10 paskaita. Euklido erdvės.

Apibrėžimas. Vektorinė erdvė E virš realiu̧ju̧ skaičiu̧ kūno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibrėžta skaliarinė sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu̧ porai u, v ∈ E priskiria realu̧ji̧ skaičiu̧ (u, v) ∈ R ir tenkina aksiomas:

S1) (u, v) = (v, u) su visais u, v ∈ E; S2) (u_{1} + u_{2}, v) = (u_{1}, v) + (u_{2}, v) su visais u_{1}, u_{2}, v ∈ E; S3) (au, v) = a (u, v) su visais u, v ∈ E ir a ∈ R; S4) (u, u) ≥ 0 su visais u ∈ E ir (u, u) = 0 ⇔ u = 0.

Apibrėžimai.1. Vektoriaus v ∈ E ilgiu vadinamas neneigiamas skaičius

∥v∥ = \sqrt{(v, v)} .

2. Atstumu tarp vektoriu̧ u ir v vadinamas skaičius d (u, v) = ∥u − v∥ .

Teiginys. Vektoriaus v ilgis ∥v∥ tenkina šias savybes: N1) ∥v∥ ≥ 0 ir ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0. N2) ∥av∥ = |a| · ∥v∥ su visais v ∈ E ir a ∈ R. N3) ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥ su visais u, v ∈ E. A1) d (u, v) ≥ 0 ir d (u, v) = 0 ⇔ u = v . A2) d (u, v) = d (v, u) . A3) d (u, v) ≤ d (u, w) + d (w, v) - trikampio nelygybė I̧rodymas. Savybės N1, N2,A1 ir A2 yra tiesioginės S1-S4 išvados. Savybės

N3ir A3 i̧rodymas remiasi Cauchy-Schwarz nelygybe, kuria̧ i̧rodysime žemiau.

Teorema( Cauchy-Schwarz-Buniakovskio nelygybė). Euklido erdvėje E teisinga nelygybė

|(u, v)| ≤ ∥u∥ · ∥v∥

su visais u, v ∈ E.

I̧rodymas. Nagrinėkime kvadratinȩ funkcija̧ t atžvilgiu f (t) = (u + tv, u + tv) = (u, u) + 2t (u, v) + t^{2} (v, v) . Iš apibrėžimo turime, kad f (t) ≥ 0 su visomis t reikšmėmis, todėl D = −4 (v, v) · (u, u) + 4 (u, v)^{2} ≤ 0 ⇒ (u, v)^{2} ≤ (u, u) (v, v) ir (u, v) ≤ ∥u∥ · ∥v∥ .

Pastebėsime, kad f (t) = 0 ⇔ (u + tv, u + tv) = 0 ⇔ u ir v yra tiesiškai priklausome sistema.

I̧rodyta.

Apibrėžimas. Euklido erdvėje apibrėžiama kampo tarp nenuliniu̧ vektoriu̧ u ir v sa̧voka:

cos \binom{}{u, v} = \frac{(u, v)}{∥u∥ · ∥v∥}.

Pavyzdys. Aritmetinėje erdvėje R_{n} skaliarinė sandauga apibrėžiama lygybe:

(( \begin{matrix}x_{1} \\ ⋯ \\ x_{n} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}y_{1} \\ ⋯ \\ y_{n} \end{matrix} )) = x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{n}y_{n}. Tada Cauchy-Schwarz-Buniakovskio

nelygybė Euklido erdvėje yra žinoma skaitinė nelygybė

|x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{n}y_{n}| ≤ \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} · \sqrt{y_{1}^{2} + ⋯ + y_{n}^{2}}

su visais realiais skaičiais x_{1}, ..., x_{n}, y_{1}, ..., y_{n}.

Apibrėžimas. 1.Nenuliniai vektoriai u ir v vadinami ortogonaliais, jeigu (u, v) = 0.

2. Vektorius u vadinamas normuotu, jeigu ∥u∥ = 1.

3. Euklido erdvės bazė e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} vadinama ortogonalia, jeigu šie vektoriai yra poromis ortogonalūs, t.y. (e_{i}, e_{j}) = 0, kai 1 ≤ i ≠ j ≤ n, ir ortonormuota, jeigu beto vektoriai yra normuoti, t.y. ∥e_{i}∥ = 1 su visais i.

