Polinis operatoriaus skaidinys.

Tegu operatoriaus A matrica A = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) .

1. A^{∗}A = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 2 \end{matrix} )^{T} ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}5 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} ) yra savijungis operatorius,

kurio tikrinės reikšmės: 2 ir 8, tikriniai vektoriai :

[2 ↔ ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) → ( −\frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}} )] , [8 ↔ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) → ( \frac{1}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}} )].

2. Ortonormuota tikriniu̧ vektoriu̧ bazė yra:

e_{1} = ( −\frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}} ) , e_{2} = ( \frac{1}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}} )

ir baziu̧ keitimo matrica yra

( −\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}} ) .

3.Operatoriaus A matrica bazėje e_{1}, e_{2} yra

A_{1} = ( −\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}}} )^{−1} ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) ( −\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}}} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 2 \end{matrix} )

4. Operatoriaus B , kuriam A = B^{2}, matrica yra B = ( \begin{matrix}\sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{8} \end{matrix} ) − teigia-

mai apibrėžta matrica.

5. Unitaraus operatoriaus matrica U = A_{1}B^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{8} \end{matrix} )^{−1} =

( \begin{matrix}\sqrt[\frac{1}{2}]{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} \\ −\frac{1}{2} \sqrt{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} \end{matrix} ),

tikrinės reikšmės: \frac{1}{2} \sqrt{2} + \frac{1}{2}i\sqrt{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{2}

6. Polinis matricos skaidinys yra

A_{1} = UB = (A_{1}B^{−1}) B.