1. TIESINIAI OPERATORIAI.

Apibrėžimas. Tiesinis atvaizdis A : V → V vadinamas tiesiniu operatoriumi vektorinėje erdvėje V.

Tegu A, B, C - tiesiniai operatoriai erdvėje V. Tada teisingos lygybės:

1. A+B = B + A.

2. (A + B) +C = A+ (B + C).

3. ∃O : A + O = A . Čia O (v) = 0 ∈ V.

4. ∀A ∃ (−A) : A+ (−A) = O.

5. (AB) C = A (BC) .

6. A (B + C) = AB + AC.

7. (A + B) C = AC + BC.

8. ∃E : AE = A , EA = A. Čia E (v) = v.

9. (λ + μ) A =λA+μA .

10. λ (A + B) = λA+λB .

11. 1·A = A .

12. (λμ) A =λ (μA) . Operatoriai vektorinėje erdvėje V sudaro algebrinȩ struktūra̧ - algebra̧ . Operatoriaus A natūralusis laipsnis apibrėžiamas induktyviai: A^{1} = A , A^{i+1} = (A^{i}) A , i = 1, 2, 3, ... . Jeigu f (x) = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} , tai f (A) = a_{n}A^{n} + ⋯ + a_{1}A + a_{0}E .

Pastebėsime, kad A (f (A)) = f (A) (A) = a_{n}A^{n+1} + a_{n−1}A^{n} ⋯ + a_{1}A^{2} + a_{0}A .

Apibrėžimas. Komutatyvi grupė G vadinama moduliu virš žiedo A ( arba tiesiog - A - moduliu), jeigu apibrėžta sandauga g · a , čia g ∈ G, a ∈ A ir išpildytos sa̧lygos:

1) (g_{1} + g_{2}) · a = g_{1} · a + g_{2} · a;

2) g · (a_{1} + a_{2}) = g · a_{1} + g · a_{2};

3) (g_{1}g_{2}) · a = g_{1} (g_{2} · a) ;

4) 1_{G} · a = a. Vektorinė erdvė V , kurioje apibrėžtas operatorius A, tampa k [x] moduliu : Jeigu f ∈ k [x] , tai fv := f (A) (v) ir

1) (f + g) v = (f + g) (A) = (f (A) + g (A)) v = f (A) v + g (A) v = f (v) + g (v) .

2) f (v_{1} + v_{2}) = f (A) (v_{1} + v_{2}) = f (A) v_{1} + f (A) v_{2} = fv_{1} + fv_{2}.

3) (fg) v = (fg) (A) v = (f (A) g (A)) v = f (A) (g (A) v) = f (A) (gv) = f (g) v.

4) 1_{k[x]}v = 1_{k[x]} (A) v = Ev = v.

Koks tiesinio operatoriaus A : V → V matricos paprasčiausias pavidalas? Dabar baziu̧ parinkimo laisvė nėra tokia didelė kaip tiesinio atvaizdžio atveju: vektorinėje erdvėje tenka rinktis viena̧ bazȩ. Norint surasti ta̧ vektorinės erdvės bazȩ, kurioje tiesinio operatoriaus matrica turi paprasčiausia̧ pavidala̧, teks nagrinėti ypatingus V poerdvius.Pastebėsime, kad visos operatoriaus A matrica turi pavidala̧ C^{−1}AC, čia A− operatoriaus A matrica kurioje nors bazėje, o C− neišsigimusi keitimo matrica, todėl visu̧ šiu̧ matricu̧ charakteristiniai polinomai yra lygūs. Šis polinomas vadinamas operatoriaus A charakteristiniu polinomu.

1.1. Invariantiniai poerdviai.

Apibrėžimas. Tegu A : V → V - tiesinis operatorius. Perdvis U ⊆ V vadinamas invariantiniu poerdviu, jeigu Au ∈ U su visais u ∈ U.

