1. ORTOGONALIOSIOS IR UNITARIOSIOS MATRICOS.

Apibrėžimas.Realioji eilutė (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) vadinama normuota, jeigu

a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2} = 1.

Dvi eilutės (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) ir (b_{1}, b_{2}, …, b_{n}) vadinamos ortogonaliomis jeigu

∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} = 0 .

Analogiškai apibrėžiami ortogonalūs stulpeliai. Ortogonaliosios matricos - tai matricos, kurios tenkina kuria̧ nors iš žemiau

pateiktos teoremos sa̧lygu̧.

Teorema 1. Tegu C - kvadratinė n × n matrica. Žemiau pateiktos sa̧lygos yra ekvivalentiškos.

1) C yra neišsigimusi matrica, kurios C^{−1} = C^{T} .

2) C · C^{T} = E .

3) C^{T} · C = E.

4) Matricos C eilutės yra normuotos ir poromis ortogonalios.

5) Matricos C stulpeliai yra normuoti ir poromis ortogonalūs. I̧rodymas.Akivaizdžios yra šios implikacijos: 1 ⟹ 2, 1 ⟹ 3. Ekvivalen-

tumai 2 ⟺ 4 ir 3 ⟺ 5 išplaukia iš matricu̧ sandaugos apibrėžimo. Belieka parodyti arba 2 ⟹ 1 arba 3 ⟹ 1.

Iš tikro: C · C^{T} = E ⟹ det (C · C^{T} ) = det E ⟹ det C · det C^{T} = 1 ⟹ det C ≠ 0. Taigi, matrica C yra neišsigimusi ir todėl turi atvirkštinȩ. Todėl C^{−1} (CC^{T} ) = C^{−1} ⟹ (C^{−1}C) C^{T} = C^{−1} ⟹ C^{T} = C^{−1}. 2 ⟹ 1 i̧rodyta.

Ortogonaliu̧ju̧ matricu̧ savybės.

1. Ortogonaliu̧ju̧ matricu̧ sandauga yra ortogonali matrica.

2. Ortogonaliosios matricos atvirkštinė matrica yra ortogonalioji matrica.

3. Vienetinė matrica E yra ortogonalioji matrica.

4. Ortogonaliosios matricos determinantas yra lygus ±1. I̧rodymas.1. Tegu A ir B - ortogonaliosios matricos, t.y. AA^{T} = E, A^{T} A =

E, BB^{T} = E, B^{T} B = E. Tada (AB) (AB)^{T} = (AB) (B^{T} A^{T} ) = A (BB^{T} ) A^{T} = AEA^{T} = AA^{T} = E.

2. Tegu A - ortogonalioji matrica, tada A^{T} = A^{−1}. Turime A^{−1} (A^{−1})^{T} = A^{T} (A^{T} )^{T} = A^{T} A = E.

3. EE^{T} = EE = E.

4. Tegu A - ortogonalioji matrica. Tada det AA^{T} = det E ⟹ det A det A^{T} = 1 ⟹ (det A)^{2} = 1 ⟹ det A = ±1.

Pastaba. Matricos ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) determinantas yra lygus 1 , bet matrica nėra

ortogonali.

Apibrėžimas. Ortogonalioji matrica C vadinama tikrine, jeigu det C = 1 ir netikrine, jeigu det C = −1.

Analogiškai apibrėžiamos unitariosios matricos . Apibrėžimas. Kompleksinė eilutė (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) vadinama normuota, jeigu a_{1}ā_{1} + a_{2}ā_{2} + ⋯ + a_{n}ā_{n} = 1. Dvi eilutės (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) ir (b_{1}, b_{2}, …, b_{n}) vadinamos ortogonaliomis jeigu

∑_{i=1}^{n} a_{i}b̄_{i} = 0 .

Unitariosios matricos - tai matricos, kurios tenkina kuria̧ nors iš žemiau pateiktos teoremos sa̧lygu̧.

Teorema 2. Tegu U - kvadratinė n × n matrica. Žemiau pateiktos sa̧lygos yra ekvivalentiškos.

1) U yra neišsigimusi matrica, kurios U^{−1} = \overline{U^{T}} .

2) U · \overline{U^{T}} = E .

3) \overline{U^{T}} · U = E.

4) Matricos U eilutės yra normuotos ir poromis ortogonalios.

5) Matricos U stulpeliai yra normuoti ir poromis ortogonalūs. I̧rodyti paliekama studentams.□ Unitariu̧ju̧ matricu̧ savybės.

1. Unitariu̧ju̧ matricu̧ sandauga yra unitarioji matrica.

2. Unitariosios matricos atvirkštinė matrica yra unitarioji matrica.

3. Vienetinė matrica E yra unitarioji matrica.

4. Unitariosios matricos determinanto modulis yra lygus 1. I̧rodyti paliekama studentams.□

Pavyzdys. Ortogonaliosios 2 × 2 matricos. Tegu C = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) - ortogo-

nali matrica. Tada (1) a_{11}^{2} + a_{21}^{2} = 1,

(2) a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} = 0,

(3) a_{12}^{2} + a_{22}^{2} = 1. Jeigu dvieju̧ realiu̧ju̧ skaičiu̧ kvadratu̧ suma lygi vienetui, tai egzistuoja toks

kampas φ, kad viena̧ iš šiu̧ skaičiu̧ galime reikšti cos φ, o kita̧ - ± sin φ. Taigi, tegu a_{11} = cos φ, tada iš (1) turėsime, kad a_{21} = ± sin φ. 1 atvejis: a_{21} = sin φ. Tada a_{12} = ρ · sin φ.

