14 paskaita. OPERATORIAI VEKTPORINĖSE ERDVĖSE VIRŠ C.

Matricos Žordano forma.

Tegu A yra vektorinės erdvės V virš C operatorius ir χ_{A} (t) − charakteristinis operatoriaus A polinomas. Tegu

χ_{A} (t) = (t − λ_{1})^{n_{1}} ⋯ (t − λ_{s})^{n_{s}}

kanoninis polinomo χ_{A} (t) skaidinys virš C. Tada dim V = n_{1} + ⋯ + n_{s}. Charakteristinio polinomo χ_{A} (t) šaknys λ_{1}, ..., λ_{s} vadinamos tikrinėmis reikšmėmis. Pasirinkime kuria̧ nors iš ju̧, sakykime λ = λ_{1}, ir nagrinėkime poerdviu̧ seka̧:

0 = ker (A − λI)^{0} ⊂ ker (A − λI)^{1} ⊂ ⋯ ker (A − λI)^{m} ,

čia I− tapatusis(vienetinis) operatorius, o m yra mažiausias toks natūralusis skaičius, kad teisinga lygybė

ker (A − λI)^{m} = ker (A − λI)^{m+1} .

Vektorinis poerdvis K_{λ} = ker (A − λI)^{m} vadinamas šakniniu poerdviu, atitinkančiu tikrinȩ reikšmȩ λ. Tokiu būdu turime šakninius poerdvius, atitinkančius visas tikrines operatoriaus A reikšmes: K_{λ_{1}}, ..., K_{λ_{s}}

Teorema.1) V = K_{λ_{1}} ⊕ ... ⊕ K_{λ_{s}}.

2) Minimalusis operatoriaus A polinomas m_{A} (t) = (t − λ_{1})^{m_{1}} ⋯ (t − λ_{s})^{m_{s}} . Be i̧rodymo.

Tegu U− vienas iš šakniniu̧ poerdviu̧, atitinkančiu̧ tikrinȩ reikšmȩ λ, o operatorius A nagrinėjamas kaip operatorius erdvėje U. Tegu B = A−λI ir U_{i} = ker B^{i}.

Teiginys. Tegu i ≥ 2 ir vektoriai v_{1}, ..., v_{r} ∈ U_{i} ir yra tiesiškai nepriklausomi U_{i−1} atžvilgiu. Tada vektoriai Bv_{1}, ..., Bv_{r} ∈ U_{i−1} ir yra tiesiškai nepriklausomi U_{i−2} atžvilgiu.

Be i̧rodymo.

Šio teiginio pagalba sukonstruosime U bazȩ. Tegu v_{11}, ..., v_{1r_{1}} yra U = U_{m} bazė U_{m−1} atžvilgiu. Tada iš teiginio turime, kad Bv_{11}, ..., Bv_{1r_{1}} priklauso U_{m−1} ir yra tiesiškai nepriklausomi U_{i−2} atžvilgiu. Papildykime šia̧ sistema̧ iki U_{m−1} bazės U_{i−2} atžvilgiu: Bv_{11}, ..., Bv_{1r_{1}}, v_{21}, ..., v_{2r_{2}}. Tada iš Tada iš teiginio turime, kad B^{2}v_{11}, ..., B^{2}v_{1r_{1}}, Bv_{21}, ..., Bv_{2r_{2}} priklauso U_{m−2} ir yra tiesiškai nepriklausomi U_{i−3} atžvilgiu. Tȩsdami ši̧ procesa̧ gausime U bazȩ :

U_{m}  v_{11}  ⋯ v_{1r_{1}}
U_{m−1} Bv_{11} ⋯ Bv_{1r_{1}}  v_{21}  ⋯ v_{2r_{2}}  (∗)
U_{m−2} B^{2}v_{11} ⋯ B^{2}v_{1r_{1}}  Bv_{21} ⋯ Bv_{2r_{2}}
⋯ · · · · · · ⋯ · · · · · · ⋯ ⋯
U_{1}  B^{m−1}v_{11} ⋯ B^{m−1}v_{1r_{1}} B^{m−2}v_{21} ⋯ B^{m−2}v_{2r_{2}} ⋯ v_{m1} ⋯ v_{mr_{m}}

Suskaidykime šia̧ bazȩ ”bokštais”, t.y vektoriu̧, esančiu̧ viename stulpelyje, sistemomis: B_{11} = {v_{11,}Bv_{11}, ...B^{m−1}v_{11}} ir t.t. Matome, kad poerdvis generuotas ”bokštu” v, Bv, ..., B^{r−1}v ( ir B^{r}v = 0) yra ciklinis poerdvis, generuotas vektoriumi v. Turime, kad

U = B_{11} ⊕ ⋯ ⊕ B_{mr_{m}}.

