Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas. Rimantas Grigutis

8 paskaita. Kompleksiniai skaičiai.

I̧vadas. Kompleksiniu̧ skaičiu̧ aibȩ C galima apibrėžti 2 × 2 matricomis.

Apibrėžimas. Kompleksiniu skaičiumi vadiname matrica̧

( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) ,

čia a ir b− realieji skaičiai.

Kompleksini̧ skaičiu̧ [a] = ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) vadinsime realiu kompleksiniu skaičiumi.

Aukščiau matėme, kad tokias matricas galima sutapatinti su pačiu realiu skaičiumi a. Pagri̧sime ši̧ sutapatinima̧.

Realius kompleksinius skaičius [a] ir [b] vadinsime atitinkamai realia̧ja ir menama̧ja

kompleksinio skaičiaus ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) dalimi. Kompleksini̧ skaičiu̧ ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) žymėsime

raide i.

Tada

( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & −b \\ b & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}b & 0 \\ 0 & b \end{matrix} )

= [a] + i [b]

ir

i^{2} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) = [−1] .

Du kompleksiniai skaičiai yra lygūs tada ir tik tada, kai lygios ju̧ realios ir menamos dalys:

( \begin{matrix}a_{1} & −b_{1} \\ b_{1} & a_{1} \end{matrix} ) = [a_{1}] + i [b_{1}] = [a_{2}] + i [b_{2}] = ( \begin{matrix}a_{2} & −b_{2} \\ b_{2} & a_{2} \end{matrix} ) ⇔ a_{1} = a_{2} ir b_{1} = b_{2}.

Iš čia tiesiogiai turime, kad kompleksinis skaičius lygus nuliui tada ir tik tada, kai jo realioji ir menamoji dalys lygios nuliui:

[a] + i [b] = [0] ⇔ a = 0 ir b = 0.

Realiu̧ kompleksiniu̧ skaičiu̧ aritmetika tokia pat kaip ir pačiu̧ realiu̧ skaičiu̧:

[a] + [b] = [a + b] ir [a] [b] = [ab] .

Realiu̧ kompleksiniu̧ skaičiu̧ aibė sudaro kūna̧. Skaitytojui paliekame savarankiškai i̧sitikinti, kad šiems skaičiams teisingos visos kūno aksiomos:

K1. ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]) . K2. [a] + [b] = [b] + [a] . K3. [a] + [0] = [a] . K4. [a] + [−a] = [0] . K5. ([a] [b]) [c] = [a] ([b] [c]) . K6. [a] [b] = [b] [a] . K7. [a] [1] = [a] . K8. Su visais a ≠ 0 teisinga [a] [a^{−1}] = [1] . K9. [a] ([b] + [c]) = [a] [b] + [a] [c] . K10. [0] ≠ [1] .

Pastebėsime, kad

[a] − [b] = [a] + (− [b]) = [a] + [−b] = [a − b] ir
\frac{[a]}{[b]} = [a] [b]^{−1} = [a] [b^{−1}] = [ab^{−1}] = [\frac{a}{b}] .

Taigi realius kompleksinius skaičius [a] galime sutapatinti su pačiais realiais skaičiais a ir kompleksini̧ skaičiu̧ [a] + i [b] žymėti tiesiog a + ib.

Žvilgtelkim i̧dėmiau i̧ pačiu̧ kompleksiniu̧ skaičiu̧ aritmetika̧. Dvieju̧ kompleksiniu̧ skaičiu̧ suma irgi yra kompleksinis skaičius:

(a_{1} + ib_{1}) + (a_{2} + ib_{2}) = (a_{1} + a_{2}) + i (b_{1} + b_{2}) .

Dvieju̧ kompleksiniu̧ skaičiu̧ sandauga irgi yra kompleksinis skaičius:

(a_{1} + ib_{1}) (a_{2} + ib_{2})

= a_{1} (a_{2} + ib_{2}) + (ib_{1}) (a_{2} + ib_{2}) = a_{1}a_{2} + a_{1} (ib_{2}) + (ib_{1}) a_{2} + (ib_{1}) (ib_{2})

= a_{1}a_{2} + ia_{1}b_{2} + ib_{1}a_{2} + i^{2}b_{1}b_{2} = (a_{1}a_{2} + (−1) b_{1}b_{2}) + i (a_{1}b_{2} + b_{1}a_{2}) = (a_{1}a_{2} − b_{1}b_{2}) + i (a_{1}b_{2} + b_{1}a_{2}) .

