9 paskaita Kvadratinės formos.

Apibrėžimas. Tegu K - kūnas, o K[x] - polinomu̧ žiedas virš kūno K. Žinome, kad šis polinomu̧ žiedas yra komutatyvus, asociatyvus žiedas su vienetu. Šio žiedo pagrindu galima sukonstruoti polinomu̧ žieda̧ K[x][y] = K[x, y] virš K[x]. Tai polinomu̧ su dviem kintamaisiais x ir y žiedas virš kūno K. Panašiai konstruojant galima apibrėžti polinomu̧ su n kintamu̧ju̧ x_{1}, ...x_{n} žieda̧ K[x_{1}, ..., x_{n}].

Apibrėžimas. Polinomas f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) ∈ K [x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}] vadinamas kvadratine forma, jeigu

\begin{aligned}f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = & a_{11}x_{1}^{2} + a_{12}x_{1}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{1}x_{n}+ \\ & a_{21}x_{2}x_{1} + a_{22}x_{2}^{2} + ⋯ + a_{2n}x_{1}x_{n}+ \\ & ⋯ \\ & a_{n1}x_{n}x_{1} + a_{n2}x_{n}x_{2} + ⋯ + a_{nn}x_{n}^{2} \end{aligned} ,

kai a_{ij} = a_{ji} .

Matrica A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ a_{n1} & a_{n2} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) vadinama kvadratinės formos f matrica.

Ši matrica yra simetrinė: A^{T} = A.

Jeigu X = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ ⋯ \\ x_{n} \end{matrix} ) , tai kvadratinȩ forma̧ f galima reikšti taip: f = X^{T} AX .

Apibrėžimas. Tegu turime du kintamu̧ju̧ rinkinius: x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} ir y_{1}, y_{2}, ..., y_{n} . Antrasis kintamu̧ju̧ rinkinys vadinamas pirmojo tiesiniu keitiniu, jeigu x_{i} = c_{i1}y_{1} + c_{i2}y_{2} + ⋯ + c_{in}y_{n} su visais i = 1, 2, ..., n .

Turime, kad X = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ ⋯ \\ x_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{11} & c_{12} & ⋯ & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ⋯ & c_{2n} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ c_{n1} & c_{n2} & ⋯ & c_{nn} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ ⋯ \\ y_{n} \end{matrix} ) = CY .

Matrica C vadinama kintamu̧ju̧ keitimo matrica.

Atlikus minėta̧ kintamu̧ju̧ keitini̧ kvadratinėje formoje f, turėsime kvadratinȩ forma̧ g:

g (y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}) = (CY)^{T} A (CY) = Y^{T} (C^{T} AC) Y , čia (C^{T} AC) - vėl simetrinė matrica:

(C^{T} AC)^{T} = C^{T} A^{T} (C^{T} )^{T} = C^{T} A^{T} C = C^{T} AC .

Apibrėžimas. Keitinys, kurio keitimo matrica yra neišsigimusi, vadinamas neišsigimusiu.

Teorema 6. Su kiekviena kvadratine forma egzistuoja neišsigimȩs toks keitinys, kad naujoji kvadratinė forma yra lygi

c_{1}y_{1}^{2} + c_{2}y_{2}^{2} + ⋯ + c_{n}y_{n}^{2}.

Šis kvadratinės formos pavidalas vadinamas kanoniu pavidalu.

Pastaba. Nuo šiol kalbėsime tik apie realia̧ja̧ kvadratinȩ .

Lema.Neišsigimusiu kintamu̧ju̧ keitiniu \underline{nenulinȩ} kvadratinȩ forma̧ galima suvesti prie kvadratinės formos, kurios koeficientas prie pirmojo nežinomojo kvadrato nelygus nuliui.

I̧rodymas. Tegu f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j}. Nagrinėsime kelis atvejus.

