4 paskaita. Dalumas su liekana. BDD. Tarpusavyje pirminiai polinomai. Neredukuojami

polinomai. Skirtingo laipsnio polinomu̧ išskyrimas. Lyginiai ir faktoržiedis.

Panašiai kaip ir sveiku̧ju̧ skaičiu̧ žiede, taip ir polinomu̧ virš kūno žiede yra teisinga dalumo su liekana teorema.

Teorema( dalumas su liekana). Tegu f (x) , g (x) ∈ K [x] , g (x) ≠ 0. Tada egzistuoja vienintėliai polinomai q (x) ir r (x) su kuriais teisinga lygybė f = gq+r, čia deg r (x) < deg g (x) .

I̧rodymas.[.............]

Apibrėžimas. Tegu f (x) , g (x) ∈ K [x] , g (x) ≠ 0. Didžiausio laipsnio polinomas d (x) ∈ K [x], kurio koeficientas prie didžiausio laipsnio yra lygus 1, vadinamas polinomu̧ f ir g bendru didžiausiu dalikliu, jeigu

1. f⋮d, g⋮d.

2. Jeigu f⋮d_{1}, g⋮d_{1}, čia d_{1} (x) ∈ K [x] , tai d⋮d_{1}. Bendro didžiausio daliklio žymuo: d (x) = BDD(f (x) , g (x)) = (f (x) , g (x)) .

Teorema. Su visais f, g ∈ K [x] , f ≠ 0, g ≠ 0 egzistuoja tokie polinomai a_{0} (x) , b_{0} (x) ∈ K [x] , kad (f (x) , g (x)) = f (x) a_{0} (x) + g (x) b_{0} (x) .

I̧rodymas.[.......]

Euklido algoritmas BDD skaičiavimui. Turime du polinomus f (x) , g (x) ∈ K [x] , g ≠ 0.Rašysime dalybos su liekana teorema̧

Tegu a_{0} = f ir a_{1} = g. Tada

a_{0} = a_{1}q_{1} + a_{2}  deg a_{2} < deg a_{1}
a_{1} = a_{2}q_{2} + a_{3}  deg a_{3} < deg a_{2}
⋯  ⋯
a_{k−2} = a_{k−1}q_{k−1} + a_{k} deg a_{k} < deg a_{k−1}
a_{k−1} = a_{k}q_{k}.

Sveikieji skaičiai sudaro mažėjančia̧ seka̧ deg a_{1} > deg a_{2} > deg a_{3} > ⋯ > deg a_{k} > deg a_{k+1} > 0. Tada (a, b) = a_{k}.

Apibrėžimas. Du polinomai f, g ∈ K [x] vadinami tarpusavyje pirminiais, jeigu (f, g) = 1.

Teorema. Polinomai f, g ∈ K [x] yra tarpusavyje pirminiai tada ir tik tada, kada egzistuoja tokie a (x) , b (x) ∈ K [x] , kad f · a + g · b = 1.

I̧rodymas. Teiginys iš kairės i̧ dešinȩ yra teisingas pagal apibrėžima̧. Tegu dabar f · a + g · b = 1 ir (f, g) = d. Tada

1 =\underbrace{\underbrace{f · a}_{dalijasi iš d} + \underbrace{g · b}_{dalijasi iš d}}_{dalijasi iš d},

t,y. 1 dalijasi iš d ir todėl d = 1.

I̧rodyta.

Teiginys(tarpusavyje pirminiu̧ polinomu̧ savybė). Tegu f_{1}, ..., f_{m} ir g_{1}, ..., g_{n} yra dvi tokios polinomu̧ sekos, kad (f_{i}, g_{j}) = 1 su visais 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Tada (f_{1} ⋯ f_{m}, g_{1} ⋯ g_{n}) = 1.

Be i̧rodymo.

Dabar pateiksime teigini̧, kurio analogo sveiku̧ju̧ skaičiu̧ žiede nėra.