Skaitytojui paliekame savarankiškai i̧sitikinti, kad kompleksiniu̧ skaiču̧ aibė C sudėties ir sandaugos atžvilgiu sudaro kūna̧. Pastebėsime tik, kad kompleksinio skaičiaus a+ib priešingas skaičius yra (−a)+i (−b) , o jei a+ib ≠ 0, t.y. a^{2}+b^{2} ≠ 0, tai atvirkštinis kompleksinis skaičius yra (a + ib)^{−1} = c + id = \frac{a}{a^{2}+b^{2}} + i\frac{−b}{a^{2}+b^{2}} .

Geometrinis kompleksiniu̧ skaičiu̧ apibrėžimas. Kompleksiniu skaičiumi z vadiname realiu̧ju̧ skaičiu̧ pora̧ (a, b) , kuria̧ reikšiame lygybe z = a+ib; skaičius a vadinamas realia̧ja z dalimi ir žymimas a =Re(z) ; skaičius b vadinamas menama̧ja z dalimi ir žymimas b =Im(z) .

Iš apibrėžimo matome, kad kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + ib galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačiu̧ sistema, taška̧ (a, b) . Ši kompleksiniu̧ skaičiu̧ plokštuma dar vadinama Gauso skaičiu̧ plokštuma( Gauss’sche Zahlenebene) arba . Šis reiškimas pasiteisina jau ir tuo, kad pagrindiniai kompleksiniu̧ skaičiu̧ veiksmai paprastai interpretuojami geometriškai: dvieju̧ kompleksiniu̧ skaičiu̧ a + ib ir c + id sudėtis interpretuojama kaip dvimačiu̧ vektoriu̧ (a, b) ir (c, d) suma (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (prisiminkime lygiagretainio taisyklȩ).

Sandaugos veiksmo interpretacijai naudojamas trigonometrinis kompleksinio skaičiaus z = a + ib reiškimas, i̧vedant xy plokštumoje taško (a, b) polines koordinates [r, φ] : čia r− taško A = (a, b) atstumas iki taško O = (0, 0) , kuris vadinamas poliumi, o φ− kampas tarp teigiamos x− ašies ir spindulio OA. Pastebėsime, kad su kiekvienu r > 0 kampas φ yra apibrėžiamas 360^{∘} ( arba 2π) kampo kartotinio tikslumu; beto kai r = 0, kampas φ neapibrėžiamas. Taigi, kiekviena̧ kompleksini̧ skaičiu̧ z = a + ib galime reikšti:

z = [r, φ] , r ≥ 0, 0^{∘} ≤ φ < 360^{∘} ( 0 ≤ φ < 2π).

Ryšis tarp dvieju̧ kompleksinio skaičiaus z reiškimu̧ z = a + ib = (a, b) ir z = [r, φ] yra formulėse:

\{ \begin{matrix}a = r · cos φ \\ b = r · sin φ \end{matrix} ;

ir

\{ \begin{matrix}r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ r ≠ 0 \\ cos φ = \frac{a}{r} \\ sin φ = \frac{b}{r} \\ 0 ≤ φ < 2π \end{matrix} .

Kompleksinio skaičiaus z koordinatės polinėje koordinačiu̧ sistemoje [r, φ] yra vadinamos ir reiškiamos:

r = |z| − skaičiaus z modulis, φ = arg z− skaičiaus z argumentas.

Jeigu kompleksinio skaičiaus argumenta̧ neapribosime intervalu [0, 2π), tai du kompleksiniai skaičiai z_{1} = [r_{1}, φ_{1}] ir z_{2} = [r_{2}, φ_{2}] yra lygūs tada ir tik tada, kada

arba r_{1} = r_{2} = 0 ir φ_{1}, φ_{2}− bet kokie kampai, arba r_{1} = r_{2} ir φ_{1} = φ_{2} + k · 2π su visais k ∈ Z. Gri̧žkime prie geometrinės sandaugos veiksmo interpretacijos. Tegu

z_{1} = [r_{1}, φ_{1}] = r_{1} cos φ_{1} + ir_{1} sin φ_{1}

ir

z_{2} = [r_{2}, φ_{2}] = r_{2} cos φ_{2} + ir_{2} sin φ_{2}.

