Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas.Rimantas Grigutis

2 paskaita(2002 09 13): Dekarto koordinačiu̧ sistema.Kreivės lygties savoka. Kreiviu̧ susikirtimo taškai. Bendroji tiesės lygtis ax+by+c = 0 su i̧rodymu. Dvieju̧ tiesiu̧ sankirtos taškai.

Plokštuma xy, tai plokštuma, kurioje pravestos dvi statmenos viena kitai tiesės Ox ir Oy, susikertančios taške O. Taškas O dalija kiekviena̧ iš šiu̧ tiesiu̧ i̧ du spindulius: viena̧ iš ju̧ kiekvienoje tiesėje vadiname teigiama kryptimi, kita̧ - neigiama.

Dekarto koordinačiu̧ sistema, tai xy plokštuma, kurioje su kiekviena skaičiu̧ pora x, y galima vienareikšmiškai susieti plokštumos xy taška̧ A, kurio abscisė yra x, o ordinatė - y.

Tegu dabar xy plokštumoje yra kreivė γ. Sakysime, kad lygtis f (x, y) = 0 yra duotos kreivės lygtis, jeigu 1) visu̧ kreivės γ takšu̧ koordinatėsx ir y tenkina šia̧ lygti̧ ir 2) skaičiu̧ pora x, y, tenkinanti lygti̧ f (x, y) = 0, yra kreivės γ taško koordinatės.

Tegu plokštumoje xy duotos dvi kreivės:

kreivė γ_{1} ir jos lygtis f_{1} (x, y) = 0;

kreivė γ_{2} ir jos lygtis f_{2} (x, y) = 0.

Tegu A (x, y) yra kreiviu̧ γ_{1} ir γ_{2} susikirtimo taškas. Tada taško koordinatės tenkina tiek lygti̧ f_{1} (x, y) = 0, tiek lygti̧ f_{2} (x, y) = 0, t.y. skaičiu̧ x, y pora

yra sistemos \{ \begin{matrix}f_{1} (x, y) = 0 \\ f_{2} (x, y) = 0 \end{matrix} sprendinys. Akivaizdu, kad teisingas ir atvirkščias

teiginys: bet kuris sistemos sprendinys x, y atitinka kreiviu̧ susikirtimo taška̧ A, kurio koordinatės yra x, y (i̧rodykite!).

Aptarsime dabar paprasčiausia̧ kreivės pavyzdi̧ - tiesȩ.

Tiesioginė teorema. Bet kurios tiesės t lygtis yra ax+by+c = 0, čia a, b, c− skaičiai.

Atvirkštinė teorema. Tegu a ir b - du kartu nelygūs skaičiai (a^{2} + b^{2} > 0). Tada egzistuoja tokia tiesė, kurios lygtis yra ax + by + c = 0.

Tiesioginės teoremos i̧rodymas. Tegu B (x_{1}, y_{1}) ir C (x_{2}, y_{2}) - du simetriški tiesės t atžvilgiu taškai. Remiantis trikampiu̧ lygumo požymiais ir lygiašonio trikampio sa̧vybėmis turime ,kad taškas A (x, y) yra tiesės t taškas tada ir tik tada, kada BA = CA (i̧rodykite!). Todėl tiesės lygtis yra

(x − x_{1})^{2} + (y − y_{1})^{2} = (x − x_{2})^{2} + (y − y_{2})^{2} .

Suprastinus turėsime

2 (x_{2} − x_{1}) x + 2 (y_{2} − y_{1}) y + (x_{1}^{2} + y_{1}^{2} − x_{2}^{2} − y_{2}^{2}) = 0.

I̧rodyta.