Teiginys. Jeigu nenuliniu̧ vektoriu̧ sistemos e_{1}, e_{2}, ..., e_{m} vektoriai yra poromis ortogonalūs ( vektoriu̧ sistema yra ortogonali), tai ši sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

I̧rodymas. Tegu e_{1}, e_{2}, ..., e_{m} yra ortogonali vektoriu̧ sistema. Nagrinėkime lygybȩ

a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{m}e_{m} = 0.

Tada (a_{1}e_{1} + ⋯ a_{m}e_{m}, e_{i}) = a_{1} (e_{1}, e_{i}) + ⋯ + a_{i} (e_{i}, e_{i}) + ⋯ + a_{m} (e_{m}, e_{i}) = a_{i} (e_{i}, e_{i}) = 0 ir a_{i} = 0 su visais i = 1, ..., m.

I̧rodyta.

Tegu e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}− ortogonalioji Euklido erdvės bazė, o v = ∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i} ir u =

∑_{j=1}^{n} b_{j}e_{j} . Turime

(u, v) = (∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i}, ∑_{j=1}^{n} b_{j}e_{j}) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{i}b_{j} (e_{i}, e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} (e_{i}, e_{i}) .

Jeigu , beto, e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}− ortonormuota Eukido erdvės bazė, tai

(u, v) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}.

Ar visada Euklido erdvėje egzistuoja ortogonali ir ortonormuota bazė ? I̧ ši̧ klausima̧ teigiamai atsako

Teorema( J.P.Gram - E.Schmidt ortogonalizacijos procesas). Euklido erdvės E kiekvienai tiesiškai nepriklausomai sistemai u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} egzistuoja veinareikšmiškai apibrėžta tokia vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, ..., v_{m}, kad

1) vektoriai v_{1}, v_{2}, ..., v_{m} poromis ortogonalūs( t.y. sistema yra ortogonali);

2) v_{i} − u_{i} ∈ [u_{1}, ..., u_{i−1}] su visais 2 ≤ i ≤ m.

I̧rodymas. Indukcija pagal m. Kai m = 1, tai v_{1} = u_{1} ir teiginys i̧rodytas. I̧rodysime indukcini̧ teigini̧ m − 1 ⇒ m. Pagal indukcijos prielaida̧, vektoriu̧ u_{1}, ..., u_{m−1} sistemai egzistuoja tokia ortogonali vektoriu̧ v_{1}, ..., v_{m−1} sistema, kad v_{i} − u_{i} ∈ [u_{1}, ..., u_{i−1}] su visais 2 ≤ i ≤ m − 1. Pastebėsime, kad [u_{1}, ..., u_{m−1}] = [v_{1}, ..., v_{m−1}] , nes su visais j = 1, 2, ..., m − 1 vektoriai v_{i} = u_{i} + (v_{i} − u_{i}) ∈ [u_{1}, ..., u_{m−1}] ir beto sistema v_{1}, ..., v_{m−1} yra tiesiškai nepriklausoma ir todėl sudaro [u_{1}, ..., u_{m−1}] bazȩ. Ieškomas vektorius v_{m} turi tenkinti šias savybes:

1) (v_{m}, v_{1}) = ⋯ = (v_{m}, v_{m−1}) = 0

2) v_{m} − u_{m} ∈ [u_{1}, ..., u_{m−1}] = [v_{1}, ..., v_{m−1}] . Taigi, vektorius v_{m} turėtu̧ būti lygus v_{m} = u_{m} + λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{m−1}v_{m−1}. Tada

0 = (v_{m}, v_{1}) = (u_{m} + λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{m−1}v_{m−1}, v_{1}) =
(u_{m}, v_{1}) + λ_{1} (v_{1}, v_{1}) ⇒ λ_{1} = −\frac{(u_{m},v_{1})}{∥v_{1}∥^{2}} ,

..., 0 = (v_{m}, v_{m−1}) = (u_{m} + λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{m−1}v_{m−1}, v_{m−1}) =

(u_{m}, v_{m−1}) + λ_{m−11} (v_{m−11}, v_{m−11}) ⇒ λ_{m−11} = −\frac{(u_{m},v_{m−1})}{∥v_{m−1}∥^{2}} .

Gavome, kad vektorius v_{m} = u_{m} − \frac{(u_{m},v_{1})}{∥v_{1}∥^{2}} · v_{1} − ⋯ − \frac{(u_{m},v_{m−1})}{∥v_{m−1}∥^{2}} · v_{m−1}. I̧rodyta.

