1 Paskaita. Dalumo su liekana teorema. Didžiausias bendras daliklis.Euklido algoritmas.

Tarpusavyje pirminiai skaičiai. Pirminiai skaičiai. Pagrindinė aritmetikos teorema.

Apibrėžimas. Tegu a ir b yra sveikieji skaičiai. Sakysime, kad a dalijasi iš b (be liekanos), jeigu egzistiuoja toks sveikasis skaičius c, kad a = b · c. Sakome, kad

skaičius b yra a daliklis. Žymėsime a⋮b.

Išvados. 1. Tegu a, b, c ∈ Z ir a⋮c, b⋮c. Tada (a ± b) ⋮c.

2.Tegu a, b, c ∈ Z ir a⋮c. Tada ab⋮c. 3.Tegu a ∈ Z, a ≠ 0. Tada 0⋮a. 4.Tegu a ∈ Z. Tada a⋮1. 5.Tegu a ∈ Z, 1⋮a. Tada a = ±1.

Visiško sutvarkymo principas. Tegu k_{0}− sveikasis skaičius. Bet kuris netuščias sveiku̧ju̧ skaičiu̧ ne mažesniu̧ už k_{0} (≥ k_{0}) poaibis turi mažiausia̧ elementa̧. Bet kuris netuščias sveiku̧ju̧ skaičiu̧ ne didesniu̧ už k_{0} (≤ k_{0}) poaibis turi didžiausia̧ elementa̧.

Teorema(dalybos su liekana teorema). Tegu a ir b− sveikieji skaičiai ir b ≠ 0. Tada egzistuoja vienintėliai sveikieji skaičiai q ir r su kuriais teisinga lygybė a = bq + r, čia 0 ≤ r < |b| .

I̧rodymas. Nagrinėkime sveiku̧ju̧ skaičiu̧ seka̧{a − k · b|k ∈ Z} :

…, a − 2k, a − k, a, a + k, a + 2k, ... .

Šioje sekoje yra tiek teigiami ,tiek neigiami skaičiai. Pagal Visiško sutvarkymo principa̧ neneigiamu̧ ( kai k_{0} = 0) sekos nariu̧ posekyje galima rasti mažiausia̧ skaičiu̧ r = a − qb ≥ 0. Tada

a = bq + r ir 0 ≤ r < |b| .

Parodysime, kad taip parinktas r yra vienintėtis. Tegu turime

a = bq_{1} + r_{1} ir 0 ≤ r < |b|

ir tegu r ≠ r_{1}, beto r_{1} < r. Tada yra teisinga 0 < r − r_{1} < |b| ir galioja lygybė

r − r_{1} = (q_{1} − q) b ,

t.y. r − r_{1} dalijasi iš b, o tai prieštarauja tam, kad 0 < r − r_{1} < |b| . I̧rodyta.

Apibrėžimas.Tegu a, b ∈ Z. Sveikasis skaičius d > 0 vadinamas skaičiu̧ a ir b didžiausiu bendru dalikliu, jeigu

1. a⋮d, b⋮d.

2. Jeigu a⋮c.a⋮c, tai d⋮c.

Didžiausio bendro daliklio žymuo: d = BDD(a, b) = (a, b) .

Pastaba. (0, 0) = 0.

Teorema. Su visais a, b ∈ Z, a ≠ 0, b ≠ 0 egzistuoja tokie sveikieji skaičiai x_{0} ir y_{0}, kad (a, b) = ax_{0} + by_{0}.

I̧rodymas.Nagrinėkime sveiku̧ju̧ skaičiu̧ aibȩ M = {ax + by|x, y ∈ Z} . Ši aibė yra netuščia, nes a, b ∈ M. Aibėje M yra tiek teigiami, tiek neigiami skaičiai. Pagal Visiško sutvarkymo principa̧ teigiamu̧ ( kai k_{0} = 1) aibės M poaibyje galima rasti mažiausia̧ skaičiu̧ 0 ≠ d = ax_{0} + by_{0}. Parodysime, kad skaičius d ir yra didžiausiais bendras a ir b daliklis: d = (a, b) . Parašykime skaičiu̧ porai a ir d dalybos su liekana lygybȩ:

a = dq + r, 0 ≤ r < d.

Tada

0 ≤ r = a − dq = a − (ax_{0} + by_{0}) q = (1 − x_{0}q) a + (−y_{0}q) b ∈ M.

Bet d yra mažiausias \underline{teigiamas} skaičius iš M, todėl r = 0, t.y. a⋮d. Panašiai

galima parodyti, kad ir b⋮d.

Tegu dabar yra toks sveikas c, kad a⋮c ir b⋮c. Tada

d =\underbrace{\underbrace{a · x_{0}}_{dalijasi iš c} + \underbrace{b · y_{0}}_{dalijasi iš c}}_{dalijasi iš c} .

Pagal apibrėžima̧ d = (a, b) . I̧rodyta.

