Algebra ir geonetrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas. Rimantas Grigutis

9 paskaita. Šaknys iš vieneto ir grupės.

Kaip ir su kiekvienu nenuliniu kompleksiniu skaičiumi, taip ir su 1 turime lygiai n n−ojo laipsnio šaknu̧ iš 1 :

1 = [1, 0] = cos 0 + i sin 0

ε_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} ,

k = 0, 1, 2, ..., n − 1. Visos n− ojo laipsnio šaknys iš vieneto yra apskritimo, kurio centas yra koor-

dinačiu̧ pradžioje ir spindulys lygus 1, taškai. Vienas iš šiu̧ tašku̧ sutampa su 1 (

kai k = 0 ). Šaknies ε_{1} argumentas yra \frac{2π}{n} = 2π · \frac{1}{n}, t.y. n − oji apskritimo dalis.

Kitu̧ šaknu̧ ε_{2}, ..., ε_{n−1} argumentai yra \frac{2πk}{n} = 2π · \frac{2}{n}, ..., \frac{2π (n − 1)}{n} = 2π · \frac{n − 1}{n}.

Visos n− ojo laipsnio šaknys iš vieneto dalija vienetini̧ apskritima̧ i̧ n lygiu̧ daliu̧. Visu̧ n− ojo laipsnio šaknu̧ iš vieneto aibȩ žymėsime U (n) .

Apibrėžimas. n− ojo laipsnio šaknis iš vieneto ε vadinama primityvia̧ja n− ojo laipsnio šaknimi iš vieneto, jei ε^{m} ≠ 1 su m < n.

Aišku, kad skaičius ε_{1} = cos \frac{2π}{n} + i sin \frac{2π}{n} yra primityvioji n− ojo laipsnio šaknis iš vieneto. Kai n > 2, turime ir daugiau primityviu̧ju̧ n− ojo laipsnio šaknu̧ iš vieneto. Teisinga tokia teorema:

Teorema. Skaičius ε_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} yra primityvioji n− ojo laipsnio šaknis iš vieneto tada ir tik tada, kai skaičiu̧ k ir n bendras didžiausias daliklis yra lygus 1 ( tokius skaičius dar vadina tarpusavyje pirminiais skaičiais).

I̧rodymas. (⇒) . Tegu k ir n yra tarpusavyje pirminiai skaičiai ir ε_{k}^{m} = 1. Tada

\frac{2πkm}{n} = 2rπ, čia r - sveikas skaičius.

Turime

km = nr,

ir todėl km dalijasi iš n. Bet k ir n yra tarpusavyje pirminiai skaičiai, todėl m dalijasi iš n. Tada turime, kad m ≥ n ir todėl skaičius ε_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} yra primityvioji n− ojo laipsnio šaknis iš vieneto.

(⇐) . Tegu ε_{k} yra primityvioji n− ojo laipsnio šaknis iš vieneto ir d =BDD(k, n) ,

n = n_{1}d, k = k_{1}d. Tada ε_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} = cos \frac{2πk_{1}d}{n_{1}d} + i sin \frac{2πk_{1}d}{n_{1}d} =

cos \frac{2πk_{1}}{n_{1}} + i sin \frac{2πk_{1}}{n_{1}} ir ε_{k_{1}}^{n_{1}} = 1. Iš čia turime, kad n = n_{1} ir d = 1, t.y. skaičiai n ir k yra tarpusavyje pirminiai.

I̧rodyta.

Pavyzdys.

Primityvios n -ojo laipsnio šaknys iš 1

n šaknu̧ skaičius Primityvios šaknys ε_{k} 3  2  ε_{1}, ε_{2} 4  2  ε_{1}, ε_{3} 5  4  ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4} 6  2  ε_{1}, ε_{5} 7  6  ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}, ε_{5}, ε_{6} 8  4  ε_{1}, ε_{3}, ε_{5}, ε_{7} 9  6  ε_{1}, ε_{2}, ε_{4}, ε_{5}, ε_{7}, ε_{8} 10  4  ε_{1}, ε_{3}, ε_{7}, ε_{9} 11  10  ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}, ε_{5}, ε_{6}, ε_{7}, ε_{8}, ε_{9}, ε_{10} 12  4  ε_{1}, ε_{5}, ε_{7}, ε_{11} .