Tegu u_{1}, ..., u_{m}− invariantinio poerdvio U bazė. Papildykime šiuos tiesiškai nepriklausomus vektorius iki visos vektorinės erdvės V bazės: u_{1}, ..., u_{m}, v_{m+1}, ..., v_{n}. Tada operatoriaus A vaizdai šioje bazėje yra

A (u_{1}) = a_{11}u_{1} + ⋯ + a_{m1}u_{m} ... A (u_{m}) = a_{1m}u_{1} + ⋯ + a_{mm}u_{m} A (v_{m+1}) = a_{1,m+1}u_{1} + ⋯ + a_{m,m+1}u_{m} + a_{m+1,m+1}v_{m+1} + ⋯ + a_{n,m+1}v_{n} ... A (v_{n}) = a_{1,n}u_{1} + ⋯ + a_{mn}u_{m} + a_{m+1,n}v_{m+1} + ⋯ + a_{nn}v_{n}, t,y. A (u_{1}, ..., u_{m}, v_{m+1}, ..., v_{n}) =

(u_{1}, ..., u_{m}, v_{m+1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1m} & a_{1,m+1} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mm} & a_{m,m+1} & ⋯ & a_{mn} \\ 0 & ⋯ & 0 & a_{m+1,m+1} & ⋯ & a_{m+1,n} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & ⋯ & 0 & a_{n,m+1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) =

= ( \begin{matrix}A_{1} & B \\ O & A_{2} \end{matrix} ) ,

čia A_{1}− operatoriaus A matrica invariantiniame poerdvyje U ( vadiname operatoriaus A siauriniu invariantiniame poerdvyje U ir žymime A|_{U} ):

A|_{U} (u_{1}, ..., u_{m}) = (u_{1}, ..., u_{m}) A_{1}. Turime A (v_{m+1}) ≡ a_{m+1,m+1}v_{m+1} + ⋯ + a_{n,m+1}v_{n} (mod U)

...

A (v_{n}) ≡ a_{m+1,n}v_{m+1} + ⋯ + a_{nn}v_{n} (mod U) ,

todėl A_{2} yra operatoriaus ⪯ A: V/U → V/U matrica( operatorius ⪯ A vadinamas indukuotu faktorerdvėje operatoriumi). Šis operatorius apibrėžiamas formule ⪯ A\binom{}{v̄} = \overline{A (v)} , t.y. ⪯ A(v + U) = A (v)+U. Apibrėžimas yra korektiškas, nes jeigu v_{1} ≡ v_{2} (mod U) , t.y. v_{1} − v_{2} ∈ U, tai A (v_{1} − v_{2}) ∈ U ir A (v_{1}) ≡ A (v_{2}) (mod U) .

Teorema. Tegu A - operatorius vektorinėje erdvėje V, o U− invariantinis V poerdvis. Tada charakteristinis operatoriaus A polinomas χ_{A} (t) = χ_{A|_{U}} (t) · χ ⪯ A(t) .

I̧rodymas. χ_{A} (t) = det (tI_{n} − A) = det ( \begin{matrix}tI_{m} − A_{1} & B \\ O & tI_{n−m} − A_{2} \end{matrix} ) =

= det (tI_{m} − A_{1}) · det (tI_{n−m} − A_{2}) = χ_{A|_{U}} (t) · χ ⪯ A(t) .

I̧rodyta.

Operatoriaus A matrica supaprastėja, jeigu vektorinė erdvė V yra invariantiniu̧ poerdviu̧ tiesioginė suma: V = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{k}. Apjungȩ invariantiniu̧ poerdviu̧ U_{i} bazes, turėtume V bazȩ. Operatoriaus A matrica šioje bazėje yra

A = ( \begin{matrix}A_{1} & ⋯ & O \\ ⋯ & ... & ⋯ \\ O & ⋯ & A_{k} \end{matrix} ) , čia A_{1}, ..., A_{k} yra operatoriaus A siauriniu̧ invariantiniu-

ose poerdviuose U_{1}, ..., U_{k} matricos.