Teiginys. Jeigu f ir g yra tarpusavyje pirminiai polinomai virš kūno K, tai jie neturi bendru̧ šaknu̧ jokiame kūno K plėtinyje, t.y. tokiame kūne L, kad L ⊇ K.

I̧rodymas.[..........]

Apibrėžimas. Teigiamo laipsnio polinomas f (x) ∈ K [x] vadinamas neredukuojamu polinomu virš kūno K, jeigu jis turi tik šiuos daliklius: a, a · f (x) , čia a ∈ K .

Teiginys. Bet kuris teigiamo laipsnio polinomas iš K [x] dalijasi iš kurio nors neredukuojamo polinomo virš K.

Teorema. Yra be galo daug neredukuojamu̧ polinomu̧ virš bet kurio kūno.

I̧rodymas. I̧rodysime prieštaros būdu. Sakykime, egzistuoja baigtinis neredukuojamu̧ polinomu̧ kiekis: p_{1}, p_{2}, ..., p_{m}. Polinomas f = p_{1}p_{2} ⋯ p_{m} + 1 dalijasi iš neredukuojamo polinomo, taigi egzistuoja toks i, 1 ≤ i ≤ m, kad f⋮p_{i}. Tada

1 =\underbrace{\underbrace{f}_{dalijasi iš p_{i}} − \underbrace{p_{1}p_{2} ⋯ p_{m}}_{dalijasi iš p_{i}}}_{dalijasi iš p_{i}} ,

t.y. 1⋮p_{i}, o tai prieštarauja neredukuojamo polinomo apibrėžimui(deg p_{i} > 0). I̧rodyta.

Teiginys( neredukuojamu̧ polinomu̧ savybė). Tegu f_{1}, ..., f_{m} yra tokia polinomu̧ iš K [x] seka, kad polinomas f_{1}···f_{m} dalijasi iš neredukuojamo polinomo p (x) ∈ K [x] . Tada egzistuoja toks j, 1 ≤ j ≤ m, kad f_{j} dalijasi iš p.

Be i̧rodymo.

Pateiksime teigini̧, kurio analogo sveiku̧ju̧ skaičiu̧ žiede nėra.

Teiginys. Jeigu neredukuojamas virš kūno K polinomas p (x) ∈ K [x] ir polinomas f (x) ∈ K [x] turi bendra̧ šakni̧ x_{0} kuriame nors kūno K plėtinyje

L ⊃ K, x_{0} ∈ L, tai f (x) ⋮p (x) .

I̧rodymas. Iš sa̧lygos matome, kad (f (x) , p (x)) ≠ 1, nes ir f (x) , ir p (x)

dalijasi iš (x − x_{0}) . Polinomas p (x) yra neredukuojamas, todėl f (x) ⋮p (x) . I̧rodyta.

Teorema( kanoninis polinomo skaidinys). Su kiekvienu teigiamo laipsnio polinomu f (x) ∈ K [x] egzistuoja tokie neredukuojami virš kūno k polinomia p_{1}, p_{2}, ..., p_{s} (tarp ju̧ gali būti sutampančiu̧), kad f = a · p_{1} · p_{2} · · · · · p_{s}, čia a− polinomo f koeficientas prie x^{n}, kai n = deg f. ( Šiame skaidinyje sutraukȩ panašius daugiklius turėsime kanonini̧ polinomo f skaidini̧: f = a · p_{i_{1}}^{k_{1}} · p_{i_{2}}^{k_{2}} ⋯ p_{i_{s}}^{k_{s}}, p_{i} ≠ p_{j}.)

Be i̧rodymo.

Skirtingo laipsnio dauginamu̧ju̧ išskyrimas.

Apibrėžimas. Tegu f (x) ∈ K [x] . Elementas c ∈ K yra poinomo f (x) k− kartotinė šaknis, jeigu f (x) = (x − c)^{k} ·f_{1} (x) , f_{1} (c) ≠ 0. Jeigu k = 1, tai sakome, kad c yra paprastoji polinomo f šaknis.