Tada z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2} ((cos φ_{1} cos φ_{2} − sin φ_{1} sin φ_{2}) + i (cos φ_{1} sin φ_{2} + sin φ_{1} cos φ_{2})) =

r_{1}r_{2} (cos (φ_{1} + φ_{2}) + i sin (φ_{1} + φ_{2}))

ir todėl z_{1}z_{2} = [r_{1}r_{2}, φ_{1} + φ_{2}] , t.y.

\{ \begin{matrix}|z_{1}z_{2}| & = |z_{1}| · |z_{2}| \\ arg (z_{1}z_{2}) & = arg z_{1} + arg z_{2} \end{matrix} .

Skaičiaus z_{1} sandauga su skaičiumi z_{2} geometriškai galime interpretuoti kaip skaičiaus z_{1} posūki̧ kampu φ_{2} ir ”ištempima̧” r_{2} kartus. Toks kompleksiniu̧ skaičiu̧ sandaugos interpretavimas nesunkiai leidžia paaiškinti skaičiaus z ≠ 0 atvirkštinio

skaičiaus z^{−1} = \frac{1}{z} geometrinȩ prasmȩ.

Apibrėžimas. Tegu z = a + ib ∈ C. Skaičius z̄ = a − ib ∈ C vadinamas skaičiaus z jungtiniu skaičiumi.

Yra teisingos šios lygybės:

\frac{z + z̄}{2} = Re(z) , \frac{z − z̄}{2i} = Im(z) , z · z̄ = |z|^{2}.

Išraiška N (z) = z · z̄ = |z|^{2} vadinama skaičiaus z norma. Tegu dabar

z = [r, φ] , o z^{−1} = [q, ψ] .

Tada

z · z^{−1} = [r, φ] · [q, ψ] = [r · q, φ + ψ] = 1 = [1, 0] ,

t.y.

r · q = 1, φ + ψ = 0 + 2πk, k ∈ Z,

ir

q = r^{−1}, ψ = −φ + 2πk, k ∈ Z ir pvz. ψ = −φ.

Atsižvelgȩ i̧ tai, kad cos (−φ) = cos φ, o sin (−φ) = − sin φ, turime, kad

z = r (cos φ + i sin φ) , r ≠ 0 ⇒ \{ \begin{matrix}z^{−1} = r^{−1} (cos φ − i sin φ) \\ z̄ = r (cos φ − i sin φ) \end{matrix} \} ⇒ z · z̄ = r^{2}

⇒ \frac{1}{z} = \frac{z̄}{z · z̄} = \frac{z̄}{r^{2}} .

Tegu dabar z_{1} = [r_{1}, φ_{1}] ir z_{2} = [r_{2}, φ_{2}] , z_{2} ≠ 0( t.y. r_{2} ≠ 0). Tada

\frac{z_{1}}{z_{2}} = [\frac{r_{1}}{r_{2}} , φ_{1} − φ_{2}] .

Dabar induktyviai apibrėšime kompleksinio skaičiaus z laipsni̧ z^{n}, n ∈ N :

z^{0} = 1, z^{n+1} = z^{n} · z su visais n ∈ N.

Tada

z = [r, φ] ⇒ r^{n} = [r^{n}, n · φ] su visais n ∈ N.

Žinodami, kad z^{−1} = [r^{−1}, −φ] ir z^{−n} = (z^{−1})^{n} , tai

z = [r, φ] ⇒ r^{−n} = [r^{−n}, −n · φ] su visais n ∈ N.

Taigi

z = [r, φ] ⇒ z^{n} = [r^{n}, n · φ] su visais n ∈ Z,

t.y.

z = r (cos φ + i sin φ) ⇒ z^{n} = r^{n} (cos nφ + i sin nφ) su visiais n ∈ Z.

Ši išraiška vadinama Muavro (Abraham de Moivre,1667-1754) formule. Apibrėšime dabar šaknies traukimo veiksma̧ iš kompleksinio skaičiaus.

Apibrėžimas. n− ojo laipsnio šaknimi iš kompleksinio skaičiaus z vadiname tokius kompleksinius skaičius w, kuriems teisinga lygybė w^{n} = z .