Operatoriaus B matrica cikliniame ”bokštiniame” poerdvyje [v, Bv, ..., B^{r−1}v] , B^{r}v = 0, yra

( \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \\ 1 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & 0 \end{matrix} )\} r eilučiu̧.

Operatoriaus A = B + λI matrica cikliniame ”bokštiniame” poerdvyje [v, Bv, ..., B^{r−1}v] , B^{r}v = 0, yra

J_{r} (λ) = ( \begin{matrix}λ & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \\ 1 & λ & ⋯ & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & λ & ⋯ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & λ \end{matrix} )\} r eilučiu̧.

Ši matrica vadinama r− osios eilės Žordano bloku, atitinkančiu tikrinȩ reikšmȩ λ.

Operatoriaus A matrica visoje vektorinėje erdvėje taip parinktoje bazėje, kuria̧ dar vadina Žordano baze, yra;

( \begin{matrix}J (λ_{1}) \\ & . & . & . \\ & & & & J (λ_{1}) \\ & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & J (λ_{s}) \\ & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & J (λ_{s}) \end{matrix} )

i̧strižainėje- Žordano blokai, visose kitose vietose- 0.

Kaip praktiškai surasti Žordano bazȩ šakniniame poerdvyje K_{λ}?

Tegu A− operatoriaus A matrica standartinėje bazėje.

1. Surandame operatoriaus matricos B = A−λI minimalu̧jI̧ polinoma̧ m (t) = (t − λ)^{m} . Čia m yra toks mažiausias skaičius, kad rankB^{m} =rankB^{m+1}.

2. Randame homogeninės tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos B^{m}x = 0 fundamentalia̧ja̧ sprendiniu̧ sistema̧ S = {v_{1}, ..., v_{n}} , čia n = dim K_{λ} . Iš šiu̧ vektoriu̧ išrenkame tuos, kuriems B^{m−1}v_{i} ≠ 0. Tai ir bus vektoriai v_{11}, ..., v_{1k_{1}}. Ju̧ pagalba konstruojami ”bokštai” ⟨v_{11}⟩ = [v_{11}, Bv_{11}, ..., B^{m−1}v_{11}] ; ...; ⟨v_{1r_{1}}⟩ = [v_{1r_{1}}, Bv_{1r_{1}}, ..., B^{m−1}v_{1r_{1}}] .

3. Iš sistemos S išrenkame tuos vektorius, kuriems B^{m−2}v_{i} ≠ 0 ir nepriklauso ⟨v_{11}⟩⊕⋯⊕⟨v_{1k_{1}}⟩ . tai bus vektoriai v_{21}, ..., v_{2r_{2}}. Ju̧ pagalba konstruojami ”bokštai” ⟨v_{21}⟩ = [v_{21}, Bv_{21}, ..., B^{m−2}v_{21}] ; ...; ⟨v_{2r_{2}}⟩ = [v_{2r_{2}}, Bv_{2r_{2}}, ..., B^{m−2}v_{2r_{2}}] .

ir t.t.

Matricos Žordano forma̧ galima rasti ir neieškant Žordano bazės. Reikia žinoti tik kiek ir kokio matavimo Žordano bloku̧ yra matricoje. Parodysime kaip tuos skaičius gauti.

Tegu s_{i} =rank(A − λI)^{i} , i = 1, ..., m. Tada dim U_{i} = n − s_{i} ir todėl lentelės (∗) viršutinėje eilutėje yra n − s_{m} − (n − s_{m−1}) = s_{m−1} − s_{m} vektorius, antroje iš viršaus eilutėje yra n − s_{m−1} − (n − s_{m−2}) = s_{m−2} − s_{m−1} vektoriai ,...,antroje eilutėje iš apačios yra n − s_{2} − (n − s_{1}) = s_{1} − s_{2} vektorius, apatinėje eilutėje yra n − s_{1} vektorius . Tada m- ačiu̧ ”bokštu̧” yra k_{m} = s_{m−1} − s_{m} , (m − 1) − ačiu̧ ”bokštu̧” yra k_{m−1} = (s_{m−2} − s_{m−1}) − (s_{m−1} − s_{m}) = s_{m−2} − 2s_{m−1} + s_{m}, ..., 1-mačiu̧ ”bokštu̧” yra k_{1} = (n − s_{1}) − (s_{1} − s_{2}) = n − 2s_{1} + s_{2}. Bendru atveju

k_{i} = s_{i−1} − 2s_{i} + s_{i+1}, i = 1, ..., m

ir s_{m+1} = s_{m}, s_{0} = n.