Apibrėžimas. Jeigu kūno K elementu̧ sekoje {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ...} nėra 0, tai sakome, kad kūno K charakteristika yra lygi 0, o jeigu skaičius p yra mažiausias toks, kad \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{p kartu̧}= 0 sakome, kad kūno K charakteristika yra lygi p.

Teiginys. Jeigu x_{0} yra polinomo f (x) ∈ K [x] papratastoji šaknis, tai f′ (x_{0}) ≠ 0.

I̧rodymas.[.........]

Teiginys. Jei polinomo f (x) ∈ K [x] šaknies kartotinumas yra lygus k, ir k nesidalija iš kūno K charakteristikos, tai išvestinės f′ (x) šaknies c kartotinumas lygus k − 1.

I̧rodymas.[.........]

Paskutinius teiginius galime apibendrinti. Tegu kūno K charakteristika yra lygi 0, o polinomo f ∈ K [x] kanoninis skaidinys virš K yra a·p_{1}^{k_{1}}·p_{2}^{k_{2}} ⋯ p_{s}^{k_{s}}, p_{i} ≠ p_{j}.

Teiginys. Tegu polinomo f neredukuojamo daliklio p_{i} ∈ K [x] kartotinumas yra lygus 1( k_{i} = 1). Tada šio polinomo nėra išvestinės f′ kanoniniame skaidinyje .

I̧rodymas.[.........]

Teiginys. Tegu polinomo f neredukuojamo daliklio p_{i} ∈ K [x] kartotinumas yra lygus k_{i}. Tada polinomo p_{i} kartotinumas išvestinės f′ kanoniniame skaidinyje yra lygus k_{i} − 1 .

I̧rodymas.[.........]

Paskutiniojo teiginio pagalba polinoma̧ f galima suskaidyti dauginamaisiais taip: f = aF_{r_{1}} (x) ⋯ F_{r_{l}} (x) , kad polinomo F_{r_{i}} kanoniniame skaidinyje visu̧ neredukuojamu̧ polinomu̧ kartotinumas yra lygus r_{i} ( r_{i} ≠ r_{j}, kai i ≠ j). Tai ir yra skirtingo laipsnio dauginamu̧ju̧ išskyrimas.

Lyginiai Apibrėžimas. Tegu K− kūnas, o f (x) , g (x) , m (x) ∈ K [x] ir deg m (x) ≥

1. Sakysime, kad polinomas f (x) lygsta polinomui g (x) moduliu m (x) , jeigu (f (x) − g (x)) ⋮m (x) . Rašysime f (x) ≡ g (x) (mod m (x)) .

Pagringinės lyginiu̧ savybės yra šios:

1. Refleksyvumas: su visais f ∈ K [x] , f ≡ f (mod m (x)) .

2. Simetriškumas: \begin{matrix}f, g ∈ K [x] \\ f ≡ g (mod m (x)) \end{matrix} \} ⟺ g ≡ f (mod m) .

3. Tranzityvumas: \begin{matrix}f, g, h ∈ K [x] \\ f ≡ g (mod m (x)) \\ g ≡ h (mod m (x)) \end{matrix} \} ⟹ f ≡ g (mod m (x)) .

4. \begin{matrix}f, g, c, d ∈ Z \\ f ≡ c (mod m) \\ g ≡ d (mod m) \end{matrix} \} ⟹ f ± g ≡ c ± d (mod m (x)) .

5. \begin{matrix}f, g, c, d ∈ Z \\ f ≡ c (mod m) \\ g ≡ d (mod m) \end{matrix} \} ⟺ f · g ≡ c · d (mod m) .

6. Kiekvienas polinomas f (x) lygsta moduliu m (x) tik su vienu polinomu tokiu polinomu r (x) , kad deg r (x) < deg m (x) . Šis polinomas r (x) yra ne kas kitas kaip polinomu̧ poros f ir m dalybos su liekana teoremos liekana: f (x) = m (x) q (x) + r (x) . Tada f (x) ≡ r (x) (mod m (x)) .

