3 paskaita Dalumas polinomams.Hornerio shema ir Bezu teorema. Polinomo reiškimas

dvinario laipsniais. Polinomo šaknu̧ skaičius. Formalus ir funkcionalus polinomo tapatumas.

Apibrėžimas. Polinomu virš kūno K vadiname begalinȩ seka̧ (a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...) , a_{i} ∈ K, kurios beveik visi ( t.y. visi, išskyrus baigtini̧ skaičiu̧) elementai yra lygūs 0. Sakysime, kad du polinomai (a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...) ir (b_{0}, b_{1}, b_{2}, ...) yra lygūs, jeigu a_{i} = b_{i} su visais i = 0, 1, 2, ... . Visu̧ polinomu̧ aibȩ virš kūno K žymėsime K [x] .

Polinomu̧ aibėje K [x] apibėšime šiuos veiksmus:

1. Sudėtis: (a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...) + (b_{0}, b_{1}, b_{2}, ...) = (a_{0} + b_{0}, a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, ...) .

2. Daugyba: (a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...) · (b_{0}, b_{1}, b_{2}, ...) = (c_{0}, c_{1}, c_{2}, ...) , čia

c_{i} = a_{0}b_{i} + a_{1}b_{i−1} + ⋯ + a_{i}b_{0} = ∑_{s=0}^{i} a_{s}b_{i−s} = ∑_{s+t=i} a_{s}b_{t}.

Šiu̧ operaciju̧ atžvilgiu polinomu̧ aibė sudaro komutatyvu̧ žieda̧ su vienetu. Vienetas šiame žiede yra polinomas (1, 0, 0, ...) .

Atsižvelgȩ i̧ tai, kad (a, 0, 0, ...) + (b, 0, 0, ...) = (a + b, 0, 0, ...) ir (a, 0, 0, ...) · (b, 0, 0, ...) = (ab, 0, 0, ...), ir bendru atveju,

(a, 0, 0, ...) · (b_{0}, b_{1}, b_{2}, ...) = (ab_{0}, ab_{1}, ab_{2}, ...) , mes polinoma̧ (a, 0, 0, ...) galime sutapatinti su elementu a. Pažymėkime polinoma̧ (0, 1, 0, 0, ...) raide x. Tada x^{2} = (0, 0, 1, 0, ...) , x^{3} =

(0, 0, 0, 1, 0, ...) ir t.t. Iš čia turime, kad

(a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...) = (a_{0}, 0, 0, ...) + (0, a_{1}, 0, ...) + (0, 0, a_{2}, 0, ...) =
a_{0} (1, 0, 0, ...) + a_{1} (0, 1, 0, ...) + a_{2} (0, 0, 1, 0, ..) + ⋯ =
a_{0} + a_{1}x + a_{2}x + ⋯ + a_{n}x^{n}.

Tegu f (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} ir a_{n} ≠ 0. Elementas a_{n} vadinamas vyriausiuoju koeficientu, o n− polinomo laipsniu, kuris žymimas deg f. Nuliniam polinomui 0 yra priskiriamas laipsnis −∞.

Teiginys. Dvieju̧ polinomu̧ virš kūno sandaugos laipsnis yra lygus yra lygus tu̧ polinomu̧ u laipsniu̧ sumai: deg (f · g) = deg f + deg g.

I̧rodymas paliekamas skaitytojams.

Pastaba. Yra susitarta, kad (−∞) + (−∞) = −∞; (−∞) + n = −∞; n + (−∞) = −∞.

Hornerio shema .

Apibrėžimas. Jeigu polinomu̧ porai f (x) ir g (x) egzistuoja toks polinomas h (x) , kad f (x) = g (x)·h (x) , tai sakysime, kad polinomas f dalijasi be liekanos(

arba tiesiog dalijasi) iš polinomo g. Rašysime f⋮g. Polinomas g vadinamas tada polinomo f dalikliu.

Pagrindinės polinomu̧ dalumo savybės( palyginkit su dalumo savybėmis sveikiems skaičiams).

Tegu K− kūnas, o f, g, h ∈ K [x] . Tada

1. \begin{matrix}f⋮h \\ g⋮h \end{matrix} \} ⇒ (f ± g) ⋮h.

2. \begin{matrix}f⋮h \\ g⋮h \end{matrix} \} ⇒ (f · g) ⋮h.

