13 Paskaita OPERATORIAUS KANONINĖS MATRICOS IR BAZĖS.

Tegu A - operatorius vektorinėje erdvėje V. Operatoriaus A charakteristinio polinomo χ_{A} (t) kanininis skaidinys yra

χ_{A} (t) = p_{1}^{n_{1}} (t) ⋯ p_{s}^{n_{k}} (t) , o operatoriaus A minimaliojo polinomo f (t) kanoninis skaidinys yra f (t) = p_{1}^{m_{1}} (t) ⋯ p_{s}^{m_{k}} (t) , čia 1 ≤ m_{i} ≤ n_{i} su visais i = 1, ..., k. Žinome, kad vektorinė erdvė V yra primariu̧ju̧ poerdviu̧ tiesioginė suma:

V = ker p_{1}^{m_{1}} (A) ⊕ ⋯ ⊕ ker p_{s}^{m_{k}} (A) .

Operatoriaus A matrica šiu̧ primariu̧ju̧ poerdviu̧ baziu̧ sa̧jungoje yra

A = ( \begin{matrix}A_{1} & ⋯ & O \\ ⋯ & ... & ⋯ \\ O & ⋯ & A_{k} \end{matrix} ) ,

čia A_{i}− operatoriaus A matrica poerdvyje ker p_{i}^{m_{i}} (A) su visais i = 1, ..., k. Kiekvienas primarusis poerdvis ker p_{i}^{m_{i}} (A) yra cikliniu̧ primariu̧ju̧ poerdviu̧

tiesioginė suma:

ker p_{i}^{m_{i}} (A) = ⟨v_{i1}⟩ ⊕ ⋯ ⊕ ⟨v_{ik_{i}}⟩ ,

čia v_{i1}, ..., v_{ik_{i}}− generuojantys ciklinius poerdvius vektoriai su visais i. Tegu operatoriaus A minimalusis polinomas poerdvyje ⟨v_{ij}⟩ yra p_{i}^{m_{ij}} (t) su

visais j = 1, ..., k_{i}. Turime, kad m_{i} = max (m_{i1}, ..., m_{ik_{i}}) ir n_{i} = m_{i1} + ⋯ + m_{ik_{i}}.

Operatoriaus A matrica cikliniame poerdvyje ⟨v_{ij}⟩ yra polinomo p_{i}^{m_{ij}} (t) lydinčioji matrica F_{ij} (Frobeniuso matrica) . Tada operatoriaus A matrica visame primaria̧jame poerdvyje yra

A_{i} = ( \begin{matrix}F_{i1} & ⋯ & O \\ ⋯ & ... & ⋯ \\ O & ⋯ & F_{ik_{i}} \end{matrix} ) ,

o visoje vektorinėje erdvėje V yra

A = ( \begin{matrix}\begin{matrix}F_{11} & ⋯ & O \\ ⋯ & ... & ⋯ \\ O & ⋯ & F_{1k_{1}} \end{matrix} & & O \\ ⋯ & ... & ⋯ \\ O & & \begin{matrix}F_{s1} & ⋯ & O \\ ⋯ & ... & ⋯ \\ O & ⋯ & F_{sk_{s}} \end{matrix} \end{matrix}  ) .

Šia̧ matricos forma̧ vadina normaline Frobeniuso forma. Šios formos pagrindiniai blokai - tai operatoriaus charakteristinio polinomo kaniniame skaidinyje esančiu̧ neredukuojamu̧ polinomu̧ laipsniu̧ p_{i}^{m_{ij}} (t) lydinčiosios matricos. Parodysime, kaip parinkti cikliniame poerdvyje ⟨v_{ij}⟩ bazȩ, kad operatoriaus matricos pagrindiniais blokais būtu̧ pačio neredukuojamo p_{i} (t) lydinčioji matrica. Ši matricos forma labiau atspindės ciklinio poerdvio ⟨v_{ij}⟩ struktūra̧.