Teiginys. Skaičius ε_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} yra primityvioji n_{1} = \frac{n}{d}− ojo laipsnio šaknis iš vieneto, čia d = BDD(n, k) .

I̧rodymas. Skaičiai n_{1} = \frac{n}{d} ir k_{1} = \frac{k}{d} yra tarpusavyje pirminiai skaičiai ir todėl pagal ka̧ tik i̧rodyta̧ teorema̧ skaičius ε_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} = cos \frac{2πk_{1}}{n_{1}} + i sin \frac{2πk_{1}}{n_{1}} = ε_{k_{1}} yra primityvioji n_{1}− ojo laipsnio šaknis iš vieneto.

I̧rodyta.

Teiginys( šaknu̧ iš vieneto savybės).

1. Jeigu α ir β ∈ U (n) , tai ir α · β ∈ U (n) .

2. Jeigu α ∈ U (n) , tai α^{−1} ∈ U (n) .

3. Jeigu ε yra primityvioji n-ojo laipsnio šaknis iš 1, o α ∈ U (n) , tai egzistuoja toks k ∈ N, kad α = ε^{k}.

4. Jeigu ε yra primityvioji n-ojo laipsnio šaknis iš 1, o β yra kuri nors n-ojo laipsnio šaknis iš α, tai skaičiai ε^{0}β, ε^{1}β, ε^{2}β, ..., ε^{n−1}β yra visos skirtingos n-ojo laipsnio šaknys iš α.

I̧rodymas. 1. Jei α ir β ∈ U (n) , tai α^{n} = β^{n} = 1. Tada (αβ)^{n} = α^{n}β^{n} = 1 ir α · β ∈ U (n) .

2. Jei α ∈ U (n) , tai α^{n} = 1. Tada (α^{−1})^{n} = α^{−n} = (α^{n})^{−1} = 1 ir α^{−1} ∈ U (n) .

3. Tegu ε yra primityvioji n-ojo laipsnio šaknis iš 1. Tada skaičius ε^{k} ∈ U (n) , nes (ε^{k})^{n} = (ε^{n})^{k} = 1. Šaknu̧ iš 1 sekoje 1 = ε^{0}, ε^{1}, ε^{2}, ..., ε^{n−1} nėra sutampančiu̧, nes jei būtu̧ ε^{k} = ε^{m}, čia 0 ≤ k < m ≤ n − 1 < n, tai ε^{m−k} = 1 ir 0 < m − k < n, o tai prieštarautu̧ tam, kad ε yra primityvioji n-ojo laipsnio šaknis iš 1. Gavome, kad sekoje 1 = ε^{0}, ε^{1}, ε^{2}, ..., ε^{n−1} yra visos skirtingos n-ojo laipsnio šaknys iš 1.

4. Tegu β^{n} = α ir ε yra primityvioji n-ojo laipsnio šaknis iš 1. Tada (ε^{k}β)^{n} =

(ε^{k})^{n} β^{n} = 1 · α = α ir ε^{k}β yra n-ojo laipsnio šaknis iš α su visais k ∈ Z. Skaičiu̧ β = ε^{0}β, ε^{1}β, ε^{2}β, ..., ε^{n−1}β sekoje nėrs sutampančiu̧,nes jei būtu̧ ε^{k}β = ε^{m}β, čia 0 ≤ k < m ≤ n − 1 < n, tai ε^{m−k} = 1 ir 0 < m − k < n, o tai prieštarautu̧ tam, kad ε yra primityvioji n-ojo laipsnio šaknis iš 1. Gavome, kad sekoje β = ε^{0}β, ε^{1}β, ε^{2}β, ..., ε^{n−1}β yra visos skirtingos n-ojo laipsnio šaknys iš α.

I̧rodyta.

Apibrėžimas( grupės apibrėžimas). Tegu G yra aibė, kurioje apibrėžta operacija ” · ”, t.y. taisyklė, bet kuriai aibės G elementu̧ porai (g_{1}, g_{2}) priskirianti aibės G elementa̧ g_{3}. Aibė (G, ·) vadinama grupe, jei teisingos šios savybės

G1. g_{1} (g_{2}g_{3}) = (g_{1}g_{2}) g_{3} su visais g_{1}, g_{2}, g_{3} ∈ G. Šia̧ savybȩ vadiname veiksmo asociatyvumu.