3. Su visais f ≠ 0 , teisinga 0⋮f.

4. Su visais a ∈ K, a ≠ 0, teisinga f⋮a.

5. Jeigu 1⋮f, tai deg f = 0, t.y. f = a ∈ K ir a ≠ 0.

6. Jeigu f ≠ 0, tai f⋮f.

7. \begin{matrix}f⋮g \\ g⋮h \end{matrix} \} ⇒ f⋮h.

Dabar aptarsime polinomo f (x) ∈ K [x] dalumo iš dvinario x − c, c ∈ K klausima̧.

Teorema(Hornerio shema). Tegu f (x) = a_{n}x^{n}+a_{n−1}x^{n−1}+⋯+a_{1}x+a_{0} ∈ K [x] ir c ∈ K. Tada egzistuoja toks polinomas h (x) ∈ K [x] ir toks r ∈ K, kad f (x) = (x − c) h (x) + r.

I̧rodymas. Atsižvelgȩ i̧ polinomu̧ sandaugos laipsnio skaičiavima̧, polinomas h (x) turėtu̧ būti lygus b_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + b_{1}x + b_{0}. Tada f (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} = (x − c) (b_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + b_{1}x + b_{0}) + r. Palyginȩ kairės ir dešinės pusiu̧ koeficientus turėsime:

\begin{matrix}a_{n} = b_{n−1} & b_{n−1} = a_{n} \\ a_{n−1} = b_{n−2} − cb_{n−1} & b_{n−2} = a_{n−1} + cb_{n−1} \\ a_{n−2} = b_{n−3} − cb_{n−2} & b_{n−3} = a_{n−2} + cb_{n−2} \\ ⋯ & ⋯ \\ a_{1} = b_{0} − cb_{1} & b_{0} = a_{1} + cb_{1} \\ a_{0} = r − cb_{0} & r = a_{0} + cb_{0} \end{matrix} .

I̧rodyta.

Pastaba. Dažniausiai polinomo h (x) koeficientus reiškia taip vadinama Hornerio schema:

c \begin{matrix}a_{n} & a_{n−1} & ⋯ & a_{1} & a_{0} \\ b_{n−1} = a_{n} & b_{n−2} = a_{n−1} + cb_{n−1} & ⋯ & b_{0} = a_{1} + cb_{1} & r = a_{0} + cb_{0} \end{matrix}

Pavyzdys. Tegu polinomas f (x) = 2x^{5} − 4x^{3} + 3x^{2} + x − 5, o c = 2. Tada Hornerio schema yra:

c = 2 \begin{matrix}2 & 0 & −4 & 3 & 1 & −5 \\ 2 & 4 & 4 & 11 & 23 & 41 \end{matrix}

ir

2x^{5} − 4x^{3} + 3x^{2} + x − 5 = (x − 2) (2x^{4} + 4x^{3} + 4x^{2} + 11x + 23) + 41.

Polinomo reiškimas dvinario laipsniais.

Teorema. Kiekviena̧ polinoma̧ f (x) = a_{n}x^{n} +a_{n−1}x^{n−1} +⋯+a_{0} ∈ K [x] galima reikšti dvinario x−c laipsniu̧ tiesine suma: f (x) = b_{n} (x − c)^{n}+b_{n−1} (x − c)^{n−1}+ ⋯ + b_{1} (x − c) + b_{0}.

I̧rodymas. Nagrinėjamo reiškimo koeficientus b_{i} galima rasti Hornerio schemos pagalba:

\begin{aligned}a_{n} & a_{n−1} & ⋯ & a_{2} & a_{1} & a_{0} & = b_{0} \\ b′_{n−1} & b′_{n−2} & ⋯ & b′_{1} & b′_{0} & = b_{1} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ b′′_{2} & b′′_{1} & b′′_{0} & = b_{n−2} \\ b′′′_{1} & b′′′_{0} & = b_{n−1} \\ b′′′′_{0} & = b_{n} \end{aligned} .

I̧rodyta.

Teorema(Bezu). Polinomas f (x) ∈ K [x] dalijasi iš x − c tada ir tik tada, kada c yra polinomo f šaknis, t.y. f (c) = 0.

I̧rodymas paliekamas skaitytojui.

Polinomo šaknu̧ skaičius.