Norint supaprastinti operatoriaus matrica̧ stengsimes, kiek tai i̧manoma, vektorinȩ erdvȩ skaidyti invariantiniu̧ poerdviu̧ tiesiogine suma.

Dabar pateiksime pirmuosius invariantiniu̧ poerdviu̧ pavyzdžius.

Teorema. Tegu A - operatorius vektorinėje erdvėje V virš kūno k , o polinomas f (x) ∈ k [x] . Poerdviai ker f (A) ir imf (A) yra invarintiniai V poerdviai.

I̧rodymas. Tegu v ∈ ker f (A) , t.y. f (A) (v) = 0. Tada f (A) (A (v)) = A (f (A) (v)) = A (0) = 0 ir A (v) ∈ ker A. Gavome, kad ker f (A) yra invariantinis V poerdvis.

Tegu v ∈ imf (A) , t.y. v = f (A) (u) , čia u ∈ V. Tada A (v) = A (f (A) (u)) = f (A) (A (u)) , t.y. A (v) ∈ imf (A) . Gavome, kad imf (A) yra invariantinis V poerdvis.

I̧rodyta.

1.2. Cilkinis poerdvis ir minimalusis anuliatorius.

Dabar sukonstruosime paprasčiausia̧ invariantini̧ V poerdvi̧.

Tegu v ∈ V. Vektoriu̧ v, A (v) , A^{2} (v) , ... sekoje parinkime tiesiškai nepriklausoma̧ vektoriu̧ sistema̧ v, A (v) , A^{2} (v) , ..., A^{k−1} (v) taip, kad vektoriu̧ sistema v, A (v) , A^{2} (v) , ..., A^{k−1} (v) , A^{k} (v) jau būtu̧ tiesiškai priklausoma. Tada

A^{k} (v) = −a_{0}v − a_{1}A (v) − a_{2}A^{2} (v) − ⋯ − a_{k−1}A^{k−1} (v) ,

arba f (A) (v) = 0, čia f (t) = t^{k} + a_{k−1}t^{k−1} + a_{k−2}t^{k−2} + ⋯ + a_{2}t^{2} + a_{1}t + a_{0}. Vektoriu̧ v, A (v) , A^{2} (v) , ..., A^{k−1} (v) tiesinis apvalkalas P = [v, A (v) , A^{2} (v) , ..., A^{k−1} (v)] yra invariantinis V poerdvis. Jeigu v ∈ P,

tai v = b_{0}v + b_{1}A (v) + ⋯ + b_{k−1}A^{k−1} (v) ir A (v) = b_{0}A(v) + b_{1}A^{2} (v) + ⋯ + b_{k−2}A^{k−1} (v) + b_{k−1}A^{k} (v) =

= b_{0}A(v) + b_{1}A^{2} (v) + ⋯ + b_{k−2}A^{k−1} (v) +

+b_{k−1} (−a_{0}v − a_{1}A (v) − a_{2}A^{2} (v) − ⋯ − a_{k−1}A^{k−1} (v)) ∈ P.

Bet kuris invariantinis V poerdvis poerdvis U, kuriame yra vektorius v, turi taip pat ir vektorius A (v) , A^{2} (v) , ..., A^{k−1} (v) , t.y. U ⊇ P. Gavome, kad P yra mažiausias invariantinis poerdvis, turintis vektoriu̧ v.

Apibrėžimas. Mažiausias invariantinis poerdvis turintis vektoriu̧ v vadinamas cikliniu poerdviu, generuojamu vektoriumi v, ir žymimas ⟨v⟩ .

Apibrėžimas. Polinomas g (t) vadinamas vektoriaus v anuliatoriumi, jeigu g (A) (v) = 0.

