15 paskaita Realaus operatoriaus kanoninė bazė ir kanoninė matrica

Tegu A − operatorius realioje vektorinėje erdvėje V. Tegu

V̄ = {u + iv|u, v ∈ V }

yra vektorinės erdvės V kompeksifikacija, t.y. kompleksinė vektorinė erdvė. Formule A (u + iv) = A (u)+iA (v) operatorius apibrėžiamas erdvėje V̄ . Tegu operatoriaus A tikrinės reikšmės yra λ_{1}, λ̄_{1}, ..., λ_{s}, λ̄_{s}, λ_{s+1}, ..., λ_{r}, čia λ_{1}, λ̄_{1}, ..., λ_{s}, λ̄_{s} ∈ C, λ_{s+1}, ..., λ_{r} ∈ R. Vektorinė erdvė V yra šakniniu̧ poerdviu̧, atinkančiu̧ tikrines reikšmes, tiesioginė suma:

V = (V_{λ_{1}} ⊕ Vλ̄_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ (V_{λ_{s}} ⊕ Vλ̄_{s}) ⊕ V_{λ_{s+1}} ⊕ ⋯ ⊕ V_{λ_{r}}.

Tegu šakninis poerdvis V_{λj} ( j = 1, ..., s) yra bokštiniu̧ ( cikliniu̧) poerdviu̧ tiesioginė suma:

V_{λ_{j}} = ⟨v_{j1}⟩ ⊕ ⋯ ⊕ ⟨v_{j,t_{j}} ⟩

Tada šakninis poerdvis Vλ̄_{j} yra bokštiniu̧ ( cikliniu̧) poerdviu̧ tiesioginė suma:

Vλ̄_{j} = \left⟨{ \atop v̄_{j1}}\right⟩ ⊕ ⋯ ⊕ \left⟨{ \atop v̄_{j,t_{j}}}\right⟩ ,

čia v_{jl} = u_{jl}+iw_{jl}− šakninis vektorius atitinkantis tikrinȩ reikšmȩ λ_{j} ( u_{jl}, w_{jl} ∈ V) ir v̄_{jl} = u_{jl} − iw_{jl}− šakninis vektorius atitinkantis tikrinȩ reikšmȩ λ̄_{j}.

Realiu̧ju̧ vektoriu̧ bazė poerdvyje

⟨v_{jl}⟩ ⊕ \left⟨{ \atop v̄_{jl}}\right⟩ , 1 ≤ j ≤ s ir 1 ≤ l ≤ t_{j},

konstruojama taip. Tegu vektoriai

z_{1} = x_{1} + iy_{1}, ..., z_{k} = x_{k} + iy_{k}

yra poerdvio ⟨v_{jl}⟩ bazė. Tada vektoriai

z̄_{1} = x_{1} − iy_{1}, ..., z̄_{k} = x_{k} − iy_{k}

yra poerdvio \left⟨{ \atop v̄_{jl}}\right⟩ bazė ir realieji vektoriai x_{1}, y_{1}, ..., x_{k}, y_{k} yra poerdvio

⟨v_{jl}⟩ ⊕ \left⟨{ \atop v̄_{jl}}\right⟩ bazė.

Žinome, kad

(A − λ_{j}I) (z_{1}) = z_{2}, (A − λ_{j}I) (z_{2}) = z_{3}, ..., (A − λ_{j}I) (z_{k−1}) =
z_{k}, (A − λ_{j}I) (z_{k}) = 0

A (z_{1}) = λ_{j}z_{1} + z_{2}, A (z_{2}) = λ_{j}z_{2} + z_{3}, ..., A (z_{k−1}) = λ_{j}z_{k−1} + z_{k}, A (z_{k}) = λ_{j}z_{k}.

Jeigu λ_{j} = a_{j} + ib_{j}, tai

A (x_{1}) + iA (y_{1}) = a_{j}x_{1} − by_{1} + i (b_{j}x_{1} + a_{j}y_{1}) + x_{2} + iy_{2}, A (x_{2}) + iA (y_{2}) = a_{j}x_{2} − by_{2} + i (b_{j}x_{2} + a_{j}y_{2}) + x_{3} + iy_{3}, ................................................................................................