Parodysime, kad egzistuoja lygiai n, n ≥ 2, n - ojo laipsnio šaknu̧ iš kompleksinio skaičiaus z.

Tegu

z = [r, φ] = r (cos φ + i sin φ) , o w = [q, ψ] = q (cos ψ + i sin ψ) ir w^{n} = z.

Tada

[q^{n}, n · ψ] = [r, φ] .

Jeigu z = 0, tai ir r = 0, todėl q^{n} = 0 ⇒ q = 0, t.y. w = 0. Jeigu z ≠ 0, tai ir r ≠ 0, todėl

q^{n} = r, n · ψ = φ + 2πk, k ∈ Z

⇒ q = ^{n} \sqrt{r}, ψ = \frac{φ + 2πk}{n} , k ∈ Z..

Jeigu k_{1}, k_{2} ∈ Z, tai iš lygybės

\frac{φ + 2πk_{1}}{n} = \frac{φ + 2πk_{2}}{n} + 2π · l, l ∈ Z

turime, kad

k_{1} − k_{2} = l · n su kažkuriuo l ∈ Z.
k_{1} − k_{2} dalijasi iš n.

Gavome: jeigu z ≠ 0 ir z = r (cos φ + i sin φ) ∈ C, tai n− ojo laipsnio šaknimis yra kompleksiniai skaičiai

w_{k} = ^{n} \sqrt{r} (cos \frac{φ + 2πk}{n} + i sin \frac{φ + 2πk}{n} ) , k ∈ Z,

ir du tokie skaičiai w_{k_{1}} ir w_{k_{2}} yra lygūs tada ir tik tada, kada k_{1} − k_{2} dalijasi iš n. Visos skirtingos n− ojo laipsnio šaknys iš kompleksinio skaičiaus z yra w_{0}, w_{1}, ..., w_{n−1}.

Teiginys. Tegu z = a + ib, z_{1}, z_{2} ∈ C. Tada yra teisingos šios savybės.

1) \overline{\binom{}{z̄}} = z,

\overline{z_{1} + z_{2}} = z̄_{1} + z̄_{2}, atskiru atveju \overline{−z} = −z̄.

\overline{z_{1} · z_{2}} = z̄_{1} · z̄_{2}, atskiru atveju \overline{(\frac{1}{z})} = \frac{1}{z̄}.

2) Jeigu N (z) = z · z̄ = |z|^{2}, tai

N (z_{1} · z_{2}) = N (z_{1}) · N (z_{2}) ir N (\frac{z_{1}}{z_{2}} ) = \frac{N (z_{1})}{N (z_{2})} su visiais z_{2} ≠ 0.

3) Jeigu |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{z · z̄}, tai

|z_{1} · z_{2}| = |z_{1}| · |z_{2}| ,

|\frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} su visiais z_{2} ≠ 0.

4) (Trikampio nelygybė).

|z_{1} + z_{2}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}| .

I̧rodymas. I̧rodysime trikampio nelygybȩ:

|z_{1} + z_{2}|^{2} = (z_{1} + z_{2}) · (z̄_{1} + z̄_{2}) = |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} + z_{1} · z̄_{2} + z̄_{1} · z_{2} = |z_{1}|^{2} + 2Re(z_{1} · z̄_{2}) + |z_{2}|^{2} ≤ |z_{1}|^{2} + 2 |z_{1} · z̄_{2}| + |z_{2}|^{2} = |z_{1}|^{2} + 2 |z_{1} · z_{2}| + |z_{2}|^{2} =

(|z_{1}| + |z_{2}|)^{2} .

Ištraukȩ aritmetinȩ kvadratinȩ šakni̧, turėsime

|z_{1} + z_{2}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}| .

I̧rodyta. Išvados. Iš trikampio nelygybės turime

|z_{1} − z_{2}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}|

\begin{matrix}|z_{1} + z_{2}| ≥ |z_{1}| − |z_{2}| \\ |z_{1} + z_{2}| ≥ |z_{2}| − |z_{1}| \end{matrix} \} ⇒ |z_{1} + z_{2}| ≥ ||z_{1}| − |z_{2}||

taigi su visais z_{1}, z_{2} ∈ C yra teisinga ||z_{1}| − |z_{2}|| ≤ |z_{1} ± z_{2}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}| .