b_{2} − a_{2}, b_{3} − a_{3}) - nenulinis vektorius lygiagretus tiesei t. Tada vektoriai AP = OP − OA ir AB yra kolinearūs:

OP − OA =tAB.

Tada lygybė

OP = OA+tAB (−∞ < t < +∞)

vadinama vektorine tiesės t lygtimi.

Teorema(taško atstumas iki tiesės). Tegu C yra erdvės taškas ir t− tiesė, einanti per du taškus A ir B. Tada egzistuoja lygiai vienas toks tiesės t taškas P, kad vektorius CP yra statmenas vektoriui AB ir

OP = OA+tAB, t = \frac{AB · AC}{∥AB∥^{2}},

ir taško C atstumas iki tiesės t lygus

CP = \frac{\sqrt{AC^{2} · AB^{2} − (AC · AB)^{2}}}{AB} .

I̧rodymas. Tegu OP = OA+tAB ir vektorius CP yra statmenas vektoriui AB. Tada

CP · AB =0

(OP − OA) · AB =0 (OA+tAB − OA) · AB =0 (CA+tAB) · AB =0 CA · AB+tAB · AB =0 −AC · AB+t ∥AB∥^{2} =0

t = \frac{AB · AC}{∥AB∥^{2}}.

Vektoriai CP ir PA yra statmeni, todėl iš Pitagoro teoremos trikampiui P AC (kampas prie viršūnės P − status) turime:

CP^{2} = AC^{2} − P A^{2}
= AC^{2} − ∥tAB∥^{2}
= AC^{2} − t^{2}AB^{2}

= AC^{2} − (\frac{AB · AC}{∥AB∥^{2}})^{2} AB^{2}

= \frac{AC^{2} · AB^{2} − (AC · AB)^{2}}{AB^{2}} .

O tai ir reikėjo i̧rodyti. I̧rodyta.