8 paskaita Poerdviai. Veiksmai su poerdviais.

Apibrėžimas. Vektorinės erdvės V virš kūno K netuščias poaibis U vadinamas poerdviu, jeigu

1) u_{1} + u_{2} ∈ U su visais u_{1}, u_{2} ∈ U;

2) au ∈ U su visais a ∈ K ir su visais u ∈ U.

Vektorinės erdvės V poerdvis U yra pats vektorinė erdvė tu̧ pačiu̧ operaciju̧ kaip ir V atžvilgiu.

Positive Examples.

1. The whole space R^{n} is a subspace of itself. And the set consisting of one vector, 0, is a subspace of any space.

2. In R^{2}, consider the set W of all vectors which are parallel to a given line L. It is clear that the sum of two vectors which are parallel to L is itself parallel to L, and a scalar multiple of a vector which is parallel to L is itself parallel to L. Thus W is a subspace.

3. A similar argument shows that in R^{3}, the set W of all vectors which are parallel to a given plane (line) is a subspace.

4. The set of all polynomials is a subspace of the space of continuous functions on [0, 1],C[0, 1]. The set of all polynomials whose degrees do not exceed a given number, is a subspace of the vector space of polynomials, and a subspace of C[0, 1].

5. The set of differentiable functions is also a subspace of C[0, 1]. Negative Examples.

1. In R^{2}, the set of all vectors which are parallel to one of two fixed nonparallel lines, is not a subspace. Indeed, if we take a non-zero vector parallel to one of the lines and add a non-zero vector parallel to another line, we get a vector which is parallel to neither of these lines.

2. The set of polynomials of degree 2 is not a subspace of C[0, 1]. Indeed, the sum of x^{2} + x and −x^{2} is a polynomial of degree 1.

Svarbiu vektorinio poerdvio pavyzdžiu yra homogeninės tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos sprendiniu̧ aibė.

Teorema. Homogeninės tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos

\{ \begin{matrix}a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = 0 \\ ⋯ \\ a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = 0 \end{matrix} arba AX = O

sprendiniu̧ aibė yra stulpeliu̧ aritmetinės erdvės K_{n} poerdvis, kurio dimensija lygi n−rankA.

I̧rodymas. Homogeninȩ tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema̧ užrašykime taip x_{1}u_{1} + ⋯ + x_{n}u_{n} = 0, čia u_{1}, ..., u_{n}− matricos A stulpeliai.

Tegu u = ( \begin{matrix}α_{1} \\ ⋯ \\ α_{n} \end{matrix} ) ir v = ( \begin{matrix}β_{1} \\ ⋯ \\ β_{n} \end{matrix} ) − sistemos sprendiniai, t.y.

\begin{matrix}α_{1}u_{1} + ⋯ + α_{n}u_{n} ≡ 0 \\ β_{1}u_{1} + ⋯ + β_{n}u_{n} ≡ 0 \end{matrix} , todėl (aα_{1} + bβ_{1}) u_{1} + ⋯ (aα_{n} + bβ_{n}) u_{n} ≡ 0 ir vek-

torius au+bv yra sistemos sprendinys. Gavome, kad sprendiniu̧ aibė yra stulpeliu̧ aritmetinės erdvės K_{n} poerdvis.

Tarp tiesinės lygčiu̧ sistemos stulpeliu̧ yra r = rank A tiesiškai neprikausomu̧ stulpeliu̧. Tegu tai stulpeliai u_{1}, ..., u_{r}. Tada likusius n − r stulpelius užrašykime ju̧ tiesinėmis kombinacijomis:

\begin{matrix}u_{r+1} = b_{r+1,1}u_{1} + ⋯ + b_{r+1,r}u_{r} \\ ⋯ \\ u_{n} = b_{n1}u_{1} + ⋯ + b_{nr}u_{r} \end{matrix} .

Stulpeliai z_{r+1} = ( \begin{matrix}b_{r+1,1} \\ ⋯ \\ b_{r+1,r} \\ −1 \\ 0 \\ ⋯ \\ 0 \end{matrix} ) , ..., z_{n} = ( \begin{matrix}b_{n1} \\ ⋯ \\ b_{nr} \\ 0 \\ ⋯ \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) yra homogeninȩ tiesiniu̧ lygčiu̧

sistemos sprendinys. Šie stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi.

Tegu x = ( \begin{matrix}x_{1}^{0} \\ ⋯ \\ x_{r}^{0} \\ x_{r+1}^{0} \\ ⋯ \\ x_{n}^{0} \end{matrix} ) − koks nors sistemos sprendinys.