\underline{1 atvejis.} Kai a_{11} ≠ 0 , tai nieko i̧rodineti nereikia. \underline{2 atvejis.} Kai egzistuoja toks i (i ≠ 1) , kad a_{ii} ≠ 0 , tai atlikus keitini̧

x_{1} =  y_{i}
x_{2} =  y_{2}
x_{3} =  y_{3}

⋯

x_{i} = y_{1}

⋯

x_{n} =  y_{n}

gausime kvadratinȩ, kurios koeficientas b_{11} ≠ 0. \underline{3 atvejis.} Kai a_{ii} = 0 su visais i, tai ∃s, t , kad a_{st} ≠ 0. Pakeitȩ indeksacija̧,

galime pasiekti tai, kad a_{12} ≠ 0. Atlikime kintamu̧ju̧ keitini̧:

X = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 1 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ... & ⋯ \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} ) Y.

Tada naujos kvadratinės formos matrica bus

( \begin{matrix}1 1 0 1 & O \\ O & E \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 0 1 1 & O \\ O & E \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}\begin{matrix}a_{11} + a_{21} & a_{12} + a_{22} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} & ∗ \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 0 1 1 & O \\ O & E \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}a_{11} + a_{21} + a_{22} + a_{21} & ∗ \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ) ,

ir todėl a_{11} + a_{21} + a_{22} + a_{21} = 2a_{12} ≠ 0. I̧rodyta.

Teoremos 6 i̧rodymas. Tegu f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} . I̧rodysime

indukcijos pagal n būbu. Galimi keli atvejai.

\underline{1 atvejis.} Jeigu f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = 0, tai i̧rodinėti nieko nereikia. \underline{2 atvejis.} Jeigu f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) ≠ 0, tai pagal lema̧ kvadratinȩ forma̧ f galima

suvesti prie kvadratinės formos g (y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}) = b_{11}y_{1}^{2} + 2b_{12}y_{1}y_{2} + ⋯ + 2b_{1n}y_{1}y_{n} + h (y_{2}, ..., y_{n}) =

b_{11} (y_{1} + \frac{b_{12}}{b_{11}} y_{2} + ⋯ + \frac{b_{1n}}{b_{11}} y_{n})^{2} + (− (\frac{b_{12}}{b_{11}} y_{2} + ⋯ + \frac{b_{1n}}{b_{11}} y_{n})^{2} + h (y_{2}, ..., y_{n})) ˇ= Atliekȩ keitini̧ y_{1} = z_{1} − \frac{b_{12}}{b_{11}} z_{2} − ⋯ − \frac{b_{1n}}{b_{11}} z_{n} y_{2} = z_{2} ⋯ y_{n} = z_{n} gauname kvadratinȩ forma̧

ˇ=b_{11}z_{1}^{2} + h_{1} (z_{2}, ..., z_{n}) =^{∗}

Pagal indukcijos prielaida̧ kvadratinei formai h_{1} (z_{2}, ..., z_{n}) egzistuoja toks kei-

tinys ( \begin{matrix}z_{2} \\ ⋯ \\ z_{n} \end{matrix} ) = D ( \begin{matrix}t_{2} \\ ⋯ \\ t_{n} \end{matrix} ) , kad h_{1} (z_{2}, ..., z_{n}) = c_{2}t_{2}^{2} + ⋯ + c_{n}t_{n}^{2}.

Tada atliekȩ keitini̧ ( \begin{matrix}z_{1} \\ ⋯ \\ z_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & O \\ O & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}t_{1} \\ ⋯ \\ t_{n} \end{matrix} ) , gausime

=^{∗} b_{11}t_{1}^{2} + c_{2}t_{2}^{2} + ⋯ + c_{n}t_{n}^{2} = c_{1}t_{1}^{2} + c_{2}t_{2}^{2} + ⋯ + c_{n}t_{n}^{2}, čia c_{1} = b_{11}.

I̧rodyta.

Pavyzdys. Kvadratinės formos f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{2}x_{3} kanoninės formos radimas.

Atlikȩ keitini̧ ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{matrix} ) turėsime tokia̧ kvadratinȩ

forma̧ f = g (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}) = y_{1}y_{2}, o atlikȩ keitini̧ ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \\ z_{4} \end{matrix} )

turėsime f = z_{1}^{2} + z_{1}z_{2} = (z_{1} + \frac{1}{2}z_{2})^{2} − \frac{1}{4}z_{2}^{2}. Atlikus keitini̧ t_{1} = z_{1} + \frac{1}{2}z_{2}, t_{2} =

z_{2}, t_{3} = z_{3}, t_{4} = z_{4} arba ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \\ z_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}t_{1} \\ t_{2} \\ t_{3} \\ t_{4} \end{matrix} ) turėsime f = t_{1}^{2}−\frac{1}{4}t_{2}^{2} .

