Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas. Rimantas Grigutis

10 paskaita. Vektoriai erdvėje. Vektoriu̧ vektorinė sandauga, savybės. Triju̧ vektoriu̧ mišrioji sandauga, savybės. Vektoriaus koordinatės bazės atžvilgiu.

Vektoriai erdvėje.

Prisiminkime dvieju̧ vektoriu̧ erdvėje u ir v skaliarinės sandaugos apibrėžima̧:

u · v = ∥u∥ · ∥v∥ cos φ,

čia ∥u∥ ir ∥v∥ vektoriu̧ u ir v ilgiai, o φ kampas atrp vektoriu̧. Tada skaičius ∥v∥ cos φ yra vektoriaus v projekcijos i̧ vektoriu̧ u ilgis,

o pati projekcija yra vektorius proj_{u}v =\frac{u · v}{∥u∥} \frac{u}{∥u∥} = \frac{u · v}{∥u∥^{2}} u . Analogiškai

proj_{v}u =\frac{u · v}{∥v∥^{2}} v.

Tegu i, j, k− vienetiniai vektoriai Dekarto koordinatinėse ašyse Ox, Oy, Oz. Tada vektoriaus u Dekarto koordinatėmis vadinamos išraiškos:

u · i =u_{1}, u · j =u_{2}, u · k =u_{3}

ir

u =u_{1}i + u_{2}j + u_{3}k.

Taigi turime

u_{1} = ∥u∥ cos φ_{1}, u_{2} = ∥u∥ cos φ_{2}, u_{3} = ∥u∥ cos φ_{3},

čia φ_{1}, φ_{2}, φ_{3} yra vektoriaus u kampai su koordinačiu̧ ašiu̧ Ox, Oy, Oz teigiamomis kryptimis. Beto,

cos^{2} φ_{1} + cos^{2} φ_{2} + cos^{2} φ_{3} = 1.

Vektoriu̧ vektorinė sandauga, savybės.

Taikant vektorius geometrijoje, fizikoje ir kitur dažnai tenka nagrinėti vektorius statmenus duotiems dviems vektoriams. Mes parodysime kaip galima būtu̧ apibrėžti toki̧ vektoriu̧.

Apibrėžimas. Tegu u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ir v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) yra vektoriai 3-matėje xyz−erdvėje. Vektorius

u × v = (u_{2}v_{3} − u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1} − u_{1}v_{3}, u_{1}v_{2} − u_{2}v_{1})

vadinamas vektoriu̧ u ir v vektorine sandauga.

Pastaba. Vektoriaus u × v koordinates galima reikšti ir determinantais:

u × v = (| \begin{matrix}u_{2} & u_{3} \\ v_{2} & v_{3} \end{matrix} | , − | \begin{matrix}u_{1} & u_{3} \\ v_{1} & v_{3} \end{matrix} | , | \begin{matrix}u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \end{matrix} |) .

Nereiktu̧ maišyti vektoriu̧ skaliarinės sandaugos ( tai skaičius) ir vektoriu̧ vektorinės sandaugos ( tai vektorius). Žemiau esanti teorema parodo ryši̧ tarp abieju̧ sandaugu̧.

Teorema. Tegu u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) , w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) yra vektoriai 3-matėje xyz−erdvėje. Tada

1) u· (u × v) = 0  (u × vortogonalus u)
2) v· (u × v) = 0  (u × vortogonalus v)
3) ∥u × v∥^{2} = ∥u∥^{2} ∥v∥^{2} − (u · v)^{2}  (Lagrange lygybė)

4) u× (v × w) = (u · w) v− (u · v) w

5) ( u × v) ×w = (u · w) v− (v · u) u

I̧rodymas paliekamas skaitytojui.

Vektorinės sandaugos savybės yra teoremoje.

Teorema. Tegu u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) , w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) yra vektoriai 3-matėje xyz−erdvėje. Tada

1) u × v = − (v × u)

2) u× (v + w) = (u × v) + (u × w)

3) (u + v) × w = (u × w) + (v × w)

4) k (u × v) = (ku) × v = u× (kv)

5) u × 0 = 0 × u = 0

6) u × u = 0.

I̧rodymas paliekamas skaitytojui.

Išvados. 1)

i × i = 0 i × j = k i × k = −j
j × i = −k j × j = 0 j × k = i
k × i = j k × j = −i k × k = 0

2) u × v = | \begin{matrix}i & j & k \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix}u_{2} & u_{3} \\ v_{2} & v_{3} \end{matrix} | i − | \begin{matrix}u_{1} & u_{3} \\ v_{1} & v_{3} \end{matrix} | j + | \begin{matrix}u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \end{matrix} | k.

Teorema ( geometrinė vektorinės sandaugos interpretacija).

1) Vektoriu̧ u ir v vektorinės sandaugos ilgis yra lygus lygiagretainio, kurio kraštinės yra u ir v, plotui:

∥u × v∥ = ∥u∥ ∥v∥ sin φ,

čia φ− kampas tarp u ir v.

2) Vektoriu̧ u ir v vektorinė sandauga yra vektorius statmenas plokštumai, kurioje yra vektoriai u ir v, ir nukreiptas taip, kad, žiūrint iš jo galo, sukant vektoriu̧ u vektoriaus v link mažiausiu kampu, sukama bus prieš laikrodžio rodyklȩ.

