1. VEIKSMAI SU POERDVIAIS.

1.1. Poerdviu̧ suma ir sankirta.

Apibrėžimas. Tegu U ir W yra vektorinės erdvės poerdviai.Tada ju̧ suma U + W vadinama aibė

U + W = {u + w|u ∈ U, w ∈ W } .

Poerdviu̧ U ir W sankirta U ∩ W vadinama aibė

U ∩ W = {v ∈ V |v ∈ U ir v ∈ W } .

Aišku, kad ir poerviu̧ suma ir poerdviu̧ sankirta yra poerdvis.

Pastaba. Poerdviu̧ suma U + W yra mažiausias V poerdvis, kuriame yra poerdviai U ir W.

Poerviu̧ sankirta U ∩ W yra didžiausias V poerdvis, esantis ir poedvyje U ir poerdvyje W.

Teorema. dim (U + W) + dim (U ∩ W) = dim U + dim W.

I̧rodymas. Pažymėkime U + W = P ir U ∩ W = R ; dim P = p ir dim R = r. Tegu e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}− poerdvio P bazė. Papildykime ja̧ iki poerdvio U bazės ir po-

erdvio V bazės. Tegu e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e_{r+1}, ..., e_{s}− U bazė, o e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e′_{r+1}, ..., e′_{t}− V bazė. Parodysime, kad vektoriu̧ sistema e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e_{r+1}, ..., e_{s}, e′_{r+1}, ..., e′_{t}− poerdvio U + V bazė. Reikia i̧rodyti, kad ši sistema yra generuojanti ir tiesiškai nepriklausoma sisitema.

Tegu v− bet kuris poerdvio P = U + V vektorius, t.y. v = u + v , čia u ∈ U, v ∈ V. Taigi, u = a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{r}e_{r} + a_{r+1}e_{r+1} + ⋯ + a_{s}e_{s} ir v = b_{1}e_{1} + ⋯ + b_{r}e_{r} + b_{r+1}e′_{r+1} + ⋯ + b_{t}e′_{t} . Turime v = (a_{1} + b_{1})e_{1} + ⋯ + (a_{r} + b_{r})e_{r} + a_{r+1}e_{r+1} + ⋯+a_{s}e_{s} +b_{r+1}e′_{r+1} +⋯+b_{t}e′_{t} ir todėl vektoriai e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e_{r+1}, ..., e_{s}, e′_{r+1}, ..., e′_{t} generuoja P.

I̧rodysime sistemos tiesiška̧ nepriklausomybȩ. Tegu c_{1}e_{1}+⋯+c_{r}e_{r}+c_{r+1}e_{r+1}+ ⋯ + c_{s}e_{s} + c′_{r+1}e′_{r+1} + ⋯ + c′_{t}e′_{t} = 0.

Tada u = c_{1}e_{1} + ⋯ + c_{r}e_{r} + c_{r+1}e_{r+1} + ⋯ + c_{s}e_{s} = −c′_{r+1}e′_{r+1} − ⋯ − c′_{t}e′_{t} ∈ R ir todėl u = a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{r}e_{r}. Turime a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{r}e_{r} = −c′_{r+1}e′_{r+1} − ⋯ − c′_{t}e′_{t} , a_{1}e_{1}+⋯+a_{r}e_{r}+c′_{r+1}e′_{r+1}+⋯+c′_{t}e′_{t} = 0 ir a_{1} = ⋯ = a_{r} = c′_{r+1} = ⋯ = c′_{t} = 0

, nes vektoriai e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e′_{r+1}, ..., e′_{t}− tiesiškai nepriklausoma sistema( V − bazė). Taigi, u = 0.

Turime c_{1}e_{1}+⋯+c_{r}e_{r}+c_{r+1}e_{r+1}+⋯+c_{s}e_{s} = 0 ir c_{1} = ⋯ = c_{r} = c_{r+1} = ⋯ = c_{s} = 0, nes vektoriai e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e_{r+1}, ..., e_{s}− tiesiškai nepriklausoma sistema( U− bazė).

I̧rodėme sistemos tiesiška̧ nepriklausomybȩ ir tuo pačiu tai ,kad ji yra U + V bazė. Poerdviu̧ U, V , P ir R turime lygybes:

dim U + V = s + t − r = dim U + dim V − dim U ∩ V.

I̧rodyta.

Paskutinioji teorema formuoja mūsu̧ intuicija̧ apie poerdviu̧ padėti̧ daugiamatėse vektorinėse erdvėse.

[.......]

1.2. Poerdviu̧ tiesioginė suma ir faktorerdvė.

Apibrėžimas. Tegu U ir W yra vektorinės erdvės poerdviai.Tada ju̧ suma U + W vadinama tiesiogine suma U ⊕ W,jeigu bet kurio U + W vektoriaus reiškimas vektoriu̧ iš U ir W suma yra vienintėlis.