Liekanu̧ klasės. Apibrėžimas. Tegu f, m ∈ K [x] , ir deg m ≥ 1. Polinomu̧ žiedo K [x] poaibi̧

{g ∈ K [x] |g ≡ f (mod m (x))}

vadinsime liekanu̧ klase moduliu m (x) , kuriai atstovauja f, arba tiesiog liekanu̧ klase, ir žymėsime _{m}K_{f}, arba K_{f}, arba [f (x)]_{m(x)} = [f (x)] .

Svarbiausios liekanu̧ klasiu̧ savybės yra šios:

1. Refleksyvumas: f ∈ K [x] ⟹ f ∈ K_{f}.

2. Simetriškumas: f ∈ K_{g} ⟹ g ∈ K_{f}.

3. Tranzityvumas: \begin{matrix}f ∈ K_{g} \\ g ∈ K_{f} \end{matrix} \} ⟹ f ∈ K_{g}.

4. Tegu m (x) ∈ K [x] , deg m (x) ≥ 1. Atsižvelgȩ i̧ tai, kad su kiekvienu polinomu f (x) yra teisinga f (x) ≡ r (x) (mod m (x)) , čia r (x) − vienintėlė tokia polinomo f dalybos su liekana iš m liekana, kad deg r < deg m, liekanu̧ klasės {K_{r(x)}| deg r (x) < deg m (x)} yra polinomu̧ aibės K [x] skaidinys, t.y.

(a) K [x] = ∪_{r∈K[x],deg r<deg m} K_{r(x)}

(b) jeigu K_{r_{1}} ∩ K_{r_{2}} ≠ ∅, tai K_{r_{1}} = K_{r_{2}} . Apibrėžimas. Tegu m (x) ∈ K [x] , deg m (x) ≥ 1 . Aibȩ

{K_{r(x)}| deg r (x) < deg m (x)}

vadinsime polinomu̧ žiedo K [x] faktofaibe moduliu m (x) ir žymėsime K [x] / (m (x)) . Aibėje K [x] / (m (x)) galima apibrėžti šiuos veiksmus.

Apibrėžimas. \begin{matrix}K′, K′′ ∈ K [x] / (m (x)) \\ f ∈ K′, g ∈ K′′ \end{matrix} \} , tada \begin{matrix}K′ + K′′ =^{def} K_{f+g} \\ K′ · K′′ =^{def} K_{f·g} \end{matrix} .

Teiginys. Sudėties ir sandaugos veiksmai liekanu̧ klasėms apibrėžti korektiškai, t.y. jie nepriklauso nuo klasiu̧ atstovu̧ f ir g parinkimo.

I̧rodymas.[...........] Pavyzdžiai.[.........] Teiginys. 1.Polinomu̧ žiedo K [x] faktofaibė moduliu m (x) , K [x] / (m (x)) ,

sudėties ir sandaugos operaciju̧ atžvilgiu sudaro komutatyvu̧ji̧ žieda̧ su vienetu. K [x] / (m (x)) vadiname faktoržiedžiu.

2. Faktoržiedis K [x] / (m (x)) yra kūnas tada ir tik tada, kada m (x) − neredukuojamas polinomas.

Be i̧rodymo.

Aptarkime faktoržiedžio K [x] / (m (x)) elementu̧ reiškima̧. Tegu deg m (x) = n ≥ 1.

Visu̧ pirma, i̧ pati̧ kūna̧ K galima žiūrėti kaip faktoržiedžio K [x] / (m (x)) poaibi̧: K ⊂ K [x] / (m (x)) , nes su visais a, b ∈ K yra teisinga

[a] = [b] ⟺ \{ \begin{matrix}a − b dalijasi iš m (x) \\ deg m (x) ≥ 1 \end{matrix} \} ⟺ a − b = 0 ⟺ a = b.