Uždavinys. Kvadratinės formos f = X^{T} AX rangu vadinamas matricos A rangas. I̧rodykite, kad kvadratinės formas rangas yra lygus nenuliniu̧ matricos A tikriniu̧ reikšmiu̧ skaičiui.I̧rodyti paliekama studentams□

Teorema 7 ( inercijos dėsnis kvadratinėms formoms ). Tegu kvadratinȩ

forma̧ f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j}. dviem būdais galima suvesti prie kanonio

pavidalo:

λ_{1}y_{1}^{2} + ⋯ + λ_{r}y_{r}^{2} − λ_{r+1}y_{r+1}^{2} − ⋯ − λ_{s}y_{s}^{2}, λ_{i} > 0
μ_{1}z_{1}^{2} + ⋯ + μ_{p}z_{p}^{2} − μ_{p+1}z_{p+1}^{2} − ⋯ − μ_{t}z_{t}^{2}, μ_{j} > 0.

Tada s = t ir r = p . Be i̧rodymo.

Uždavinys. I̧rodykite: jeigu C - neišsigimusi matrica, o X - nenulinis stulpelis, tai CX ≠ 0.

I̧rodyti paliekama studentams□

Apibrėžimas. Realioji kvadratinė forma f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) vadinama teigiamai apibrėžta, jeigu su visais α_{1}, α_{2}, ..., α_{n} ∈ R

f (α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}) ≥ 0 ir f (α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}) = 0 ⟺ α_{1} = α_{2} = ... = α_{n} = 0.

Teorema 8. Realioji kvadratinė forma f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) yra teigiamai apibrėžta tada ir tik tada, kai jos kanoninė forma yra lygi

z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + ⋯ + z_{n}^{2} .

I̧rodymas.Tegu ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) = C ( \begin{matrix}y_{1} \\ ... \\ y_{n} \end{matrix} ) − kintamu̧ju̧ keitinys kvadratinȩ forma̧

suvedantis prie kanoninio pavidalo g (y_{1}, ..., y_{n}) = λ_{1}y_{1}^{2} + λ_{2}y_{2}^{2} + ⋯ + λ_{n}y_{n}^{2} .

Matrica C− neišsigimusi, todėl ( \begin{matrix}y_{1} \\ ... \\ y_{n} \end{matrix} ) = C^{−1} ( \begin{matrix}x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix} ) . Tegu λ_{i} ≤ 0. Tada

f (x′_{1}, x′_{2}, ..., x′_{n}) = g (0, ..., 0, 1_{i}, 0, ..., 0) = λ_{i} ≤ 0 , čia ( \begin{matrix}0 \\ ... \\ 1 \\ ... \\ 0 \end{matrix} ) = C^{−1} ( \begin{matrix}x′_{1} \\ ... \\ x′_{n} \end{matrix} ) .

Taigi, kvadratinė forma f yra teigiamai apibrėžta tada ir tik tada, kada λ_{i} > 0

su visais i = 1, 2, ..., n. Atlikȩ kintamu̧ju̧ keitini̧ y_{i} = \frac{1}{\sqrt{λ_{i}}} z_{i} su visais i gausime

reikiama̧ kvadratinės formos išraiška̧ f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + ⋯ + z_{n}^{2}. I̧rodyta.

Apibrėžimas. Tegu kvadratinės formos f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) matrica yra A. Tada determinantai

a_{1} = |a_{11}| , a_{2} = | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | , ..., a_{n} = | \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} |

vadinami kvadratinės formos f pagrindiniais minorais.

Teorema 9 ( SYLVESTER J.J. požymis). Kvadratinė forma yra teigiamai apibrėžta tada ir tik tada, kai visi jos pagrindiniai minorai yra teigiami.

Be i̧rodymo.