Polinomas f (t) yra mažiausio laipsnio ir vienintėlis šio laipsnio unitarusis vektoriaus v anuliatorius. Tikrai, jeigu c_{0} + c_{1}t + ⋯ + c_{k−1}t^{k−1} yra vektoriaus v anuliatorius, tai c_{0}v + c_{1}A (v) + ⋯ + c_{k−1}A^{k−1} (v) = 0. Tai teisinga tik tada, kai c_{0} = c_{1} = ⋯ = c_{k−1} = 0, nes v, A (v) , A^{2} (v) , ..., A^{k−1} (v) − tiesiškai nepriklausoma sistema.

Apibrėžimas. Mažiausio laipsnio vektoriaus v anuliatorius vadinamas vektoriaus v minimaliuoju anuliatoriumi.

Teorema. Vektoriaus v bet kuris anuliatorius dalijasi iš vektoriaus v minimalaus anuliatoriaus.

I̧rodymas. Tegu g (t) − vektoriaus v anuliatorius, o f (t) − minimalisis vektoriaus v anuliatorius. Padalykime polinoma̧ g (t) iš polinomo f (t) su liekana: g (t) = q (t) f (t)+r (t) , čia deg r (t) < deg f (t) . Tada g (A) = q (A) f (A)+r (A) ir g (A) (v) = q (A) (f (A) (v)) + r (A) (v) = r (A) (v) = 0. Bet f (t) − minimalaus laipsnio vektoriaus v anuliatorius, todėl r (t) ≡ 0.

I̧rodyta.

1.3. Operatoriaus matrica cikliniame poerdvyje ir jos charakteristinis polinomas.

Tegu A : V → V - operatorius vektorinėje erdvėje, o P = ⟨v⟩ − ciklinis poerdvis, generuojamas vektoriumi v, kurio minimalusis anuliatorius yra polinomas f (t) = t^{k} + a_{k−1}t^{k−1} + ⋯ + a_{1}t + a_{0}. Viena iš poerdvio P baziu̧ - tai vektoriu̧ v, A (v) , A^{2} (v) , ..., A^{k−1} (v) sistema. Šios sistemos vaizdai operatoriaus atžvilgiu yra

A (v) =  A (v)
A (A (v)) =  A^{2} (v)
⋯
A (A^{k−2} (v)) =  A^{k−1} (v)
A (A^{k−1} (v)) = −a_{0}− a_{1}A (v) − a_{2}A^{2} (v) − ⋯ −a_{k−1}A^{k−1} (v)

ir operatoriaus A matrica šioje bazėje yra

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 & −a_{0} \\ 1 & 0 & ⋯ & 0 & −a_{1} \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 & −a_{2} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & −a_{k−1} \end{matrix} ) .

Apibrėžimas. Matrica A vadinama polinomo f (t) lydinčia̧ja matrica.

Teiginys. Operatorius A charakteristinis polinomas cikliniame poerdvyje ⟨v⟩ yra lygus vektoriaus v minimalia̧jam anuliatoriui: χ_{A|_{⟨v⟩}} (t) = f (t) .

I̧rodymas. Operatorius A charakteristinis polinomas cikliniame poerdvyje ⟨v⟩ yra lygus

χ_{A|_{⟨v⟩}} (t) = det ( \begin{matrix}t & 0 & ⋯ & 0 & a_{0} \\ −1 & t & ⋯ & 0 & a_{1} \\ 0 & −1 & ⋯ & 0 & a_{2} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & −1 & t + a_{k−1} \end{matrix} ) .

Prie determinanto pirmosiosios eilutės pridėkime antra̧ja̧, padauginta̧ iš t, trečia̧ja̧, padauginta̧ iš t^{2}, ..., paskutinia̧ja̧, padauginta̧ iš t^{k−1}. Gausime

χ_{A|_{⟨v⟩}} (t) = det ( \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 & f (t) \\ −1 & t & ⋯ & 0 & a_{1} \\ 0 & −1 & ⋯ & 0 & a_{2} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & −1 & t + a_{k−1} \end{matrix} ) =^{∗}

(−1)^{k+1} f (t) det ( \begin{matrix}−1 & t & ⋯ & 0 \\ 0 & −1 & ⋯ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & −1 \end{matrix} ) = (−1)^{k+1} (−1)^{k−1} f (t) = f (t) .