Taigi, klasȩ [a] galime sutapatinti su pačiu klasės polinomu a, kurio laipsnis yra < deg m. Tegu α =^{def} [x] . Tada kiekviena̧ faktoržiedžio K [x] / (m (x)) elementa̧ galima reikšti

[a_{n−1}x^{n−1} + a_{n−2}x^{n−2} + ⋯ + a_{1}x + a_{0}]
= [a_{n−1}][x^{n−1}] + [a_{n−2}][x^{n−2}] + ⋯ + [a_{1}][x] + [a_{0}]
= a_{n−1}[x]^{n−1} + a_{n−2}[x]^{n−2} + ⋯ + a_{1}[x] + a_{0}
= a_{n−1}α^{n−1} + a_{n−2}α^{n−2} + ⋯ + a_{1}α + a_{0}.

Matome, kad faktoržiedžio K [x] / (m (x)) elementai yra tiesinės elementu̧ 1, α, α^{2}, ..., α^{n−1} kombinacijos ir todėl šiuos elementus patogu i̧sivaizduoti kaip

polinomu̧ iš K (x) ( nebūtinai šiu̧ polinomu̧ laipsnis turi būti mažesnis už n !) reikšmes elemente α = [x] , atsižvelgiant i̧ tai, kad m (α) = m ([x]) = [m (x)] = [0] = 0. Matome, kad α yra polinomo m (x) šaknis.

Pavyzdys. Tegu K− kūnas, o degm (x) = 1. Tada

K [x] / (m (x)) = {[a] |a ∈ K} = K.

Lema. Polinomas x^{2} + 1 yra neredukuojamas polinomas virš R.

I̧rodymas. Sakykime x^{2}+1 = f (x)·g (x) . Tada 2 = deg (x^{2} + 1) = deg f (x)+ deg g (x) . Tegu deg f = 1 (tada ir deg g = 1) ir f (x) = ax + b, a ≠ 0, o g (x) = cx + d, c ≠ 0. Tada

x^{2} + 1 = (ax + b) (cx + d) = acx^{2} + (ad + bc) x + bd

ir todėl ac = 1, ad + bc = 0, bd = 1. Tada d = −\frac{bc}{a} ir

1 = bd = −\frac{b^{2}c}{a} = −\frac{b^{2}c^{2}}{ac} = −b^{2}c^{2} = − (bc)^{2} ≤ 0.

Ši prieštara rodo, kad deg f ≠ 1 ir todėl arba deg f = 0 ( tada deg g = 2), arba deg f = 2 ( tada deg g = 0). Ir vienu ir kitu atveju turime, kad polinomas x^{2} + 1 yra neredukuojamas polinomas virš R.

I̧rodyta.

Pavyzdys. Tegu K = R - realiu̧ju̧ skaičiu̧ kūnas, o m (x) = x^{2} + 1 ∈ R [x] . Tada

C = R [x] / (x^{2} + 1) = {a + b [x]_{(x^{2}+1)} | a, b ∈ R}

yra kūnas ( nes x^{2}+1 yra neredukuojamas polinomas virš R), kurio poaibiu yra realiu̧ju skaičiu̧ kūnas. Šio kūno elementus vadiname kompleksiniais skaičiais, o pati̧ kūna̧ - kompleksiniu̧ skaičiu̧ kūnu. Pažymėkime i =^{def} [x]_{(x^{2}+1)} . Tada kompleksini̧ skaičiu̧ a + b [x] reiškiame a + ib ir turime

i^{2} = [x]^{2} = [x^{2}] = [x^{2} + 1 − 1] = [x^{2} + 1] − [1] = −1. Veiksmai šiame kūne turi šias savybes:

1) (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d) .

2) (a + ib)·(c + id) = ac+i (ad + bc)+i^{2}bd = ac+i (ad + bc)−bd = (ac − bd)+ i (ad + bc) .

3) Jeigu a + ib ≠ 0, tai (a + ib)^{−1} = \frac{1}{a+ib} = \frac{1}{a+ib} · \frac{a−ib}{a−ib} = \frac{a−ib}{a^{2}+b^{2}} = (\frac{a}{a^{2}+b^{2}} ) −

i (\frac{b}{a^{2}+b^{2}} ) .

Kompleksiniu̧ skaičiu̧ kūnui skirsime kita̧ paskaita̧.