Nevienintėlis reiškimas: 6 = (12, −30) = 12 · 3 + (−30) · 1 = 12 · (−2) + (−30) · (−1) .

Euklido algoritmas BDD skaičiavimui. Turime skaičius a ir b. Rašysime dalybos su liekana teorema̧:

Tegu a_{0} = a ir a_{1} = b. Tada

a_{0} = a_{1}q_{1} + a_{2}  0 < a_{2} < |a_{1}|
a_{1} = a_{2}q_{2} + a_{3}  0 < a_{3} < a_{2}
⋯  ⋯
a_{k−2} = a_{k−1}q_{k−1} + a_{k} 0 < a_{k} < a_{k−1}
a_{k−1} = a_{k}q_{k}

Sveikieji skaičiai sudaro mažėjančia̧ seka̧ |a_{1}| > a_{2} > a_{3} > ⋯ > a_{k} > a_{k+1} > 0. Tada (a, b) = a_{k+1}.

Apibrėžimas. Du skaičiai a, b ∈ Z vadinami tarpusavyje pirminiais, jeigu (a, b) = 1.

Teorema. Skaičiai a, b ∈ Z yra tarpusavyje pirminiai tada ir tik tada, kada egzistuoja tokie x, y ∈ Z, kad ax + by = 1.

I̧rodymas. Teiginys iš kairės i̧ dešinȩ yra teisingas pagal apibrėžima̧. Tegu dabar ax + by = 1 ir (a, b) = d. Tada

1 =\underbrace{\underbrace{a · x}_{dalijasi iš d} + \underbrace{b · y}_{dalijasi iš d}}_{dalijasi iš d},

t,y. 1 dalijasi iš d ir todėl d = 1. I̧rodyta.

Teiginys(tarpusavyje pirminiu̧ skaičiu̧ savybė). Tegu a_{1}, ..., a_{m} ir b_{1}, ..., b_{n} yra dvi tokios sveiku̧ju̧ skaičiu̧ sekos, kad (a_{i}, b_{j}) = 1 su visais 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Tada (a_{1} ⋯ a_{m}, b_{1} ⋯ b_{n}) = 1.

Be i̧rodymo.

Išvados. 1.Jeigu \frac{a}{b} yra nesuprastinama trupmena , tai ir trupmena \frac{a^{n}}{b^{n}} yra nesuprastinama su visais natūraliaisiais n.

2. Tegu c ∈ Z ir n > 1. Tada ^{n} \sqrt{c} yra arba sveikasis skaičius, arba iracionalusis skaičius.

Apibrėžimas. Skaičius n ∈ N, n > 1 vadinamas pirminiu skaičiumi, jeigu jis turi tik šiuos daliklius: ±1, ±n .

Teiginys. Bet kuris sveikasis skaičius, nelygus ±1, dalijasi iš kurio nors pirminio skaičiaus.

Teorema( Euklidas). Yra be galo daug pirminiu̧ skaičiu̧.

I̧rodymas. I̧rodysime prieštaros būdu. Sakykime, egzistuoja baigtinis pirminiu̧ skaičiu̧ kiekis: p_{1}, p_{2}, ..., p_{m}. Skaičius n = p_{1}p_{2} ⋯ p_{m} + 1 dalijasi iš pirminio, taigi egzistuoja toks i, 1 ≤ i ≤ m, kad n⋮p_{i}. Tada

1 =\underbrace{\underbrace{n}_{dalijasi iš p_{i}} − \underbrace{p_{1}p_{2} ⋯ p_{m}}_{dalijasi iš p_{i}}}_{dalijasi iš p_{i}} ,

t.y. 1⋮p_{i}, o tai prieštarauja pirminio skaičiaus apibrėžimui( p_{i} > 1). I̧rodyta.

Pastaba. Pastebėsime, kad pirmieji pavidalo p_{1}p_{2} ⋯ p_{m} + 1 skaičiai yra pirminiai: 2+1 = 3, 2·3 +1 = 7, 2·3·5+1 = 31, 2·3·5·7+1 = 211, 2·3·5·7·11+1 = 2311. Tačiau skaiċius 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031 = 59 · 509 yra sudėtinis.

Teiginys( pirminiu̧ skaičiu̧ savybė). Tegu a_{1}, ..., a_{m} yra tokia sveiku̧ju̧ skaičiu̧ seka, kad skaičius a_{1} ⋯ a_{m} dalijasi iš pirminio p. Tada egzistuoja toks j, 1 ≤ j ≤ m, kad a_{j} dalijasi iš p.

Be i̧rodymo.

Pagrindinė aritmetikos teorema. Su kiekvienu natūraliuoju n > 1 egzistuoja tokie pirminiai p_{1}, p_{2}, ..., p_{s} (tarp ju̧ gali būti sutampančiu̧), kad n = p_{1} · p_{2} · ⋯ p_{s}.

Be i̧rodymo.