1. SIMETRINĖS IR ERMITO MATRICOS.

Apibrėžimas. Kvadratinės matricos A charakteristiniu polinomu vadinamas determinantas χ_{A} (t) = det (A − tE) . Charakteristinio polinomo χ_{A} (t) šaknys vadinamos tikrinėmis matricos A reikšmėmis.

Aišku, kad λ− tikrinė matricos A reikšmė tada ir tik tada, kai tiesiniu̧ lygčiu̧

sistema A ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) = λ ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) ⟺ (A − λE) ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ ... \\ 0 \end{matrix} ) turi nenulini̧

sprendini̧. Šis sprendiniu̧ stulpelis ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) vadinamas tikriniu matricos A stulpeliu

atitinkančiu tikrinȩ reikšmȩ λ.

Pastaba. Kompleksiniu̧ skaičiu̧ kūnas C yra algebriškai uždaras, todėl su kiekviena kompleksine matrica A polinomas χ_{A} (t) = det (A − tE) turi šakni̧, t.y. matrica A turi nors viena̧ tikrinȩ reikšmȩ λ, o homogeninė tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema

(A − λE) ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ ... \\ 0 \end{matrix} ) turi nenulini̧ sprendini̧, t.y. matrica A turi nors viena̧

nenulini̧ tikrini̧ stulpeli̧ atitinkanti̧ tikrinȩ reikšmȩ λ.

Apibrėžimas. Realioji matrica A vadinama simetrine matrica, jeigu A^{T} = A.

Kompleksinė matrica A vadinama Ermito matrica, jeigu A^{T} = Ā.

Aišku, kad simetrinė matrica yra Ermito matrica.

Teorema 4. Visos Ermito( simetrinės) matricos tikrinės reikšmės yra realieji skaičiai.

I̧rodymas. Tegu A− Ermito matrica, λ− tikrinė matricos A reikšmė, o

( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) − tikrinis stulpelis ( nenulinis)atitinkantis tikrinȩ reikšmȩ λ :

(1) A ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) = λ ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) .

Atlikime * veiksma̧ abiejose šios lygybės pusėse

(A ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ))^{∗} = (λ ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ))^{∗}

. (x̄_{1}, ..., x̄_{n}) A^{∗} = (x̄_{1}, ..., x̄_{n}) λ̄

(2) (x̄_{1}, ..., x̄_{n}) A = (x̄_{1}, ..., x̄_{n}) λ̄. Padauginkime (1) iš kairės iš eilutės (x̄_{1}, ..., x̄_{n}) :

(x̄_{1}, ..., x̄_{n}) A ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) = (x̄_{1}, ..., x̄_{n}) λ ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} )

= λ (x̄_{1}x_{1} + ⋯ + x̄_{n}x_{n}) = λ (|x_{1}|^{2} + ⋯ |x_{n}|^{2}) .

Padauginkime (2) iš dešinės iš stulpelio ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) :

(x̄_{1}, ..., x̄_{n}) A ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) = (x̄_{1}, ..., x̄_{n}) λ̄ ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} )

= λ̄ (x̄_{1}x_{1} + ⋯ + x̄_{n}x_{n}) = λ̄ (|x_{1}|^{2} + ⋯ |x_{n}|^{2}) .

Turime, λ (|x_{1}|^{2} + ⋯ |x_{n}|^{2}) = λ̄ (|x_{1}|^{2} + ⋯ |x_{n}|^{2}) ⟺ λ = λ̄ , nes |x_{1}|^{2} + ⋯ |x_{n}|^{2} > 0. Taigi , λ− realusis skaičius. I̧rodyta.

Pastaba. Polinomai, kurie yra Ermito arba simetriniu̧ matricu̧ charakteringieji polinomai, turi tik realia̧sias šaknis.

Mums prireiks tokio teiginio:

Lema. Jeigu F − unitarioji( ortogonalioji) matrica, tai ir matrica ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F ) −

unitarioji( ortogonalioji).

I̧rodymas. ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F )^{∗} ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F ) = ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F^{∗} ) ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F )

= ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F^{∗}F ) = ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; E_{n−1} ) = E_{n}.

Teorema 5. Tegu A - Ermito ( atitinkamai, simetrinė ) matrica. Tada egzistuoja tokia unitarioji ( atitinkamai, ortogonalioji ) matrica C, kad C^{−1}AC = C^{∗}AC ( atitinkamai, C^{−1}AC = C^{T} AC ) yra realioji i̧strižaininė matrica. I̧strižai-

nėje yra visos matricos A tikrinės reikšmės, i̧skaitant kartotinuma̧. I̧rodymas. Indukcija pagal maricos A eilȩ n.

Tegu A− Ermito matrica, λ− tikrinė matricos A reikšmė, o ( \begin{matrix}c_{1} \\ ... \\ c_{n} \end{matrix} ) − tikrinis

\underline{normuotas} stulpelis ( nenulinis)atitinkantis tikrinȩ reikšmȩ λ :

A ( \begin{matrix}c_{1} \\ ... \\ c_{n} \end{matrix} ) = λ ( \begin{matrix}c_{1} \\ ... \\ c_{n} \end{matrix} ) , c̄_{1}c_{1} + ⋯ + c̄_{n}c_{n} = 1.