Tada y = x+x_{r+1}^{0}z_{r+1} +⋯+x_{n}^{0}z_{n} irgi yra sistemos sprendinys. Šio sprendinio komponentės, pradedant (r + 1) − a̧ja̧, lygios 0. Lygiomis nuliui bus ir likusios r komponenčiu̧, nes vektoriu̧ sistema u_{1}, ..., u_{r}− tiesiškai nepriklausoma.

Taigi, y = 0 ir x = −x_{r+1}^{0}z_{r+1} − ⋯ − x_{n}^{0}z_{n} ,t.y. stulpeliai z_{r+1}, ..., z_{n}− tiesiškai neprikausoma generuojanti sistemos sprendiniu̧ vektorinio poerdvio sistema. Ji vadinama fundamentalia̧ja sprendiniu̧ sistema.

I̧rodyta.

Poerdviu̧ suma ir sankirta.

Apibrėžimas. Tegu U ir W yra vektorinės erdvės poerdviai.Tada ju̧ suma U + W vadinama aibė

U + W = {u + w|u ∈ U, w ∈ W } .

Poerdviu̧ U ir W sankirta U ∩ W vadinama aibė

U ∩ W = {v ∈ V |v ∈ U ir v ∈ W } .

Aišku, kad ir poerviu̧ suma ir poerdviu̧ sankirta yra poerdvis.

Pastaba. Poerdviu̧ suma U + W yra mažiausias V poerdvis, kuriame yra poerdviai U ir W.

Poerviu̧ sankirta U ∩ W yra didžiausias V poerdvis, esantis ir poedvyje U ir poerdvyje W.

Teorema. dim (U + W) + dim (U ∩ W) = dim U + dim W.

I̧rodymas. Pažymėkime U + W = P ir U ∩ W = R ; dim P = p ir dim R = r. Tegu e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}− poerdvio P bazė. Papildykime ja̧ iki poerdvio U bazės ir po-

erdvio V bazės. Tegu e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e_{r+1}, ..., e_{s}− U bazė, o e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e′_{r+1}, ..., e′_{t}− V bazė. Parodysime, kad vektoriu̧ sistema e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e_{r+1}, ..., e_{s}, e′_{r+1}, ..., e′_{t}− poerdvio U + V bazė. Reikia i̧rodyti, kad ši sistema yra generuojanti ir tiesiškai nepriklausoma sisitema.

Tegu v− bet kuris poerdvio P = U + V vektorius, t.y. v = u + v , čia u ∈ U, v ∈ V. Taigi, u = a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{r}e_{r} + a_{r+1}e_{r+1} + ⋯ + a_{s}e_{s} ir v = b_{1}e_{1} + ⋯ + b_{r}e_{r} + b_{r+1}e′_{r+1} + ⋯ + b_{t}e′_{t} . Turime v = (a_{1} + b_{1})e_{1} + ⋯ + (a_{r} + b_{r})e_{r} + a_{r+1}e_{r+1} + ⋯+a_{s}e_{s} +b_{r+1}e′_{r+1} +⋯+b_{t}e′_{t} ir todėl vektoriai e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e_{r+1}, ..., e_{s}, e′_{r+1}, ..., e′_{t} generuoja P.

I̧rodysime sistemos tiesiška̧ nepriklausomybȩ. Tegu c_{1}e_{1}+⋯+c_{r}e_{r}+c_{r+1}e_{r+1}+ ⋯ + c_{s}e_{s} + c′_{r+1}e′_{r+1} + ⋯ + c′_{t}e′_{t} = 0.

Tada u = c_{1}e_{1} + ⋯ + c_{r}e_{r} + c_{r+1}e_{r+1} + ⋯ + c_{s}e_{s} = −c′_{r+1}e′_{r+1} − ⋯ − c′_{t}e′_{t} ∈ R ir todėl u = a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{r}e_{r}. Turime a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{r}e_{r} = −c′_{r+1}e′_{r+1} − ⋯ − c′_{t}e′_{t} , a_{1}e_{1}+⋯+a_{r}e_{r}+c′_{r+1}e′_{r+1}+⋯+c′_{t}e′_{t} = 0 ir a_{1} = ⋯ = a_{r} = c′_{r+1} = ⋯ = c′_{t} = 0

, nes vektoriai e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e′_{r+1}, ..., e′_{t}− tiesiškai nepriklausoma sistema( V − bazė). Taigi, u = 0.