Pastaba. Iš Gramo-Schmidto ortogonalizacijos proceso turime, kad bet kurioje Euklido erdvėje egzistuoja ortogonali bazė, o jeigu jos vektorius dar ir normuoti, tai ir ortonormuota bazė.

Apibrėžimas. Jeigu U yra Euklido erdvės E poerdvis, tai aibė

U^{⊥} = {v ∈ E : (v, u) su visais u ∈ U}

vadinama poerdvio U ortogonaliuoju papildiniu. Svarbiausios ortogonalaus papildinio savybės yra šios:

1. U^{⊥} yra E poerdvis.

2. Jeigu u_{1}, ..., u_{m} yra U bazė, tai U^{⊥} = {v ∈ E| (v, u_{i}) = 0, i = 1, ..., m} .

3. U ∩ U^{⊥} = 0.

4. dim U^{⊥} = dim E − dim U.

5. E = U ⊕ U^{⊥}.

6. (U^{⊥})^{⊥} = U.

Taikymai.

1. Ortogonalusis papildinys ir tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema. Teiginys. Tegu V yra Euklido erdvės R^{n} poerdvis, generuotas eilutėmis v_{1} =

(a_{11}, ..., a_{1n}) , ..., v_{m} = (a_{m1}, ..., a_{mn}) , ir v = (x_{1}, ..., x_{n}) ∈ R^{n}. Tada šios sa̧lygos yra ekvivalentiškos:

1) v ∈ V^{⊥}.

2) (v, v_{i}) = 0 su visais i = 1, ..., m.

3) (x_{1}, ..., x_{n}) yra tiesinės lygčiu̧ sistemos

\{ \begin{matrix}a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = 0 \\ ⋯ \\ a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = 0 \end{matrix}

sprendinys, t.y. V^{⊥} yra šios sistemos sprendiniu̧ aibė.

2. Tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos mažiausiu̧ kvadratu̧ sprendinys.

Tegu Av = b yra tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema, kurios matricoje A yra m eilučiu̧ ir n stulpeliu̧, ir ji neturi sprendiniu̧. Su kiekvienu v ∈ R_{n} vektorius b − Av vadinamas nesuderamumo vektoriumi. Sistemos mažiausiu̧ kvadratu̧ sprendiniu vadiname toki̧ vektoriu̧ v_{0}, kad vektoriaus b − Av_{0} ilgis yra mažiausias, t.y. ∥b − Av_{0}∥ =min_{v∈R_{n}} ∥b − Av∥ . Parodysime, kaip rasti ši̧ sprendini̧.

Tegu v = (x_{1}, ..., x_{n})^{T} ir Av = x_{1}c_{1} + ⋯ x_{n}c_{n}, čia c_{1}, ..., c_{n} yra matricos A stulpeliai. Aišku, kad vektoriu̧ aibė V = {Av|v ∈ R_{n}} ⊆ R_{m} yra poerdvis lygus matricos A stulpeliu̧ c_{1}, ..., c_{n} tiesiniam apvalkalui [c_{1}, ..., c_{n}] . Vektoriaus u atstumu iki poerdvio V vadinamas min_{w∈V} ∥u − w∥ . Tegu u = x + y, čia x ∈ V, y ∈ V^{⊥}.

Tada ∥u − w∥^{2} = (x − w + y, x − w + y) = (x − w, x − w) + (y, y) , nes x − w ir y yra ortogonalūs. Aišku, kad minimumas pasiekiamas, kai x = w ir lygus (y, y) = ∥y∥^{2} . Gavome, kad vektoriaus u atstumas iki poerdvio V yra lygus vektoriaus u ortogonalios sudaromosios y ilgiui ir realizuojamas, kai w yra vektoriaus u ortogonalioji projekcija x.

Taigi vektorius v turi būti toks, kad Av būtu̧ vektoriaus b ortogonalioji projekcija poerdvyje V = {Av|v ∈ R_{n}} . Vektoriui v surasti naudosime tokia̧ procedūra̧:

1) Raskime ortonormuota̧ matricos A stulpeliu̧ c_{1}, ..., c_{n} tiesinio apvalkalo V = [c_{1}, ..., c_{n}] bazȩ.

2) Raskime vektoriaus b projekcija p poerdvyje V.