Gavome, kad i- osios eilės Žordano bloku̧ J_{i} (λ) matricoje bus k_{i}.

Šakniniai poerdviai. Pavyzdys. Tegu operatoriaus A : R_{4} →R_{4} matrica standartinėje bazėje yra

A = ( \begin{matrix}−5 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 7 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ),

Operatoriaus charakteristinis polinomas yra

x^{4} − 6x^{3} + 13x^{2} − 12x + 4 = (x − 1)^{2} (x − 2)^{2},

Operatoriaus tikrinės reikšmės yra: λ_{1} = 1, λ_{2} = 2.

Šakninis poerdvis ker (A − 1 · I)^{2}

A−I = ( \begin{matrix}−5 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 7 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} )−( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−6 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 6 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}−6 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 6 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), Sprendinys yra : ( \begin{matrix}−\frac{3}{2}t_{1} \\ t_{1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

ker (A − I) =⟨(−\frac{3}{2}, 1, 0, 0)⟩ .

( \begin{matrix}−6 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 6 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )^{2} ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), Sprendinys yra : ( \begin{matrix}t_{1} \\ t_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

ker (A − I)^{2} = ⟨(−\frac{3}{2}, 1, 0, 0) , (0, 1, 0, 0)⟩ ⊃ ker (A − I) .

( \begin{matrix}−6 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 6 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )^{3} ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), Sprendinys yra : ( \begin{matrix}t_{1} \\ t_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

Matome, kad

ker (A − I)^{3} = ker (A − I)^{2} .

Taigi, šakninis poerdvis atitinkantis tikrinȩ reikšmȩ 1, yra dvimatis poerdvis ir minimalusis operatoriaus A polinomas šiame poerdvyje yra f_{1} (x) = (x − 1)^{2} . Tikrinės reikšmės λ_{1} = 1 aukštis yra lygus 2.

Šakninis poerdvis ker (A − 2 · I)

A−2I = ( \begin{matrix}−5 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 7 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} )−2 ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−7 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 5 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}−7 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 5 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), Sprendinys yra : ( \begin{matrix}−\frac{3}{2}t_{1} \\ t_{1} \\ t_{2} \\ \frac{1}{2}t_{1} + 6t_{2} \end{matrix} )

ker (A − 2I) = ⟨(−\frac{3}{2}, 1, 0, \frac{1}{2}) , (0, 0, 1, 6)⟩ .

( \begin{matrix}−7 & −9 & 18 & −3 \\ 4 & 5 & −12 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )^{2} ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), Sprendinys yra : ( \begin{matrix}−\frac{3}{2}t_{1} \\ t_{1} \\ t_{2} \\ \frac{1}{2}t_{1} + 6t_{2} \end{matrix} )

Matome, kad

ker (A − 2I)^{2} = ker (A − 2I) .

Taigi, šakninis poerdvis atitinkantis tikrinȩ reikšmȩ 1, yra dvimatis poerdvis ir minimalusis operatoriaus A polinomas šiame poerdvyje yra f_{1} (x) = (x − 2) . Tikrinės reikšmės λ_{2} = 2 aukštis yra lygus 1.

Visa vektorinė erdvė R_{4} yra savo šakniniu̧ poerdviu̧ tiesioginė suma:

R_{4} = ker (A − 1 · I)^{2} ⊕ ker (A − 2 · I)

Matricos Jordano forma ir Jordano bazė. Pavyzdys. Tegu duota matrica A :

A = ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ −2 & 8 & −4 & 4 & −1 & −10 & 0 & 8 \\ 0 & −1 & 5 & −1 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & −2 \\ 8 & −16 & 16 & −12 & 4 & 40 & 0 & −32 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 4 & 0 & 0 & −4 \\ 0 & 2 & −2 & 2 & 0 & −1 & 0 & 4 \\ 4 & −8 & 9 & −9 & 2 & \frac{41}{2} & 4 & −18 \\ −4 & 8 & −8 & 8 & −2 & −20 & 0 & 20 \end{matrix} ).

Jos charakteristinis polinomas : x^{8} − 32x^{7} + 448x^{6} − 3584x^{5} + 17920x^{4} − 57344x^{3} + 114688x^{2} − 131072x + 65536 = (x − 4)^{8}

Matricos tikrinė reikšmė yra viena λ = 4, todėl visa vektorinė erdvė yra šakninis poerdvis.