Teorema(apie polinomo šaknu̧ skaičiu̧). Tegu f (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} ∈ K [x] yra polinomas. Tada f (x) šaknu̧ skaičius kūne K neviršija n(= deg f).

I̧rodymas. Matematinė indukcija pagal n. Akivaizdu, kad teiginys yra teisingas visiems nulinio laipsnio polinomams, nes šie polinomai neturi šaknu̧. Sakykime, teiginys yra teisingas visiems polinomams, kuriu̧ laipsnis < n, n ≥ 1. Nagrinėkime n− ojo laipsnio polinoma̧ f (x) . Jeigu polinomas f (x) neturi šaknu̧ kūne K, tai polinomui f teiginys yra teisingas. Jeigu c yra polinomo f (x) šaknis, tai pagal Bezu teorema̧ f (x) = (x − c) h (x) , čia deg h (x) = n − 1. Tegu c′− kita polinomo šaknis (c ≠ c′) , tada f (c′) = (c − c′) h (c′) = 0 ⇒ h (c′) = 0. Taigi, kiekviena polinomo f šaknis, skirtinga nuo c yra ir polinomo h šaknis( atvirkščias teiginys akivaizdus). Pritaikius polinomui h indukcijos prielaida̧, turėsime, kad h turi ne daugiau kaip n − 1 šakni̧. Tada polinomas turės ne daugiau kaip n šaknu̧.

I̧rodyta.

Pastaba. Teorema yra teisinga ir polinomams virš komutatyviu̧ žiedu̧ su vienetu, kuriuose nėra nulio dalikliu̧, t.y. tokiu̧ a ≠ 0, kad a · b = 0, su kuriuo nors b ≠ 0. Tokie žiedai yra vadinami integralumo sritimis. Integralumo sritimi yra visi kūnai. Integralumo srities, bet ne kūno pavyzdžiu galėtu̧ būti sveiku̧ju̧ skaičiu̧ žiedas Z. Iš kitos pusės, jeigu K nėra integtalumo sritis( pavyzdžiui, tokiais žiedais yra visi Z_{m}, kai m− sudėtinis) tai teoremos teiginys nėra teisingas. pavyzdžiui polinomas polinomas f (x) = x^{2} virš Z_{9} turi \underline{tris} šaknis: ¯0, ¯3, ¯6.

Teorema(apie polinomini̧ ir funkcionalini̧ tapatumu̧). Tegu K yra \underline{begalinis} kūnas, o polinomai f_{1} (x) , f_{2} (x) ∈ K [x] . Jeigu f_{1} (c) = f_{2} (c) su visais c ∈ K, tai f_{1} (x) = f_{2} (x) .

I̧rodymas. Nagrinėkime polinoma̧ F (x) = f_{1} (x) − f_{2} (x) . Šio polinomo laipsnis deg F (x) = n ≤ max {deg f; deg g} . Tegu dabar c_{1}, c_{2}, ..., c_{n+1} yra skirtingi kūno K elementai. Tada pagal sa̧lyga̧ n + 1 elementai yra polinomo F šaknys, todėl F (x) = 0 ir f_{1} (x) = f_{2} (x) .

I̧rodyta.

Pastaba. Virš baigtiniu̧ kūnu̧ K ( pavyzdžiui, virš Z_{p}, p− pirminis skaičius) teoremos teiginys yra neteisingas. Pavyzdžiui, \underline{skirtingu̧} polinomu̧ f_{1} (x) = x^{7} + ¯5x + ¯1 ir f_{2} (x) = ¯4x + ¯1 virš kūno Z_{7} reikšmės visuose kūno Z_{7} elementuose sutampa:

f_{1} \binom{}{¯0} = f_{2} \binom{}{¯0} = ¯1; f_{1} \binom{}{¯1} = f_{2} \binom{}{¯1} = ¯5; f_{1} \binom{}{¯2} = f_{2} \binom{}{¯2} = ¯2; f_{1} \binom{}{¯3} = f_{2} \binom{}{¯3} =

¯6; f_{1} \binom{}{¯4} = f_{2} \binom{}{¯4} = ¯1; f_{1} \binom{}{¯5} = f_{2} \binom{}{¯5} = ¯0; f_{1} \binom{}{¯6} = f_{2} \binom{}{¯6} = ¯4.