Tegu operatoriaus A minimalusis ( o taip pat ir charakteristinis) polinomas cikliniame poerdvyje ⟨v_{ij}⟩ yra p_{i}^{m_{ij}} (t) ir deg p_{i} (t) = s_{i}. Kalbame apie tokia̧ ciklinio poerdvio ⟨v_{ij}⟩ bazȩ:

u_{1} = v_{ij}, u_{2} = Av_{ij}, ..., u_{s_{i}} = A^{s_{i}−1}v_{ij}, u_{s_{i}+1} = p_{i} (A) v_{ij}, u_{s_{i}+2} = Ap_{i} (A) v_{ij}, ..., u_{2s_{i}} = A^{s_{i}−1}p_{i} (A) v_{ij}, u_{2s_{i}+1} = p_{i}^{2} (A) v_{ij}, u_{2s_{i}+2} = Ap_{i}^{2} (A) v_{ij}, ..., u_{3s_{i}} = A^{s_{i}−1}p_{i}^{2} (A) v_{ij}, ⋯ u_{(m_{ij}−1)·s_{i}+1} = p_{i}^{m_{ij}−1} (A) v_{ij}, ..., u_{m_{ij}·s_{i}} = A^{s_{i}−1}p_{i}^{m_{ij}−1} (A) v_{ij}. Jeigu polinomas p_{i} (t) = t^{s_{i}} + a_{s_{i}−1}t^{s_{i}−1} + ⋯ + a_{0}, tai A (u_{s_{i}}) = u_{s_{i}+1} − a_{s_{i}−1}u_{s_{i}} − a_{s_{i}−2}u_{s_{i}−1} − ⋯ − a_{0}u_{1}, A (u_{2s_{i}}) = u_{2s_{i}+1} − a_{s_{i}−1}u_{2s_{i}} − a_{s_{i}−2}u_{2s_{i}−1} − ⋯ − a_{0}u_{s_{i}+1}, ......................................................................................... A (u_{m_{ij}·s_{i}}) = −a_{s_{i}−1}u_{m_{ij}·s_{i}} − a_{s_{i}−2}u_{m_{ij}·s_{i}−1} − ⋯ − a_{0}u_{(m_{ij}−1)s_{i}+1}, ir A (u_{i}) = u_{i+1} su visais i, nesidalijančiais iš s_{i}. Šioje bazėje operatoriaus matrica cikliniame poerdvyje ⟨v_{ij}⟩ yra

F_{i} = ( F_{ij} ; 1  F_{ij} ; 1  F_{ij} ; 1  ... ; 1  F_{ij}  ) ,

čia F_{ij} - polinomo p_{i} (t) lydinčioji matrica( Frobeniuso matrica). Operatoriaus A matrica visoje erdvėje V taip parinktu̧ baziu̧ sa̧jungoje yra

A = ( \begin{matrix}F_{1} & ⋯ & O \\ ⋯ & ... & ⋯ \\ O & ⋯ & F_{s} \end{matrix} ) .

Šis operatoriaus matricos pavidalas vadinamas Frobeniuso -Jordano forma.

Operatoriaus matricos Frobeniuso ir Frobeniuso-Jordano formu̧ ir baziu̧ pavyzdys.

Tegu operatoriaus A : R_{8} →R_{8} matrica yra

A = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} ) .

Operatoriaus A charakteristinis polinomas yra lygus

χ_{A} (x) = x^{8} + 4x^{7} + 10x^{6} + 16x^{5} + 19x^{4} + 16x^{3} + 10x^{2} + 4x + 1.

Šio polinomo kanoninis skaidinys virš realiu̧ju̧ skaičiu̧ kūno yra

χ_{A} (x) = (x^{2} + x + 1)^{4} .

Charakteristinis polinomas yra neredukuojamo polinomo x^{2} + x + 1 laipsnis, todėl visa vektorinė erdvė R_{8} yra primarusis poerdvis.

Operatoriaus A minimalusis polinomas f (x) yra charakteristinio polinomo daliklis, todėl

f (x) = (x^{2} + x + 1)^{s} ,

čia 1 ≤ s ≤ 4. Rasime ši̧ polinoma̧. Aritmetinėje erdvėje R_{8} išrinkime standartinȩ bazȩ e_{1}, e_{2}, ..., e_{8} ir nagrinėkime

operatoriaus A ir jo laipsniu̧ vaizdus šioje bazėje.