Lygybėje =^{∗} determinanta̧ skleidžiame paskutiniuoju stulpeliu.

I̧rodyta.

Išvada. Operatoriaus A charakteristinis polinomas χ_{A} (t) visoje vektorinėje erdvėje V dalijasi iš kiekvieno vektoriaus minimaliojo anuliatoriaus, t.y. šis polinomas yra kiekvieno vektoriaus anuliatorius ir todėl operatorius χ_{A} (A) yra nulinis operatorius erdvėje V : χ_{A} (A) = O. Šis faktas dar vadinamas Cayley- Hamilton’o teorema. Šios teoremos matricinis pavidalas yra toks: kiekviena kvadratinė matrica yra savo charakteristinio polinomo šaknimi: χ_{A} (A) = 0.

1.4. Operatoriaus minimalusis polinomas ir primarusis poerdvis.

Tegu A : V → V - operatorius erdvėje V, vektoriai v_{1}, ..., v_{n}− vektorinės erdvės V bazė, o f_{1} (t) , ..., f_{n} (t) - šiu̧ vektoriu̧ minimalieji anuliatoriai. Tegu polinomas f (t) yra polinomu̧ f_{1} (t) , ..., f_{n} (t) mažiausias bendras kartotinis:

f (t) =MBK(f_{1} (t) , ..., f_{n} (t)) .

Operatorius f (A) = O, nes

f (A) (a_{1}v_{1} + ⋯ a_{n}v_{n}) = a_{1}f (A) (v_{1}) + ⋯ + a_{n}f (A) (v_{n}) = 0,

čia a_{1}v_{1} + ⋯ a_{n}v_{n}− bet kuris V vektorius.

Polinomas f (t) yra mažiausio laipsnio polinomas, pasižymintis šia savybe: tai patikriname, taikydami dalumo su liekana teorema̧ polinomams ir mažiausio bendro kartotinio apibrėžimo.

Apibrėžimas.Polinomas f (t) vadinamas minimaliuoju operatoriaus A polinomu.

Minimalu̧ji̧ operatoriaus polinoma̧ galime gauti ir kitaip. Tegu vektorinė erdvė V yra lygi savo poerdviu̧ U_{1}, ..., U_{k} sumai( nebutinai tiesioginei): V = U_{1} + ⋯ + U_{k}. Tada operatoriaus A minimalusis polinomas yra lygus mažiausiam bendram minimaliu̧ju̧ operatoriaus A polinomu̧ poerdviuose U_{1}, ..., U_{k} dalikliui:

f_{A} (t) =BMK(f_{A|U_{1}} (t) , ..., f_{A|U_{k}} (t)) .

Iš Cayley-Hamiltono teoremos žinome, kad operatoriaus A charakterstinis polinomas χ_{A} (t) yra operatoriaus A anuliatorius: χ_{A} (A) = O. Todėl minimalusis operatoriaus A polinomas yra charaktristinio polinomo daliklis.

Prisiminkime, kad minimalusis operatoriaus polinomas ciklinėje vektorinėje erdvėje sutampa su charakteristiniu polinomu. Tokio operatoriaus matrica yra Frobeniuso matrica. Mes parodysime, kaip vektorinȩ erdvȩ suskaidyti cikliniu̧ poerdviu̧ tiesiogine suma.

Apibrėžimas. Vektorinė erdvė V virš kūno k su operatoriumi A vadinama primaria̧ja, jeigu minimalusis operatoriaus A polinomas šioje erdvėje yra neredukuojamo virš k polinomo laipsnis.

Vektorinȩ erdvȩ V galime suskaidyti primariu̧ju̧ invariantiniu̧ poerdviu̧ tiesiogine suma.