I̧rodymas. Pasinaudokite Lagrange lygybe.

Triju̧ vektoriu̧ mišrioji sandauga, savybės.

Apibrėžimas. Tegu u, v, w yra vektoriai 3-matėje xyz−erdvėje. Tada

u· (v × w)

vadina triju̧ vektoriu̧ u, v, w mišria̧ja sandauga ir kartais žymi (u, v, w) .

Tegu u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) , w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) yra vektoriai 3-matėje xyz−erdvėje. Tada teisinga

u· (v × w) = u· (| \begin{matrix}v_{2} & v_{3} \\ w_{2} & w_{3} \end{matrix} | i − | \begin{matrix}v_{1} & v_{3} \\ w_{1} & w_{3} \end{matrix} | j + | \begin{matrix}v_{1} & v_{2} \\ w_{1} & w_{2} \end{matrix} | k)

u· (v × w) = | \begin{matrix}v_{2} & v_{3} \\ w_{2} & w_{3} \end{matrix} | u_{1} − | \begin{matrix}v_{1} & v_{3} \\ w_{1} & w_{3} \end{matrix} | u_{2} + | \begin{matrix}v_{1} & v_{2} \\ w_{1} & w_{2} \end{matrix} | u_{3}

u· (v × w) = | \begin{matrix}u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix} | .

Teorema ( mišriosios sandaugos savybės ir geometrinė interpretacija).

1) u· (v × w) = w· (u × v) = v· (w × u) .

2) Vektoru̧ u, v, w mišriosios sandaugos absoliuti reikšmė |u· (v × w)| yra lygi gretasienio, kurio kraštinėmis yra vektoriai u, v, w, tūriui.

3) u· (v × w) = 0 tada ir tik tada, kai vektoriai u, v, w yra komplanarūs ( yra vienoje plokštumoje).

4) Piramidės, kurios briaunomis yra vektoriai u, v, w, tūris yra \frac{1}{6} |u· (v × w)| .

Tris nenulinius nekomplanarius vektorius e_{1}, e_{2}, e_{3} ( e_{1} · (e_{2} × e_{3}) ≠ 0) vadinsime baze erdvėje.

Teorema. Bet kuris vektorius u vienintėliu būdu reiškiamas baze e_{1}, e_{2}, e_{3}:

u = λ_{1}e_{1}+λ_{2}e_{2}+λ_{3}e_{3}.

Skaičiai λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} vadinami vektoriaus u koordinatėmis bazėje e_{1}, e_{2}, e_{3}.

I̧rodymas.Vienatinumas. Tegu turime dar viena̧ vektoriaus u reiškima̧ baze e_{1}, e_{2}, e_{3} :

u =λ′_{1}e_{1} + λ′_{2}e_{2} + λ′_{3}e_{3}.

Turime

(λ_{1} − λ′_{1}) e_{1} + (λ_{2} − λ′_{2}) e_{2} + (λ_{3} − λ′_{3}) e_{3} = 0.

Padauginkime šia̧ lygybȩ skaliariškai iš vektoriaus e_{2} × e_{3} :

(λ_{1} − λ′_{1}) (e_{1} · (e_{2} × e_{3})) = 0.

Turime e_{1} · (e_{2} × e_{3}) ≠ 0, todėl λ_{1} − λ′_{1} = 0 ir λ_{1} = λ′_{1}. Analogiškai parodoma, kad λ_{2} = λ′_{2} ir λ_{3} = λ′_{3}.

Egzistavimas. Turime, kad

( \begin{matrix}e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}i \\ j \\ k \end{matrix} ) = A ( \begin{matrix}i \\ j \\ k \end{matrix} ) ,

čia e_{1} = (a_{11}, a_{12}, a_{13}) , e_{2} = (a_{21}, a_{22}, a_{23}) , e_{3} = (a_{31}, a_{32}, a_{33}) - vektoriu̧ Dekarto koordinatės.

Tada

u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ( \begin{matrix}i \\ j \\ k \end{matrix} ) = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} )^{−1} ( \begin{matrix}e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} ) =

(u_{1}, u_{2}, u_{3}) · \frac{1}{det A} ( \begin{matrix}A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} ) =

\frac{1}{det A} (u_{1}A_{11} + u_{2}A_{12} + u_{3}A_{13}, u_{1}A_{21} + u_{2}A_{22} + u_{3}A_{23}, u_{1}A_{31} + u_{2}A_{32} + u_{3}A_{33}) ( \begin{matrix}e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} ) =

\frac{1}{det A} (| \begin{matrix}u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | , | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | , | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{matrix} |) ( \begin{matrix}e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} ) =

\frac{1}{e_{1} · (e_{2} × e_{3})} (u · (e_{2} × e_{3}) , u · (e_{3} × e_{1}) , u · (e_{1} × e_{2})) ( \begin{matrix}e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} ) =

\frac{u · (e_{2} × e_{3})}{e_{1} · (e_{2} × e_{3})}e_{1} + \frac{u · (e_{3} × e_{1})}{e_{2} · (e_{3} × e_{1})}e_{2} + \frac{u · (e_{1} × e_{2})}{e_{3} · (e_{1} × e_{2})}e_{3}.

I̧rodyta.