3) Išreikškite vektoriu̧ p stulpeliu̧ c_{1}, ..., c_{n} tiesine kombinacija: p = x_{1}c_{1} + ⋯ x_{n}c_{n}. Tada v = (x_{1}, ..., x_{n})^{T} ir yra ieškomas vektorius.

Parodysime, kaip kitaip galima rasti mažiausiu̧ kvadratu̧ sprendini̧. Pastebėsime, kad v yra mažiausiu̧ kvadratu̧ sprendinys sistemai Av = b tada ir tik tada, kada Av−b ortogonalus V = [c_{1}, ..., c_{n}] − matricos A stulpeliu̧ tiesiniam apvalkalui. Bet vektorius z ∈ R^{n} yra ortogonalus V tada ir tik tada, kada jis yra sistemos A^{T} z = 0 sprendinys, čia A^{T} − transponuota A matrica. Taigi, v yra mažiausiu̧ kvadratu̧ sprendinys sistemai Av = b tada ir tik tada, kada v yra sistemos A^{T} (Av − b) = 0 sprendinys, t.y.

A^{T} Av = A^{T} b.

Gavome, kad sistemos Av = b mažiausiu̧ kvadratu̧ sprendinys yra sistemos A^{T} Av = A^{T} b sprendinys.

3. Gramo matrica. Apibrėžimas. Tegu v_{1}, ..., v_{n} yra Euklido erdvės E vektoriu̧ sistema. Matrica

G_{(v_{1},...,v_{n})} = (( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ ⋯ \\ v_{n} \end{matrix} ) , (v_{1}, v_{2}, ..., v_{n})) = ( \begin{matrix}(v_{1}, v_{1}) & (v_{1}, v_{2}) & ⋯ & (v_{1}, v_{n}) \\ (v_{2}, v_{1}) & (v_{2}, v_{2}) & ⋯ & (v_{2}, v_{n}) \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ (v_{n}, v_{1}) & (v_{n}, v_{2}) & ⋯ & (v_{n}, v_{n}) \end{matrix} )

vadinama sistemos v_{1}, ..., v_{n} Gramo matrica.

Pastaba.1. Vektoriu̧ sistema v_{1}, ..., v_{n} yra tiesiškai nepriklausoma tata ir tik tada, kada sistemos Gramo matrica G_{(v_{1},...,v_{n})} neišsigimusi, t.y. det G_{(v_{1},...,v_{n})} ≠ 0.

2. Iš apibrėžimo turime, kad bazė v_{1}, ..., v_{n} yra ortonormuota tada ir tik tada, kada bazės v_{1}, ..., v_{n} Gramo matrica yra vienetinė.

Tegu v_{1}, ..., v_{n} yra Euklido erdvės E bazė ir u, v− du E vektoriai:

u = (v_{1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} )^{T} (v_{1}, ..., v_{n})^{T} ir v = (v_{1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}b_{1} \\ ⋯ \\ b_{n} \end{matrix} ) .

Tada skaliarinė sandauga

(u, v) = (( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} )^{T} (v_{1}, ..., v_{n})^{T} , (v_{1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}b_{1} \\ ⋯ \\ b_{n} \end{matrix} )) =

((a_{1}, ..., a_{n}) ( \begin{matrix}v_{1} \\ ⋯ \\ v_{n} \end{matrix} ) , (v_{1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}b_{1} \\ ⋯ \\ b_{n} \end{matrix} )) =

(a_{1}, ..., a_{n}) (( \begin{matrix}v_{1} \\ ⋯ \\ v_{n} \end{matrix} ) , (v_{1}, ..., v_{n})) ( \begin{matrix}b_{1} \\ ⋯ \\ b_{n} \end{matrix} ) = (a_{1}, ..., a_{n}) G_{(v_{1},...,v_{n})} ( \begin{matrix}b_{1} \\ ⋯ \\ b_{n} \end{matrix} ) .

Gramo matricos geometrinė prasmė.

Apibrėžimas.1. Tegu u_{1}, ..., u_{m} yra Euklido erdvės E vektoriai. Aibė

P (u_{1}, ..., u_{m}) = {a_{1}u_{1} + ⋯ a_{m}u_{m}|0 ≤ a_{i} ≤ 1, i = 1, ..., m}

vadinama gretasieniu.