Teorema. Tegu f (t) − operatoriaus A minimalusis polinomas vektorinėje erdvėje V ir f (t) = p_{1}^{m_{1}} (t) ⋯ p_{k}^{m_{k}} (t) − polinomo f (t) kanonins skaidinys. Tada vektrorinė erdvė V yra primariu̧ju̧ invariantiniu̧ poerdviu̧ P_{1} = ker p_{1}^{m_{1}} (A) , ..., P_{k} = ker p_{k}^{m_{k}} (A) tiesioginė suma: V = P_{1} ⊕ ⋯ ⊕ P_{k}. Operatoriaus A minimalūs plonomai poerdviuose P_{1}, ..., P_{k} yra lygūs atitinkamai p_{1}^{m_{1}} (t) , ..., p_{k}^{m_{k}} (t) .

Be i̧rodymo.

Teorema. Primarioji vektorinė erdvė yra lygi cikliniu̧ primariu̧ju̧ poerdviu̧ tiesioginei sumai.

Paaiškinsime kaip toki̧ skaidini̧ gauti.

Tegu V - primarioji erdvė operatoriaus A : V → V atžvilgiu ir p^{m} (t) − minimalusis operatoriaus polinomas erdvėje V, čia p (t) − neredukuojamas s− ojo laipsnio polinomas. Tegu v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}− V bazė ir p^{m_{1}} (t) , p^{m_{2}} (t) , ..., p^{m_{n}} (t) − minimalūs šiu̧ baziniu̧ vektoriu̧ anuliatoriai.

Žinome, kad p^{m} (t) = MBK(p^{m_{1}} (t) , p^{m_{2}} (t) , ..., p^{m_{n}} (t)) , todėl egzistuoja toks bazinis vektorius, kurio minimalusis anuliatorius sutampa su minimaliuoju operatoriaus A polinomu, sakykim tai vektorius v_{1} : p^{m_{1}} (t) = p^{m} (t) ir m_{1} = m. Papildykime ciklinio primariojo poerdvio, generuota̧ vektoriumi v_{1} :

⟨v_{1}⟩ = [v_{1}, A (v_{1}) , A^{2} (v_{1}) , ..., A^{sm−1} (v_{1})]

bazȩ iki visos erdvės bazės: v_{1}, A (v_{1}) , A^{2} (v_{1}) , ..., A^{sm−1} (v_{1}) , v′_{sm}, ..., v′_{n} taip, kad

V = ⟨v_{1}⟩ ⊕ [v′_{sm}, ..., v′_{n}] .

Poerdvis V_{1} = [v′_{sm}, ..., v′_{n}] - vėl primarusis ir tȩsdami tai ka̧ atlikome vektorinei erdvei V gausime erdvės V_{1} ciklini̧ primaru̧ji̧ poerdvi̧ ⟨v′_{2}⟩ . Randame šio poerdvio tiesiogini̧ papildini̧ V_{2} : V_{1} = ⟨v′_{2}⟩ ⊕ V_{2}. Taip tȩsdami gausime visos vektorinės erdvės V skaidini̧ primariu̧ju̧ cikliniu̧ poerdviu̧ tiesiogine suma.

Teorema. Ciklinės primariosios vektorinės erdvės V su operatoriumi A ir charkteristiniu polinomu p^{m} (t) invariantiniai poerdviai yra AV, A^{2}V, ..., A^{m−1}V, kurie sudaro mažėjančia̧ eilutȩ:

V ⊃ AV ⊃ AV ⊃ ⋯ ⊃ A^{m−1}V ⊃ A^{m}V = 0.

Taigi, ciklinėje primarioje vektorinėje erdvėje jau nėra tiesioginiu̧ invariantiniu̧ dėmenu̧, t.y. šios vektorinės erdvės jau negalima sukaidyti invariantiniu̧ poerdviu̧ tiesiogine suma.