Turime c_{1}e_{1}+⋯+c_{r}e_{r}+c_{r+1}e_{r+1}+⋯+c_{s}e_{s} = 0 ir c_{1} = ⋯ = c_{r} = c_{r+1} = ⋯ = c_{s} = 0, nes vektoriai e_{1}, e_{2}, ..., e_{r}, e_{r+1}, ..., e_{s}− tiesiškai nepriklausoma sistema( U− bazė).

I̧rodėme sistemos tiesiška̧ nepriklausomybȩ ir tuo pačiu tai ,kad ji yra U + V bazė. Poerdviu̧ U, V , P ir R turime lygybes:

dim U + V = s + t − r = dim U + dim V − dim U ∩ V.

I̧rodyta.

Paskutinioji teorema formuoja mūsu̧ intuicija̧ apie poerdviu̧ padėti̧ daugiamatėse vektorinėse erdvėse.

[.......]

Poerdviu̧ tiesioginė suma ir faktorerdvė.

Apibrėžimas. Tegu U ir W yra vektorinės erdvės poerdviai.Tada ju̧ suma U + W vadinama tiesiogine suma U ⊕ W,jeigu bet kurio U + W vektoriaus reiškimas vektoriu̧ iš U ir W suma yra vienintėlis.

Paskutinis apibrėžimas ekvivalentiškas sa̧lygai: iš lygybės u + w = 0 ,u ∈ U, w ∈ W turime u = 0 ir w = 0.

Teiginys. Suma U + W yra tiesioginė tada ir tik tada, kai U ∩ W = 0.

I̧rodymas.[...........]

Teiginys. Suma U + W yra tiesioginė tada ir tik tada, kai sumos bazė yraU ir W baziu̧ sa̧junga.

I̧rodymas.[..........]

Apibrėžimas. Tegu U_{1},U_{2}, ..., U_{k} yra vektorinės erdvės poerdviai.Tada ju̧ suma U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{k} vadinama tiesiogine suma U_{1} ⊕ U_{2} ⊕ ⋯ ⊕ U_{k} ,jeigu bet kurio U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{k} vektoriaus reiškimas vektoriu̧ iš U_{1},U_{2}, ..., U_{k} suma yra vienintėlis.

Paskutinis apibrėžimas ekvivalentiškas sa̧lygai: iš lygybės u_{1} + u_{2} + ⋯ + u_{k} , u_{i} ∈ U_{i}, turime u_{i} = 0.

Paskutini̧ji̧ teigini̧ galima apibendrinti baigtiniai poerdviu̧ sumai.

Teiginys. Suma U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{n} yra tiesioginė tada ir tik tada, kai

∀i U_{i} ∩ (U_{1} + ⋯ U_{i−1} + U_{i+1} + ⋯ + U_{n}) = 0.

I̧rodymas. Be i̧rodymo.

Teiginys. Suma U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{k} yra tiesioginė tada ir tik tada, kai sumos bazė yra U_{1},U_{2}, ..., U_{k} baziu̧ sa̧junga.

I̧rodymas. Be i̧rodymo.

Uždavinys. Tegu V = U ⊕ W. Tada poerdvis U vadinamas poerdvio W tiesioginiu papildiniu.

Ar kievienam vektorinės erdvės poerdviui egzistuoja tiesioginis papildinys? Jeigu egzistuoja tai ar vienintėlis šis tiesioginis papildinys? Atsakymus pagri̧skite. I̧rodyti paliekama studentams□

Apibrėžimas. Tegu U yra vektorinės erdvės V poerdvis. Vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} vadinama tiesiškai nepriklausoma poerdvio U atžvil- giu sistema ( t.n.mod U sistema ), jeigu kai α_{1}v_{1} + α_{2}v_{2} + ⋯ + α_{k}v_{k} ∈ U , tai α_{1} = α_{2} = ⋯ = α_{n} = 0.

Teiginys. Vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} yra t.n. mod U sistema tada ir tik tada, kai vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k}, u_{1}, ..., u_{m}, čia u_{1}, ..., u_{m} - poerdvio U bazė, yra tiesiškai nepriklausoma.

I̧rodymas.◇

Apibrėžimas. Vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} vadinama baze poerdvio U atžvilgiu ( baze modU ) jeigu bet kuris vektorius v ∈ V yra lygus v = α_{1}v_{1} + α_{2}v_{2} + ⋯ + α_{k}v_{k} + u , čia u ∈ U.