Bazinio vektoriaus e_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) vaizdai:

A ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

A^{2} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} )^{2} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( 0 ; −2 ; \frac{2}{3} ; −2 ; 0 ; 0 ; 2 ; 0 )

A^{3} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} )^{3} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

A^{4} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} )^{4} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ −2 \\ −2 \\ 0 \\ 0 \\ −6 \\ 0 \end{matrix} ) .

Vektoriu̧ sistema e_{1}, Ae_{1}, A^{2}e_{1}, A^{3}e_{1}, A^{4}e_{1} - tiesiškai priklausoma:

e_{1} + 2Ae_{1} + 3A^{2}e_{1} + 2A^{3}e_{1} + A^{4}e_{1} = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)^{T} . Vektoriaus e_{1} minimalusis anuliatorius yra f_{e_{1}} (x) = x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1. Vektoriaus e_{1} ciklinis poerdvis ⟨e_{1}⟩ yra tiesinis apvalkalas [e_{1}, Ae_{1}, A^{2}e_{1}, A^{3}e_{1}] . Operatorius A matrica šiame cikliniame poerdvyje yra polinomo f_{e_{1}} (x) ly-

dinčioji matrica( Frobeniusio matrica): ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & −2 \\ 0 & 1 & 0 & −3 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} ) .

Vektorius e_{5} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) yra vienas iš ciklinio poerdvio ⟨e_{1}⟩ tiesioginio papildinio bazės vektoriu̧. Jo vaizdai yra:

A ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

A^{2} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} )^{2} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −1 \\ −4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

Vektoriu̧ sistema e_{5}, Ae_{5}, A^{2}e_{5} - tiesiškai priklausoma:

e_{5} + Ae_{5} + A^{2}e_{5} = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)^{T} .

Vektoriaus e_{5} minimalusis anuliatorius f_{e_{5}} (x) = x^{2} + x + 1. Vektoriaus e_{5} ciklinis poerdvis ⟨e_{5}⟩ yra tiesinis apvalkalas [e_{5}, Ae_{5}] .

Operatorius A matrica šiame cikliniame poerdvyje yra polinomo f_{e_{5}} (x) lydinčioji matrica( Frobeniusio matrica): ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) .

Vektorius e_{6} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) yra vienas iš poerdvio ⟨e_{1}⟩ ⊕ ⟨e_{5}⟩ tiesioginio papildinio

bazės vektoriu̧. Jo vaizdai yra:

Ae_{6} = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ −\frac{1}{4} \\ −1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

A^{2}e_{6} = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} )^{2} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( 0 0 0 0 \frac{1}{4} 0 0 0 )

Vektoriu̧ e_{6}, Ae_{6}, A^{2}e_{6} yra tiesiškai priklausoma:

e_{6} + Ae_{6} + A^{2}e_{6} = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)^{T} .

Vektoriaus e_{6} minimalusis anuliatorius f_{e_{6}} (x) = x^{2} + x + 1. Operatorius A matrica šiame cikliniame poerdvyje yra polinomo f_{e_{6}} (x) ly-

dinčioji matrica( Frobeniusio matrica): ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} )

Gavome, kad visa vektorinė erdvė R_{8} yra primariu̧ju̧ cikliniu̧ poerdviu̧ tiesioginė suma: R_{8} = ⟨e_{1}⟩ ⊕ ⟨e_{4}⟩ ⊕ ⟨e_{6}⟩ .

Operatoriaus A minimalusis polinomas yra polinomu̧

f_{e_{1}} (x) = x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1, f_{e_{4}} (x) = f_{e_{6}} (x) = x^{2} + x + 1

mažiausias bendras kartotinis. Bet x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1 = (x^{2} + x + 1)^{2} , todėl MBK(f_{e_{1}}, f_{e_{4}}, f_{e_{6}}) = x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1 = (x^{2} + x + 1)^{2} - operatoriaus A minimalusis polinomas. Taigi, erdvė R_{8}− primarioji.