Jeigu C_{1} = ( \begin{matrix}c_{1} \\ ... \\ c_{n} \end{matrix} ) , tai C_{1}^{∗}C_{1} = 1 ir pagal teorema̧ 4 stulpeli̧ C_{1} galima

papildyti iki unitariosios matricos D = (C_{1}|B) : D^{∗}D = E_{n} .

Turime D^{∗}AD = D^{∗}A (C_{1}|B) = D^{∗} (AC_{1}|AB) = (D^{∗}AC_{1}|D^{∗}AB) =

(D^{∗}λC_{1}|D^{∗}AB) = (λD^{∗}C_{1}|D^{∗}AB) = ( \begin{matrix}λ \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{matrix} | Y ) ,

nes E_{n} = D^{∗}D = D^{∗} (C_{1}|B) = (D^{∗}C_{1}|D^{∗}B) ⟹ D^{∗}C_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{matrix} ) .

Matrica D^{∗}AD− Ermito matrica: (D^{∗}AD)^{∗} = D^{∗}A^{∗}D^{∗∗} = D^{∗}AD. Tad turime

D^{∗}AD = ( \begin{matrix}λ \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{matrix} | \underline{0...0} ; A_{1} ) , čia A_{1}^{∗} = A_{1} , todėl pritaikȩ indukcijos prielaida̧

randame tokia̧ unitaria̧ja̧ matrica̧ F , kad F^{∗}A_{1}F = ( \begin{matrix}λ_{2} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{3} & ⋯ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ... & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) −

realioji diagonalinė matrica.

Pagal lema̧ matrica C := D ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F ) − unitarioji matrica ir

C^{∗}AC = (D ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F ))^{∗} AD ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F ) =

( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F^{∗} ) D^{∗}AD ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F ) = ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F^{∗} ) ( \begin{matrix}λ \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{matrix} | \underline{0...0} ; A_{1} ) ( \underline{1} ; O | \underline{O} ; F ) =

( \underline{λ} ; O | \underline{O} ; F^{∗}A_{1}F ) = ( \begin{matrix}λ & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ... & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) .

I̧rodyta.

Uždavinys. Matricas A ir B vadinsime panašiomis jeigu egzistuoja tokia neišsigimusi matrica C, kad B = C^{−1}AC. I̧rodykite, kad matricu̧ panašumas yra ekvivalentumo sa̧ryšis.

I̧rodyti paliekama studentams□

Jeigu unitariosios( ortogonaliosios) matricos C iš teoremos 5 stulpelius pažymė-

sime X_{1}, X_{2}, ..., X_{n} , tai

A (X_{1}|X_{2}|...|X_{n}) =(X_{1}|X_{2}|...|X_{n}) [λ_{1}, λ_{2}, ..., λ_{n}]
(AX_{1}|AX_{2}|...|AX_{n}) =(λ_{1}X_{1}|λ_{2}X_{2}|...|λ_{n}X_{n}),

čia λ_{1}, λ_{2}, ..., λ_{n} - tikrinės matricos A reikšmės. Matome , kad stulpeliai X_{1}, X_{2}, ..., X_{n} yra tikriniai stulpeliai atitinkantys tikrines reikšmes λ_{1}, λ_{2}, ..., λ_{n}. Tiesa, kai matrica turi kartotines tikrines reikšmes, ne kiekvienas tikriniu̧ stulpeliu̧ rinkinys yra poromis ortogonalieji stulpeliai.

Uždavinys. Realiosios simetrinės matricos tikriniai vektoriai-stulpeliai, atitinkantys skirtingas tikrines reikšmes, - ortogonalūs.

I̧rodyti paliekama studentams□ Patarimas. Pasinaudoti ortogonaliu̧ju̧ stulpeliu̧ X ir Y sa̧lyga: X^{T} Y = Y^{T} X = O. Tegu λ_{1} ir λ_{2}− dvi skirtingos simetrinės matricos A tikrinės reikšmės: AX_{1} = λ_{1}X_{1}, AX_{2} = λ_{2}X_{2}. Nagrinėkite skaičiu̧ a = X_{2}^{T} AX_{1} ir atkreipkite dėmesi̧ i̧ lygybȩ X_{2}^{T} A = λ_{2}X_{2}^{T} .

Pavyzdys. Simetrinei matricai A = ( \begin{matrix}3 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} ), tikriniai vektoriai:

[−1 ↔ ( \begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix} )] , [4 ↔ ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} )] randame ortogonalia̧ja̧ C = ( −\frac{2}{\sqrt{5}} \frac{1}{\sqrt{5}}^{\frac{1}{\sqrt{5}} \frac{2}{\sqrt{5}}} ) ,

kad C^{−1}AC = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} ) .