2. Gretasienio P (u_{1}, ..., u_{m}) tūris V_{m} (u_{1}, ..., u_{m}) yra apibrėžiamas induktyviai:

1) V_{1} (u_{1}) = ∥u_{1}∥;

2) V_{m} (u_{1}, ..., u_{m}) = V_{m−1} (u_{1}, ..., u_{m−1}) · h, čia h− aukštinė, kuri yra lygi h = ∥v∥ , o vektorius v apibrėžiamas lygybėmis: (v, u_{1}) = ⋯ = (v, u_{m−1}) = 0 ir u_{m} − v ∈ [u_{1}, ..., u_{m−1}] .

Parodysime, kad aukštinė h apibrėšta korektiškai. Tegu v_{1} vektorius, tenkinantis sa̧lygas: (v_{1}, u_{1}) = ⋯ = (v_{1}, u_{m−1}) ir u_{m} − v_{1} ∈ [u_{1}, ..., u_{m−1}] . Tada v − v_{1} = (u_{m} − v_{1}) + (u_{m} − v) ∈ [u_{1}, ..., u_{m−1}] , .t.y.

v − v_{1} = a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{m−1}u_{m−1},
(v − v_{1}, u_{1}) = ⋯ = (v − v_{1}, u_{m−1}) = 0

ir (v − v_{1}, a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{m−1}u_{m−1}) = 0 = (v − v_{1}, v − v_{1}) ⇔ v = v_{1}.

Teorema. (V_{m} (u_{1}, ..., u_{m}))^{2} = det G_{(u_{1},...,u_{m})}.

I̧rodymas. Indukcija pagal m. Kai m = 1, tai (V_{1} (u_{1}))^{2} = ∥u_{1}∥^{2} = (u_{1}, u_{1}) = det ((u_{1}, u_{1})) . I̧rodysime indukcini̧ teigini̧ (m − 1 ⇒ m) . Tegu v yra aukštinės vektorius. Tada

u_{m} = a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{m−1}u_{m−1} + v,
(v, u_{1}) = ⋯ = (v, u_{m−1}) = 0.

Tada

det G_{(u_{1},...,u_{m})} =

det ( \begin{matrix}(u_{1}, u_{1}) & ⋯ & (u_{1}, u_{m−1}) & (u_{1}, a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{m−1}u_{m−1} + v) \\ (u_{2}, u_{1}) & ⋯ & (u_{2}, u_{m−1}) & (u_{2}, a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{m−1}u_{m−1} + v) \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ (u_{m}, u_{1}) & ⋯ & (u_{m}, u_{m−1}) & (u_{m}, a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{m−1}u_{m−1} + v) \end{matrix} ) .

Atimkime iš paskutiniojo stulpelio pirma̧ji̧ stulpeli̧ padauginta̧ iš a_{1}, antra̧ji̧ stulpeli̧ padauginta̧ iš a_{2}, ..., m-1 -a̧ji̧ stulpeli̧ padauginta̧ iš a_{m−1}. Turėsime

det G_{(u_{1},...,u_{m})} = det ( \begin{matrix}(u_{1}, u_{1}) & ⋯ & (u_{1}, u_{m−1}) & (u_{1}, v) \\ (u_{2}, u_{1}) & ⋯ & (u_{2}, u_{m−1}) & (u_{2}, v) \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ (u_{m}, u_{1}) & ⋯ & (u_{m}, u_{m−1}) & (u_{m}, v) \end{matrix} ) =

det ( \begin{matrix}(u_{1}, u_{1}) & ⋯ & (u_{1}, u_{m−1}) & 0 \\ (u_{2}, u_{1}) & ⋯ & (u_{2}, u_{m−1}) & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ (u_{m}, u_{1}) & ⋯ & (u_{m}, u_{m−1}) & (u_{m}, v) \end{matrix} ) =

det G_{(u_{1},...,u_{m−1})} · (u_{m}, v) =
(V_{m−1} (u_{1}, ..., u_{m−1}))^{2} · (a_{1} (u_{1}, v) + ⋯ + a_{m−1} (u_{m−1}, v) + (v, v)) =

(V_{m−1} (u_{1}, ..., u_{m−1}))^{2} · (v, v) = (V_{m−1} (u_{1}, ..., u_{m−1}))^{2} · h^{2} = (V_{m} (u_{1}, ..., u_{m}))^{2} .

I̧rodyta.