A (x_{k−1}) + iA (y_{k−1}) = a_{j}x_{k−1} − by_{k−1} + i (b_{j}x_{k−1} + a_{j}y_{k−1}) + x_{k} + iy_{k}, A (x_{k}) + iA (y_{k}) = a_{j}x_{k} − by_{k} + i (b_{j}x_{k} + a_{j}y_{k}) ,

arba

A (x_{1}) = a_{j}x_{1} − by_{1} + x_{2}, A (y_{1}) = b_{j}x_{1} + a_{j}y_{1} + y_{2}, ................................................ A (x_{k−1}) = a_{j}x_{k−1} − by_{k−1} + x_{k}, A (y_{k−1}) = b_{j}x_{k−1} + a_{j}y_{k−1} + y_{k},

A (x_{k}) = a_{j}x_{k} − by_{k},
A (y_{k}) = b_{j}x_{k} + a_{j}y_{k}.

Operatoriaus A matrica nagrinėjamoje bazėje yra:

A_{jl} = ( \begin{matrix}a_{j} & b_{j} & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - b_{j} & a_{j} & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & a_{j} & b_{j} & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - b_{j} & a_{j} & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ... & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 & 0 & a_{j} & b_{j} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 & -b_{j} & a_{j} \end{matrix} ) .

Analogiškai galima nagrinėti likusias bokštiniu̧ poerdviu̧ tiesiogines sumas ir tada operatoriaus A matrica bus

A = ( \begin{matrix}A_{11} \\ & . & . & . \\ & & & & A_{1,t_{1}} \\ & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & A_{s,1} \\ & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & A_{s,t_{s}} \\ & & & & & & & & & & & & & J_{s+1} \\ & & & & & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & J_{r} \end{matrix} ) ,

čia J_{s+1}, ..., J_{r}− Žordano matricos atitinkančios realia̧sias tikrines reikšmes λ_{s+1}, ..., λ_{r}; matricos A nenurodytose vietose yra nuliai.

Realaus operatoriaus matricos kanoninės formos pavyzdys. Tegu operatoriaus A : R_{8} →R_{8} matrica yra

A = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} ) .

Operatoriaus A charakteristinis polinomas yra lygus

χ_{A} (x) = x^{8} + 4x^{7} + 10x^{6} + 16x^{5} + 19x^{4} + 16x^{3} + 10x^{2} + 4x + 1.

Šio polinomo kanoninis skaidinys virš realiu̧ju̧ skaičiu̧ ir kompleksiniu̧ skaičiu̧ kūnu̧ yra

χ_{A} (x) = (x^{2} + x + 1)^{4} = (x − (−\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\sqrt{3}))^{4} (x − (−\frac{1}{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{3}))^{4}

Charakteristinis polinomas turi dvi kompleksines tikrines reikšmes: λ_{1} = −\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\sqrt{3} ir λ_{2} = −\frac{1}{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{3}. Matome, kad λ_{2} = λ̄_{1}.

Jei operatoriu̧ A nagrinėsime kaip operatoriu̧ kompleksinėje vektorinėje C^{8}, A (u + iv) = A (u) + iA (v) , čia u ir v− realieji vektoriai, tai visa vektorinė erdvė suskyla i̧ dvieju̧ šakniniu̧ poerdviu̧ tiesioginȩ suma̧:

C^{8} = V_{λ_{1}} ⊕ V_{λ_{2}}.

Rasime operatoriaus A siaurinio šakniniame poerdvyje V_{λ_{1}} Žordano bazȩ ir Žordano matrica̧.

Pažymėkime B = A − (−\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\sqrt{3}) I ir nagrinėkime poerdviu̧ grandinȩ

0 ⊂ ker B ⊂ ker B^{2} ⊂ …

Rasime šiu̧ poerdviu̧ bazes.

\underline{ker B}

Sprendžiame homogeninȩ lygčiu̧ sistema̧

B ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ).

Sistemos bedrasis sprendinys yra : ( \begin{matrix}\frac{1}{4}t_{1} + \frac{1}{4}it_{1}\sqrt{3} + \frac{1}{8}t_{3} − \frac{1}{8}it_{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{4}t_{3} + \frac{1}{4}it_{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}t_{1} + \frac{1}{6}it_{1}\sqrt{3} − \frac{1}{6}it_{3}\sqrt{3} \\ t_{1} \\ \frac{1}{8}t_{2} + \frac{1}{8}it_{2}\sqrt{3} \\ t_{2} \\ \frac{3}{2}t_{1} + \frac{1}{2}it_{1}\sqrt{3} − \frac{3}{4}it_{3}\sqrt{3} − \frac{1}{4}t_{3} \\ t_{3} \end{matrix} ), t_{i} ∈ C.

Fundamentalioji sprendiniu̧ siatema ir ker B bazė yra :

( \begin{matrix}\frac{1}{4} + \frac{1}{4}i\sqrt{3} \\ 0 \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{6}i\sqrt{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i\sqrt{3} \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{1}{8} + \frac{1}{8}i\sqrt{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}\frac{1}{8} − \frac{1}{8}i\sqrt{3} \\ \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i\sqrt{3} \\ −\frac{1}{6}i\sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{3}{4}i\sqrt{3} − \frac{1}{4} \\ 1 \end{matrix} )

turime rank ker B = 3.