Paskutinis apibrėžimas ekvivalentiškas sa̧lygai: iš lygybės u + w = 0 ,u ∈ U, w ∈ W turime u = 0 ir w = 0.

Teiginys. Suma U + W yra tiesioginė tada ir tik tada, kai U ∩ W = 0.

I̧rodymas.[...........]

Teiginys. Suma U + W yra tiesioginė tada ir tik tada, kai sumos bazė yraU ir W baziu̧ sa̧junga.

I̧rodymas.[..........]

Apibrėžimas. Tegu U_{1},U_{2}, ..., U_{k} yra vektorinės erdvės poerdviai.Tada ju̧ suma U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{k} vadinama tiesiogine suma U_{1} ⊕ U_{2} ⊕ ⋯ ⊕ U_{k} ,jeigu bet kurio U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{k} vektoriaus reiškimas vektoriu̧ iš U_{1},U_{2}, ..., U_{k} suma yra vienintėlis.

Paskutinis apibrėžimas ekvivalentiškas sa̧lygai: iš lygybės u_{1} + u_{2} + ⋯ + u_{k} , u_{i} ∈ U_{i}, turime u_{i} = 0.

Paskutini̧ji̧ teigini̧ galima apibendrinti baigtiniai poerdviu̧ sumai.

Teiginys. Suma U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{n} yra tiesioginė tada ir tik tada, kai

∀i U_{i} ∩ (U_{1} + ⋯ U_{i−1} + U_{i+1} + ⋯ + U_{n}) = 0.

I̧rodymas. Be i̧rodymo.

Teiginys. Suma U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{k} yra tiesioginė tada ir tik tada, kai sumos bazė yra U_{1},U_{2}, ..., U_{k} baziu̧ sa̧junga.

I̧rodymas. Be i̧rodymo.

Uždavinys. Tegu V = U ⊕ W. Tada poerdvis U vadinamas poerdvio W tiesioginiu papildiniu.

Ar kievienam vektorinės erdvės poerdviui egzistuoja tiesioginis papildinys?

Jeigu egzistuoja tai ar vienintėlis šis tiesioginis papildinys?

Atsakymus pagri̧skite.

I̧rodyti paliekama studentams□ Apibrėžimas. Tegu U yra vektorinės erdvės V poerdvis. Vektoriu̧ sistema

v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} vadinama tiesiškai nepriklausoma poerdvio U atžvil- giu sistema ( t.n.mod U sistema ), jeigu kai α_{1}v_{1} + α_{2}v_{2} + ⋯ + α_{k}v_{k} ∈ U , tai α_{1} = α_{2} = ⋯ = α_{n} = 0.

Teiginys. Vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} yra t.n. mod U sistema tada ir tik tada, kai vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k}, u_{1}, ..., u_{m}, čia u_{1}, ..., u_{m} - poerdvio U bazė, yra tiesiškai nepriklausoma.

I̧rodymas.◇

Apibrėžimas. Vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} vadinama baze poerdvio U atžvilgiu ( baze modU ) jeigu bet kuris vektorius v ∈ V yra lygus v = α_{1}v_{1} + α_{2}v_{2} + ⋯ + α_{k}v_{k} + u , čia u ∈ U.

Teiginys. Vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} yra bazė poerdvio U atžvilgiu tada ir tik tada, kai vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k}, u_{1}, ..., u_{m},čia u_{1}, ..., u_{m} - poerdvio U bazė, yra vektorinės erdvės V bazė.

I̧rodymas.◇

Pastaba. Jeigu u_{1}, ..., u_{m} - poerdvio U bazė, tai bet kuri vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} papildanti šia̧ sistema̧ iki vektorinės erdvės V bazės yra bazė poerdvio U atžvilgiu.

Apibrėžimas. Sakysime, kad vektoriai v_{1} ir v_{2} lygsta poerdvio U atžvilgiu, jeigu v_{1} − v_{2} ∈ U. Žymėsime v_{1} ≡ v_{2} (U) .

Šio ekvivalentumo sa̧ryšio dėka vektorinė erdvė V suskyla i̧ ekvivalentumo klases, kurios savo ruoštu sudaro nauja̧ vektorinȩ erdvȩ, vadinama̧ faktorerdve ir žymima V/U . Faktorerdvės elementus žymėsime v̄ , čia v - klasės atstovas.

Teiginys. Jeigu vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} yra baze poerdvio U atžvilgiu, tai sistema v̄_{1}, v̄_{2}, ..., v̄_{k} yra V/U bazė.

Jeigu sistema v̄_{1}, v̄_{2}, ..., v̄_{k} yra V/U bazė, o v_{1} ∈ v̄_{1}, v_{2} ∈ v̄_{2}, ..., v_{n} ∈ v̄_{n} , tai vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} yra baze poerdvio U atžvilgiu.

I̧rodymas.[...........]