Apibrėžiame matrica̧ B = A − 4I :

B = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ −2 & 4 & −4 & 4 & −1 & −10 & 0 & 8 \\ 0 & −1 & 1 & −1 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & −2 \\ 8 & −16 & 16 & −16 & 4 & 40 & 0 & −32 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & −4 \\ 0 & 2 & −2 & 2 & 0 & −5 & 0 & 4 \\ 4 & −8 & 9 & −9 & 2 & \frac{41}{2} & 0 & −18 \\ −4 & 8 & −8 & 8 & −2 & −20 & 0 & 16 \end{matrix} ) .

Nagrinėsime poerdvius 0 = ker B^{0} ⊂ ker B ⊂ ker B^{2} ⊂ ... ir rasime ju̧ bazes.

\underline{ker B}

Sprendžiame lygčiu̧ sistema̧ BX = 0 :

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ −2 & 4 & −4 & 4 & −1 & −10 & 0 & 8 \\ 0 & −1 & 1 & −1 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & −2 \\ 8 & −16 & 16 & −16 & 4 & 40 & 0 & −32 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & −4 \\ 0 & 2 & −2 & 2 & 0 & −5 & 0 & 4 \\ 4 & −8 & 9 & −9 & 2 & \frac{41}{2} & 0 & −18 \\ −4 & 8 & −8 & 8 & −2 & −20 & 0 & 16 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ).

Sistemos bendrasis sprendinys yra : ( \begin{matrix}t_{1} \\ −4t_{2} \\ t_{2} \\ −2t_{4} \\ −2t_{1} \\ −2t_{2} \\ t_{3} \\ t_{4} \end{matrix} ) , t_{i} ∈ C. Matome , kad dim ker B = 4. Poerdvio bazė yra vektoriai

u_{11} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{12} = ( \begin{matrix}0 \\ −4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ −2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{13} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{14} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ −2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )

\underline{ker B^{2}}

Lygčiu̧ sistemos sprendimas B^{2}X = 0

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ −2 & 4 & −4 & 4 & −1 & −10 & 0 & 8 \\ 0 & −1 & 1 & −1 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & −2 \\ 8 & −16 & 16 & −16 & 4 & 40 & 0 & −32 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & −4 \\ 0 & 2 & −2 & 2 & 0 & −5 & 0 & 4 \\ 4 & −8 & 9 & −9 & 2 & \frac{41}{2} & 0 & −18 \\ −4 & 8 & −8 & 8 & −2 & −20 & 0 & 16 \end{matrix} )^{2} ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ).

Sistemos bendrasis sprendinys yra : ( \begin{matrix}t_{1} \\ t_{2} \\ t_{3} \\ t_{4} \\ −2t_{1} \\ t_{5} \\ t_{6} \\ t_{7} \end{matrix} ) , t_{i} ∈ C.

Matome , kad dim ker B^{2} = 7. Poerdvio bazė yra

u_{21} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{22} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{23} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{24} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) ,

u_{25} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{26} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{27} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) .

Rasime vektorius ,kurie poerdvio ker B bazȩ u_{11}, u_{12}, u_{13}, u_{14} papildo iki poerdvio ker B^{2} bazės.

Nagrinėsime matricos( u_{11} u_{12} u_{13} u_{14} x y z ) , čia x, y, z ∈ {u_{2j}, j = 1, ..., 7} , ranga̧:

rank( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −4 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) = 5 ; rank ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 0 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) = 6 ;

rank( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 0 & 0 & 1 \\ −2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )= 7.

Taigi vektoriai u_{22} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{23} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{24} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) − tiesiškai nepriklau-

somi ker B atžvilgiu.

\underline{ker B^{3}}

Lygčiu̧ sistemos sprendimas B^{3}X = 0

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ −2 & 4 & −4 & 4 & −1 & −10 & 0 & 8 \\ 0 & −1 & 1 & −1 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & −2 \\ 8 & −16 & 16 & −16 & 4 & 40 & 0 & −32 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & −4 \\ 0 & 2 & −2 & 2 & 0 & −5 & 0 & 4 \\ 4 & −8 & 9 & −9 & 2 & \frac{41}{2} & 0 & −18 \\ −4 & 8 & −8 & 8 & −2 & −20 & 0 & 16 \end{matrix} )^{3} ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ).

Sistemos bendrasis sprendinys yra : ( \begin{matrix}t_{6} \\ t_{7} \\ t_{8} \\ t_{5} \\ t_{1} \\ t_{2} \\ t_{3} \\ t_{4} \end{matrix} ) , t_{i} ∈ C.

Matome, kad dim ker B^{3} = 8, taigi ker B^{3} = V. Rasime vektoriu̧, kuris poerdvio ker B^{2} bazȩ u_{11}, u_{12}, u_{13}, u_{14}, u_{22}, u_{23}, u_{24} pa-

pildo iki visos erdvės bazės.

rank( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & −4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = 8.