Iš (2) turime ρ sin φ cos φ + sin φ · a_{22} = 0, t.y. a_{22} = −ρ cos φ. Iš (3) išplaukia ρ^{2} sin^{2} φ + ρ^{2} cos^{2} φ = 1, t.y. ρ = ±1. Taip gauname dvi matricos C galimas išraiškas:

C_{1} = ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ sin φ & − cos φ \end{matrix} ) ir C_{2} = ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} ) .

2 atvejis: a_{21} = − sin φ. Elgdamiesi kaip ir aukščiau, gauname dvi matricos C galimas išraiškas:

C_{3} = ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ) ir C_{4} = ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ − sin φ & − cos φ \end{matrix} ) .

Kadangi − sin φ = sin (2π − φ), o cos φ = cos (2π − φ) , tai matricos C_{3} ir C_{4} yra matricu̧ C_{1} ir C_{2} atskiri atvejai.

Dabar pateiksime šiu̧ marticu̧ geometrinȩ interpretacija̧. Plokštumos R^{2} taškus (x, y) reikškime kompleksiniais skaičiais: z = x+iy. Šio

skaičiaus daugyba iš skaičiaus [1, φ] = cos φ+i sin φ geometriškai reiškia vektoriaus {x, y} posūki̧ kampu φ. Tačiau

u + iv = (cos φ + i sin φ) (x + iy)

⟺ \{ \begin{matrix}u = cos φ · x − sin φ · y \\ v = sin φ · x + cos φ · y \end{matrix} (x, y, u, v ∈ R)

⟺ ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) .

Taigi, matrica C_{2} atitinka posūki̧ kampu φ (matrica C_{3} atitinka posūki̧ kampu 2π − φ , t.y. kampu −φ.

Jeigu pirma kompleksini̧ skaičiu̧ z = x + iy pakeisime jungtiniu z̄ = x − iy ( geometriškai - tai simetrinis atvaizdis x−ašies atžvilgiu), o poto padauginsime iš [1, φ] = cos φ + i sin φ gausime

u + iv = (cos φ + i sin φ) \overline{(x + iy)}

⟺ \{ \begin{matrix}u = cos φ · x + sin φ · y \\ v = sin φ · x − cos φ · y \end{matrix} (x, y, u, v ∈ R)

⟺ ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) .

Taigi matrica C_{1} atitinka vektoriaus {x, y} dvieju̧ veiksmu̧ seka̧: pirma, simetriška̧ atvaizdi̧ x−ašies atžvilgiu, antra, posūki̧ kampu φ.

Kita teorema parodo kaip bet kuri̧ normuota̧ stulpeli̧ galima papildyti iki ortogonaliosios matricos.

Teorema 3. Tegu C_{1} - tokia kompleksinė (atitinkamai- realioji ) matrica, kad

C_{1}^{∗}C_{1} = E ( atitinkamai ,C_{1}^{T} C_{1} = E ), čia C_{1}^{∗} = \overline{C_{1}^{T}} .

Tada egzistuoja tokia kompleksinė ( atitinkamai- realioji) matrica X , kad matrica (C_{1} | X) yra unitarioji ( atitinkamai - ortogonalioji) matrica.

I̧rodymas. Tegu C_{1}− matrica iš teoremos teiginio turi n− eilučiu̧ ir m− stulpeliu̧. Tegu m < n (kai m = n - matrica C_{1} būtu̧ ortogonali ir nieko nereiktu̧ i̧rodynėti). I̧rodysime, kad galime surasti toki̧ stulpeli̧ D , kad

(C_{1}|D)^{∗} (C_{1}|D) = E_{m+1}. Turėtu̧ būti

(C_{1}|D)^{∗} (C_{1}|D) = ( \underline{C_{1}^{∗}} ; D^{∗} ) (C_{1}|D) = ( \begin{matrix}C_{1}^{∗}C_{1} & C_{1}^{∗}D \\ D^{∗}C_{1} & D^{∗}D \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}E_{m} & O \\ O & 1 \end{matrix} ) .

Lygybė C_{1}^{∗}C_{1} = E_{m} duota. Lygybė C_{1}^{∗}D = O− tai homogeninė m tiesiniu̧ lygčiu̧ su n nežinomu̧ju̧ sistema. Kadangi m < n ši sistema pagal Kronekerio-

Kapelio teorema̧ turi nenulini̧ sprendiniu̧ stulpeli̧ D′ = ( \begin{matrix}d′_{1} \\ ... \\ d′_{n} \end{matrix} ) ≠ O.

Normuokime stulpeli̧ D′ : D = \frac{1}{\sqrt{d}}D′ , čia d = d̄′_{1}d′_{1} + ⋯ + d̄′_{n}d′_{n} > 0. Turime: C_{1}^{∗}D = \sqrt{d} · C^{∗}D = O. D^{∗}C_{1} = (C_{1}^{∗}D)^{∗} = O, D^{∗}D = \frac{1}{d} (d̄′_{1}d′_{1} + ⋯ + d̄′_{n}d′_{n}) = 1.

Pavyzdys. ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) ⟶ ( \frac{1}{\sqrt{14}} ; \frac{2}{\sqrt{14}} ; \frac{3}{\sqrt{14}} ) ⟶ ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{14}} & −\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{3}{\sqrt{70}} \\ \frac{2}{\sqrt{14}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{6}{\sqrt{70}} \\ \frac{3}{\sqrt{14}} & 0 & −\frac{5}{\sqrt{70}} \end{matrix} ) .