Teiginys. Vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} yra bazė poerdvio U atžvilgiu tada ir tik tada, kai vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k}, u_{1}, ..., u_{m},čia u_{1}, ..., u_{m} - poerdvio U bazė, yra vektorinės erdvės V bazė.

I̧rodymas.◇

Pastaba. Jeigu u_{1}, ..., u_{m} - poerdvio U bazė, tai bet kuri vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} papildanti šia̧ sistema̧ iki vektorinės erdvės V bazės yra bazė poerdvio U atžvilgiu.

Apibrėžimas. Sakysime, kad vektoriai v_{1} ir v_{2} lygsta poerdvio U atžvilgiu, jeigu v_{1} − v_{2} ∈ U. Žymėsime v_{1} ≡ v_{2} (U) .

Šio ekvivalentumo sa̧ryšio dėka vektorinė erdvė V suskyla i̧ ekvivalentumo klases, kurios savo ruoštu sudaro nauja̧ vektorinȩ erdvȩ, vadinama̧ faktorerdve ir žymima V/U . Faktorerdvės elementus žymėsime v̄ , čia v - klasės atstovas.

Teiginys. Jeigu vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} yra baze poerdvio U atžvilgiu, tai sistema v̄_{1}, v̄_{2}, ..., v̄_{k} yra V/U bazė.

Jeigu sistema v̄_{1}, v̄_{2}, ..., v̄_{k} yra V/U bazė, o v_{1} ∈ v̄_{1}, v_{2} ∈ v̄_{2}, ..., v_{n} ∈ v̄_{n} , tai vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} yra baze poerdvio U atžvilgiu.

I̧rodymas.[...........]

Ištirkime nehomogeninės tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos sprendiniu̧ aibės struktūra̧.

Teorema. Nehomogeninės tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos

\{ \begin{matrix}a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ ⋯ \\ a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix} arba AX = b

sprendiniu̧ aibė yra v_{0}+U = {v_{0} + u : u ∈ U}, čia v_{0}− atskiras nehomogeninės sistemos sprendinys, o U− atitinkamos homogeninės sistemos AX = O sprendiniu̧ poerdvis.

I̧rodymas. Tegu v_{0}− koks nors atskiras sistemos AX = b sprendinys, o u− bet koks atitinkamos homogeninės sistemos AX = O sprendinys, u ∈ U. Tada A (v_{0} + u) = Av_{0} + Au = b + O = b ir v_{0} + u− sistemos AX = b sprendinys.

Priešingai.Tegu v_{0}− atskiras sistemos AX = b sprendinys, o v− bet koks šios sistemos sprendinys. Tada A (v_{0} − v) = Av_{0} − Av = b − b = O ir v_{0} − v ∈ U, t.y. v_{0} − v = u ir v = v_{0} + u ∈ v_{0} + U.

I̧rodyta.

Apibrėžimas. Tegu U yra vektorinės erdvės V poerdvis, o v ∈ V. Aibė v + U = {v + u : u ∈ U} vadinama tiesine daugdara arba plokštuma erdvėje V. Jeigu dim U = 1, tai tiesinė daugdara vadinama tiese.

Taigi, nehomogeninės tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos sprendiniu̧ aibė yra tiesinė daugdara stulpeliu̧ aritmetinėje erdvėje K_{n}.

Pavyzdys. Nagrinėkime homogeninȩ lygti̧

ax + by = 0.

Šios homogeninės lygties sprendiniu̧ aibė yra stulpelio ( \begin{matrix}−b \\ a \end{matrix} ) tiesinis apval-

kalas T = [( \begin{matrix}−b \\ a \end{matrix} )] .Geometriškai - tai tiesė l dvimatėje plokštumoje, einati per

koordinačiu̧ pradžia̧ vektoriaus ( \begin{matrix}−b \\ a \end{matrix} ) kryptimi.

Nagrinėkime dabar nehomogeninȩ lygti̧

ax + by = c, c ≠ 0

Turime a (−b)+b (a + \frac{c}{b}) = c ir todėl aibė ( 0_{\frac{c}{b}} )+T = ( 0_{\frac{c}{b}} )+[( \begin{matrix}−b \\ a \end{matrix} )] yra

lygties sprendiniu̧ aibė. Geometriškai - tai tiesė dvimatėje plokštumoje lygiagreti

tiesei l ir paslinktai vektoriaus ( 0_{\frac{c}{b}} ) kryptimi.