Operatoriaus A matrica bazėje e_{1}, Ae_{1}, A^{2}e_{1}, A^{3}e_{1}, e_{4}, Ae_{4}, e_{6}, Ae_{6} yra

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & −3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) .

Tai operatoriaus A matricos Frobeniuso forma. Operatoriaus A minimalusis polinomas yra (x^{2} + x + 1)^{2} = p^{2} (x) .Operatoriaus

A matricos Frobeniuso-Jordano forma - tai operatoriaus matrica bazėje

u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{5}, u_{6}, u_{7}, u_{8} :
u_{1} = e_{1}, u_{2} = Ae_{1},

u_{3} = p (A) e_{1} = (A^{2} + A + I) e_{1}, u_{4} = Ap (A) e_{1} = (A^{3} + A^{2} + A) e_{1}, u_{5} = e_{4}, u_{6} = Ae_{4},

u_{7} = e_{6}, u_{8} = Ae_{6}.

Operatoriaus A matrica šioje bazėje yra

( \begin{matrix}0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) .

Operatoriaus matricos Frobeniuso-Žordano formos pavyzdys. Tegu operatoriaus A : R_{8} →R_{8} matrica yra

A = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 3 & −1 & 0 & 0 & −1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & −3 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & −2 & −1 \end{matrix} ) .

Operatoriaus A charakteristinis polinomas yra lygus

χ_{A} (x) = x^{8} + 4x^{7} + 10x^{6} + 16x^{5} + 19x^{4} + 16x^{3} + 10x^{2} + 4x + 1.

Šio polinomo kanoninis skaidinys virš realiu̧ju̧ skaičiu̧ kūno yra

χ_{A} (x) = (x^{2} + x + 1)^{4} .

Charakteristinis polinomas yra neredukuojamo polinomo x^{2} + x + 1 laipsnis, todėl visa vektorinė erdvė R_{8} yra primarusis poerdvis.

Operatoriaus A minimalusis polinomas f (x) yra charakteristinio polinomo daliklis, todėl

f (x) = (x^{2} + x + 1)^{s} ,

čia 1 ≤ s ≤ 4. Rasime ši̧ polinoma̧. Norint rasti matricos A kanoninȩ Frobeniuso-Žordano forma̧, nebūtina ieškoti

Frobeniuso-Žordano bazės. Pakanka suskaičiuoti sekoje

0 = ker f^{0} (A) ⊂ ker f^{1} (A) ⊂ ⋯ ⊂ ker f^{s} (A) = ker f^{s+1} (A)

esančiu̧ poerdviu̧ dimensijas:

s_{i} = dim ker f^{i} (A) = n−rankf^{i} (A) ,

i = 1, 2, ..., s ; n = 8 ir pasinaudoti j− osios eilės Frobeniuso-Žordano bloku̧ skaičiaus k_{j} formule:

k_{j} = \frac{2s_{j} − s_{j+1} − s_{j−1}}{d} ,

čia d = deg f (x) = 2. Maple pagalba turime s_{0} = 0;

rank(A^{2} + A + I) =rank( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} & −\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & 0 & −2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & −3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & −6 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = 2

ir s_{1} = 8−rank(A^{2} + A + I) = 8 − 2 = 6;

rank(A^{2} + A + I)^{2} =rank( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} & −\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & 0 & −2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & −3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & −6 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )^{2}

=rank( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = 0

ir s_{2} = 8−rank(A^{2} + A + I)^{2} = 8 − 0 = 8. Taigi s_{0} = 0, s_{1} = 6, s_{2} = 8, s_{i} = 8 su visais i ≥ 3. Tada

k_{1} = \frac{2 · 6 − 8 − 0}{2} = 2,

k_{2} = \frac{2 · 8 − 8 − 6}{2} = 1,

k_{3} = \frac{2 · 8 − 8 − 8}{2} = 0.

Operatoriaus A matricos Frobeniuso-Žordano formoje yra du pirmos ir vienas antros eilės Frobeniuso-Žordano blokai:

( \begin{matrix}0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) .