G2. Egzistuoja toks e ∈ G, kad su visais g ∈ G teisinga eg = ge = g. Elementa̧ vadiname neutraliu grupės elementu.

G3. Su kiekvienu g ∈ G egzistuoja toks h ∈ G, kad gh = hg = e. Elementa̧ h vadiname atvirkštiniu elementui g ir žymesime g^{−1}.

Grupiu̧ pavyzdžiai.

1. Sveiku̧ju̧ skaičiu̧ aibė Z sudėties + atžvilgiu yra grupė.

2. Racionaliu̧ju̧ skaičiu̧ aibė Q sudėties + atžvilgiu yra grupė.

3. Realiu̧ju̧ skaičiu̧ aibė R sudėties + atžvilgiu yra grupė.

4. Kompleksiniu̧ skaičiu̧ aibė C sudėties + atžvilgiu yra grupė.

5. Matricu̧ aibės M_{m×n}(Z), M_{m×n}(Q), M_{m×n}(R), M_{m×n}(C) sudėties + atžvilgiu yra grupė.

6. Dvieju̧ sveiku̧ skaičiu̧ aibė Z_{2} = {−1, 1} sandaugos · atžvilgiu yra grupė.

7. Nenuliniu̧ racionaliu̧ju̧ skaičiu̧ aibė Q sandaugos · atžvilgiu yra grupė.

8. Nenuliniu̧ realiu̧ju̧ skaičiu̧ aibė R sandaugos · atžvilgiu yra grupė.

9. Nenuliniu̧ kompleksiniu̧ skaičiu̧ aibė C sandaugos · atžvilgiu yra grupė.

10. Neišsigimusiu̧ racionaliu̧( realiu̧, kompleksiniu̧) matricu̧ aibė GL (n, K) sandaugos · atžvilgiu yra grupė.

11. Visu̧ keitiniu̧ aibė S_{n} su joje apibrėžta kompozicijos operacija ∘ yra grupė.

12. n-ojo laipsnio kompleksiniu̧ šaknu̧ iš 1 aibė U (n) sandaugos · atžvilgiu yra grupė.

13. Aibė Z_{n} = \{¯0, ¯1, ¯2, ..., \overline{n − 1}\} operacijos ”+”, apibrėžtos formule

ī + j̄ = [ \begin{matrix}\overline{i + j}, kai i + j < n \\ \overline{i + j − n}, kai i + j ≥ n \end{matrix} ,

yra grupė. 14.Tegu σ = (1, 2, ..., n) ∈ S_{n}. Keitiniu̧ aibė ⟨σ⟩ = {id = σ^{0}, σ^{1}, σ^{2}, ..., σ^{n−1}}

su joje apibrėžta kompozicijos operacija ∘ yra grupė.

Iš apibrėžimo turime, kad grupės (G, ·) neutralusis elementas apibrėžtas vienareikšmiškai: jei e′ yra neutralusis grupės G elementas, tai e′ = e′ · e = e · e′ = e.

Svarbiausia grupės savybė yra prastinimo taisyklė.

Teorema( prastinimo taisyklė). Tegu G yra grupė. Tada

• jei ax = ay, tai x = y.

• jei xa = ya, tai x = y.

I̧rodymas. Tegu ax = ay. Padauginkime šia̧ lygybȩ iš kairės iš a^{−1} ir pasinaudojȩ asociatyvumo savybe turėsime

x = a^{−1}ax = a^{−1}ay = y.

Tegu xa = ya. Padauginkime šia̧ lygybȩ iš dešinės iš a^{−1} ir pasinaudojȩ asociatyvumo savybe turėsime

x = xaa^{−1} = yaa^{−1} = y.

I̧rodyta.

Išvados. 1.Su kiekvienu grupės G elementu g egzistuoja vienintelis atvirkštinis g^{−1}.

2. Grupėje G lygtys ax = b ir xa = b išsprendžiamos vienareikšmiškai.

I̧rodymas. 1. Tegu gh = hg = e. Tada

h = he = h (gg^{−1}) = (hg) g^{−1} = eg^{−1} = g^{−1}.