Taigi vektorius u_{31} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) − tiesiškai nepriklausomas ker B^{2} atžvilgiu.

Turime Jordano bazės sudarymo lentelȩ:

V = ker B^{3} v_{1}  - bazė poerdvio ker B^{2} atžvilgiu
ker B^{2} Bv_{1} v_{2} v_{3} - bazė poerdvio ker B atžvilgiu
ker B  B^{2}v_{1} Bv_{2} Bv_{3} v_{4} - ker B bazė

v_{1} = u_{31} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ); Bv_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ −4 \end{matrix} ) .

Vektoriai v_{2} ir v_{3} turi papildyti sistema̧, sudarytos iš poerdvio ker B kokios nors bazės( sakykime u_{11}, u_{12}, u_{13}, u_{14}) ir vektoriaus Bv_{1}, iki poerdvio ker B^{2} bazės. Nagrinėsime matrica̧ ( u_{11} u_{12} u_{13} u_{14} u_{22} u_{23} u_{24} Bv_{1} ) ir rasime vektoriu̧ iš u_{21}, u_{22}, u_{23}, kuri̧ pašalinus, matricos rangas lieka maksimalus, t.y. lygus 7.

rank( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −2 & 0 & 0 & 1 & 8 \\ −2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & −4 \end{matrix} ) = 7.

Taigi v_{2} = u_{23} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{3} = u_{24} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

Turime

B^{2}v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ −8 \\ 2 \\ 32 \\ 0 \\ −4 \\ 16 \\ −16 \end{matrix} ) , Bv_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ −4 \\ 1 \\ 16 \\ 0 \\ −2 \\ 9 \\ −8 \end{matrix} ) , Bv_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ −1 \\ −16 \\ −2 \\ 2 \\ −9 \\ 8 \end{matrix} )

Surasime v_{4}. Šis vektorius papildo tikriniu̧ vektoriu̧ poerdvio vektoru̧ sistema̧ B^{2}v_{1}, Bv_{2}, Bv_{3} iki bazės.Vektoriaus v_{4} ieškosime tarp poerdvio ker B baziniu̧ vektoriu̧ u_{11}, u_{12}, u_{13}, u_{14}.

rank( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ −8 & −4 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & −1 & 0 \\ 32 & 16 & −16 & 0 \\ 0 & 0 & −2 & 0 \\ −4 & −2 & 2 & 0 \\ 16 & 9 & −9 & 1 \\ −16 & 8 & 8 & 0 \end{matrix} ) = 4, todėl v_{4} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) .

Matricos A Jordano matrica rastoje Jordano bazėje yra

A = ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} )

Matricos A Jordano bazė:

( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ −4 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 \\ −8 \\ 2 \\ 32 \\ 0 \\ −4 \\ 16 \\ −16 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ −4 \\ 1 \\ 16 \\ 0 \\ −2 \\ 9 \\ −8 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ −1 \\ −16 \\ −2 \\ 2 \\ −9 \\ 8 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

Matricos Jordano forma.Pavyzdys.

Tegu duota matrica A = ( \begin{matrix}5 & 1 & −1 & −1 \\ 1 & 5 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 3 & −1 \\ 1 & 1 & −1 & 3 \end{matrix} ).

Matricos charakteristinis polinomas: x^{4} −16x^{3} +96x^{2} −256x+256 = (x − 4)^{4} . Matricos tikrinė reikšmė yra viena λ = 4. Rasime matricos A Jordano forma̧, remdamiesi j− osios eilės Jordano bloku̧

skaičiaus formule

k_{j} = 2s_{j} − s_{j+1} − s_{j−1},

čia s_{i} = dim ker (A − λI)^{i} = n−rank(A − λI)^{i} . Turime rank(A − 4I)^{0} = 4, rank(A − 4I)^{1} = 1 , rank(A − 4I)^{2} = 0, todėl s_{0} = 4 − 4 = 0, s_{1} = 4 − 1 = 3, s_{2} = 4 − 0 = 4, ir s_{i} = 4, i ≥ 3. Tada

k_{1} = 2s_{1} − s_{2} − s_{0} = 2,
k_{2} = 2s_{2} − s_{3} − s_{1} = 1,
k_{3} = 2s_{3} − s_{4} − s_{2} = 0,
k_{i} = 0 su visais i ≥ 4.

Gavome, kad matrica A turi du 1- osios eilės ir viena̧ 2- osios eilės Jordano blokus, atitinkančius tikrinȩ reikšmȩ 4.

Matricos A Jordano forma yra

A = ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} )