Atvirkštinės teoremos i̧rodymas. Tegu plokštumos xy skirtingu̧ tašku̧ M (m_{1}, m_{2}) ir N (n_{1}, n_{2}) koordinatės yra

lygties ax + by + c = 0 sprendiniai, o tiesės MN lygtis yra a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0. Tada tašku̧ M ir N koordinatės yra lygčiu̧ sistemos

\{ \begin{matrix}ax + by + c = 0 \\ a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 \end{matrix} (1)

sprendiniai. Taškai M ir N yra skirtingi, todėl skiriasi nors viena šiu̧ tašku̧ koordinatė, sakykime m_{1} ≠ n_{1}. Padauginkime (1) sistemos pirma̧ja̧ lygti̧ iš b_{1}, o antra̧ja̧ - iš −b ir sudėkime gautas lygtis. Turėsime

(ab_{1} − a_{1}b) x + (cb_{1} − c_{1}b) = 0.

Šios lygties sprendiniais yra du skirtingi skaičiai m_{1} ir n_{1}, todėl

(ab_{1} − a_{1}b) = 0 ir (cb_{1} − c_{1}b) = 0 , t.y.

sistemos (1) lygtys yra ekvivalentiškos ir tiesės

ax + by + c = 0 ir a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0

sutampa. I̧rodyta.

Dvieju̧ tiesiu̧ susikirtimo taškai. Tegu plokštumoje duotos dvi tiesės t_{1} ir t_{2}, kuriu̧ lygtys atinkamai

a_{1}x + b_{1}y = c_{1} ir a_{2}x + b_{2}y = c_{2}.

Susikirtimo tašku̧ koordinatės yra sistemos

\{ \begin{matrix}a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{matrix} (2)

sprendiniai. Surasime tiesiu̧ t_{1} ir t_{2} susikirtimo taškus. Tegu A(x, y) yra tiesiu̧ t_{1} ir t_{2} susikirtimo taškas. Išreikškime taško A koordinates x ir y sistemos (2) koeficientais a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}.

Padauginkime pirma̧ja̧ lygti̧ iš b_{2}, antra̧ja̧ - iš −b_{1} ir sudėkimπe lygtis. Turėsime:

(a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}) x = c_{1}b_{2} − c_{2}b_{1}. (3)

Padauginkime dabar pirma̧ja̧ lygti̧ iš −a_{2}, antra̧ja̧ - iš a_{1} ir sudėkime lygtis. Turėsime:

(a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}) y = a_{1}c_{2} − a_{2}c_{1}.

Jeigu (a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}) ≠ 0, tai

x = \frac{c_{1}b_{2} − c_{2}b_{1}}{(a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1})} ir y = \frac{a_{1}c_{2} − a_{2}c_{1}}{(a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1})}.

Šiuo atveju turime viena̧ susikirtimo taška̧. Jeigu (a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}) = 0, tai galimi du atvejai: 1)c_{1}b_{2} − c_{2}b_{1} = 0 ir 2) c_{1}b_{2} − c_{2}b_{1} ≠ 0. Pirmuoju atveju sistemoje (2) yra dvi ekvivalenčios lygtys, t.y. tiesės t_{1} ir t_{2}

sutampa, t.y. yra be galo daug susikirtimo tašku̧.

Antruoju atveju sistema (2) neturi sprendiniu̧, nes iš (3) turime, kad 0 = c_{1}b_{2}− c_{2}b_{1} ≠ 0, t.y. tiesės t_{1} ir t_{2} neturi susikirtimo tašku̧ ir todėl jos yra lygiagrečios: t_{1}∥t_{2}.

Apibrėžimas. Lentelȩ ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} ) vadiname lygčiu̧ sistemos (2) matrica. Apibrėžimas. Išraiška̧ a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} vadiname matricos ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} ) determi-

nantu ir žymime:

a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} = | \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = det ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} ) .

Tuo atveju, kai tiesės kertasi viename taške, to taško koordinates galima užrašyti:

x = \begin{matrix}| & \begin{matrix}c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} & | \end{matrix} ir y = \begin{matrix}| & \begin{matrix}a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} & | \end{matrix}.

Toki̧ sistemos (2) sprendiniu̧ pavidala̧ vadina Cramer’io formulėmis.