\underline{ker B^{2}}

Sprendžiame homogeninȩ lygčiu̧ sistema̧

B^{2} ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

Sistemos bendrasis sprendinys yra :

( \begin{matrix}t_{3} \\ t_{4} \\ −\frac{1}{3}t_{3} − \frac{1}{3}it_{3}\sqrt{3} − \frac{1}{3}t_{4} − \frac{1}{3}i\sqrt{3}t_{4} + \frac{1}{3}t_{1} + \frac{1}{3}it_{1}\sqrt{3} \\ t_{1} \\ \frac{1}{8}t_{2} + \frac{1}{8}it_{2}\sqrt{3} \\ t_{2} \\ 2t_{3} − 2it_{3}\sqrt{3} − \frac{1}{2}t_{4} − \frac{1}{2}i\sqrt{3}t_{4} − \frac{1}{2}t_{1} + \frac{1}{2}it_{1}\sqrt{3} \\ 4it_{3}\sqrt{3} − 2t_{4} + 3t_{1} − it_{1}\sqrt{3} \end{matrix} ) , t_{i} ∈ C.

Turime rank ker B = 4 ir vektorius ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −\frac{1}{3} − \frac{1}{3}i\sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{1}{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{3} \\ −2 \end{matrix} ) yra tiesiškai nepriklausomas ker B atžvilgiu.

Turime

B ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −\frac{1}{3} − \frac{1}{3}i\sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{1}{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{3} \\ −2 \end{matrix} ) = ( \frac{1}{2} ; 0 ; \frac{1}{2} − \frac{1}{6}i\sqrt{3} ; \frac{1}{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{3} ; 0 ; 0 ; \frac{3}{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{3} ; 0 ) .

Taigi Ž ordano bazė yra

( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −\frac{1}{3} − \frac{1}{3}i\sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{1}{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{3} \\ −2 \end{matrix} ) ; ( \frac{1}{2} ; 0 ; \frac{1}{2} − \frac{1}{6}i\sqrt{3} ; \frac{1}{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{3} ; 0 ; 0 ; \frac{3}{2} − \frac{1}{2}i\sqrt{3} ; 0 )  ( \begin{matrix}\frac{1}{8} − \frac{1}{8}i\sqrt{3} \\ \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i\sqrt{3} \\ −\frac{1}{6}i\sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{3}{4}i\sqrt{3} − \frac{1}{4} \\ 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{1}{8} + \frac{1}{8}i\sqrt{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

Tada vektoriu̧ sistema

( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −\frac{1}{3} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{1}{2} \\ −2 \end{matrix} )^{( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −\frac{1}{3} \sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ 0 \end{matrix} )}

( \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 0 \frac{3}{2} 0 )^{( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −\frac{1}{6} \sqrt{3} \\ −\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ 0 \end{matrix} )}  ( \frac{1}{8} ; \frac{1}{4} ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; −\frac{1}{4} ; 1 ) ( \begin{matrix}−\frac{1}{8} \sqrt{3} \\ \frac{1}{4} & \sqrt{3} \\ −\frac{1}{6} \sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{3}{4} \sqrt{3} \\ 0 \end{matrix} ) ( 0 0 0 0 \frac{1}{8} 1 0 0 ) ( \begin{matrix}& 0 \\ & 0 \\ & 0 \\ & 0 \\ \frac{1}{8} & \sqrt{3} \\ & 0 \\ & 0 \\ & 0 \end{matrix} )

sudaro V_{λ_{1}} ⊕ V_{λ_{2}}, t.y. visos vektorinės erdvės bazȩ. Baziu̧ keitimo matrica yra

C = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0.5 & 0 & \frac{1}{8} & −\frac{1}{8} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \sqrt[\frac{1}{4}]{3} & 0 & 0 \\ −\frac{1}{3} & −\frac{1}{3} \sqrt{3} & 0.5 & −\frac{1}{6} \sqrt{3} & 0 & −\frac{1}{6} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & −\frac{1}{2} \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{8} & \sqrt[\frac{1}{8}]{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ −0.5 & −\frac{1}{2} \sqrt{3} & 1.5 & −\frac{1}{2} \sqrt{3} & −\frac{1}{4} & −\frac{3}{4} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Operatoriaus matrica naujoje bazėje yra

C^{−1}AC = ( \begin{matrix}- \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −\frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −\frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix} ) .

8