2. Jei ax = b, tai x = a^{−1}b yra lygties sprendinys. Ir jei ax_{1} = b, tai pagal prastinimo taisyklȩ lygybei ax = ax_{1} turime x = x_{1}.

Jei xa = b, tai x = ba^{−1} yra lygties sprendinys. Ir jei x_{1}a = b, tai pagal prastinimo taisyklȩ lygybei xa = x_{1}a turime x = x_{1}.

I̧rodyta.

Apibrėžimai. Grupė G vadinama baigtine, jei aibėje G yra baigtinis elementu̧ skaičius. Aibės G elementu̧ skaičiu̧ vadiname grupės eile. Sakoma, kad grupės G elementai a ir b komutuoja, jei ab = ba. Grupė G vadinama komutatyvia grupe, jei ab = ba su visais a, b ∈ G.

Pavyzdžiai. 1. Grupės 1-5,6-10 yra begalinės eilės.

2. Grupės Z_{2} eilė yra 2, grupės S_{n} eilė yra n!, grupės U (n) eilė yra n, grupės Z_{n} eilė yra n.

3. Grupės 1-4, 6-9,12-14 yra komutatyvios grupės.

4. Grupės 5,10,11 yra nekomutatyvios grupės.

Kai kurios grupės, net ir turėdamos skirtingos prigimties elementus ir skirtingai apibrežtas operacijas, turi vienodas savybes. Patikslinsime ši̧ pastebėjima̧.

Apibrėžimas. Tegu (G, ∗) ir (H, ∘) dvi grupės. Funkcija̧ f : G → H vadinama grupiu̧ izomorfizmu, jeigu

1) f yra bijekcija,t.y.

• jei f (g_{1}) = f (g_{2}) , tai g_{1} = g_{2} su visais g_{1}, g_{2} ∈ G, ir

• su visais h ∈ H egzistuoja toks g ∈ G, kad f (g) = h.

2) Su visais g_{1}, g_{2} ∈ G teisinga f (g_{1} ∗ g_{2}) = f (g_{1}) ∘ f (g_{2}) .

Jeigu egzistuoja grupiu̧ G ir H izomorfizmas, tai sakoma, kad grupės G ir H yra izomorfinėmis ir rašoma G ≈ H.

Jau iš apibrėžimo matome, kad izomorfinėse grupėse vienos grupės elementu̧ sandauga atitinka kitos grupės elementu̧ sandauga̧( dar sakoma, kad grupiu̧ izomorfizmas ” išlaiko operacija̧”). Šiuo požiūriu izomorfinės grupės yra vienodos. Dar daugiau, grupiu̧ izomorfizmo pagrindu galima kalbeti apie ekvivalentumo santyki̧:

1. G ≈ G ( izomorfimu yra tapatusis atvaizdis g → g ).

2. Jei G ≈ H, tai ir H ≈ G ( jei f yra izomorfizmas, tai ir f^{−1} yra izomorfizmas).

3. Jei G_{1} ≈ G_{2}, o G_{2} ≈ G_{3}, tai G_{1} ≈ G_{3} ( izomorfizmu̧ kompozicija yra izomorfizmas).

Pavyzdžiai. 1 . (C,+) ≈ (\{( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) ∈ M_{2} (R)\} , +) . Izomorfizmas: a +

ib → ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) .

2. (C\ \{0\} ,·) ≈ (\{( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) ∈ M_{2} (R) , a^{2} + b^{2} ≠ 0\} , ·) . Izomorfizmas: a+

ib → ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) .

3. (R,+) ≈ (\{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) ∈ M_{2} (R)\} , +) . Izomorfizmas: a → ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) .

4. (R\ \{0\} ,·) ≈ (\{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) ∈ M_{2} (R) , a ≠ 0\} , ·) . Izomorfizmas: a → ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) .

5. (Z_{n}, +) ≈ (U (n) , ·) . Izomorfizmas: k → [1, \frac{2πk}{n} ] .

6. (Z_{n}, +) ≈ (⟨σ|σ = (1, 2, ..., n) ∈ S_{n}⟩ , ∘) . Izomorfizmas: k → σ^{k}.

7. (R,+) ≈ (\{( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , a ∈ R\} , ·) . Izomorfizmas: a → ( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .